Метод рационализации
Презентация на тему Метод рационализации к уроку по Алгебре
Презентация по слайдам:
Слайд #1
Метод рационализации Работу выполнили: Белозерова О.М. Шарикова И.Е. г.Георгиевск
![](https://Xp4sTM90BVzr.frontroute.org/s11/4/5/2/0/0/1.jpg)
Слайд #2
Решение неравенств - важный раздел в математике. Успешное изучение математики невозможно без умения решать разнообразные неравенства, поэтому мы решили рассмотреть один из способов решения неравенств – метод рационализации. В школьной программе он не изучается, но его применение значительно облегчает решение задания С3 ЕГЭ, в частности логарифмических и показательных неравенств. Введение
![](https://Xp4sTM90BVzr.frontroute.org/s11/4/5/2/0/0/2.jpg)
Слайд #3
Часто, при решении логарифмических неравенств, встречаются задачи с переменным основанием логарифма. Так, неравенство вида является стандартным школьным неравенством. Как правило, для его решения применяется переход к равносильной совокупности систем: Теоретическое обоснование метода
![](https://Xp4sTM90BVzr.frontroute.org/s11/4/5/2/0/0/3.jpg)
Слайд #4
![](https://Xp4sTM90BVzr.frontroute.org/s11/4/5/2/0/0/4.jpg)
Слайд #5
Рассмотрим логарифмическое неравенство вида , (1) где - некоторые функции Теорема 1. Логарифмическое неравенство равносильно следующей системе неравенств: (2) Сведение логарифмического неравенства к системе рациональных неравенств
![](https://Xp4sTM90BVzr.frontroute.org/s11/4/5/2/0/0/5.jpg)
Слайд #6
Начнем с того, что первые четыре неравенства системы (2) задают множество допустимых значений исходного логарифмического неравенства. Обратим теперь внимание на пятое неравенство. Если , то первый множитель этого неравенства будет отрицателен. При сокращении на него придется изменить знак неравенства на противоположный, тогда получится неравенство Если , то первый множитель пятого неравенства положителен, сокращаем его без изменения знака неравенства, получаем неравенство Таким образом, пятое неравенство системы включает в себя оба случая предыдущего метода. Терема доказана. Доказательство
![](https://Xp4sTM90BVzr.frontroute.org/s11/4/5/2/0/0/6.jpg)
Слайд #7
Теперь рассмотрим показательное неравенство вида 3) Так же, как в предыдущем пункте, - некоторые функции. И снова вспомним, что традиционное решение такого неравенства приводит к двум случаям. В первом основание степени положительно, но меньше единицы (знак неравенства обращается), во втором случае основание степени больше единицы (знак неравенства сохраняется). Как и в случае с логарифмическим неравенством, имеется возможность значительно укоротить решение задачи, используя метод рационализации. Этот метод основан на следующей теореме. Сведение показательных неравенств к системе рациональных неравенств
![](https://Xp4sTM90BVzr.frontroute.org/s11/4/5/2/0/0/7.jpg)
Слайд #8
Теорема 2. Показательное неравенство равносильно следующей системе неравенств: (4)
![](https://Xp4sTM90BVzr.frontroute.org/s11/4/5/2/0/0/8.jpg)
Слайд #9
+ - -1 3 1 ОТВЕТ: 0 -1 0 2 + - + (2;3) Пример 7 НАЗАД
![](https://Xp4sTM90BVzr.frontroute.org/s11/4/5/2/0/0/9.jpg)
Слайд #10
- + -2 1 ОТВЕТ: -1 -1 0 + - Пример 8 НАЗАД
![](https://Xp4sTM90BVzr.frontroute.org/s11/4/5/2/0/0/10.jpg)
Слайд #11
ВыражениеF ВыражениеG 1 1а 1б 2 2а 2б 3 4 4а 5 6
![](https://Xp4sTM90BVzr.frontroute.org/s11/4/5/2/0/0/11.jpg)
Слайд #12
Доказательство Пусть loga f- loga g> 0, то есть loga f> loga g, причём a > 0, a ≠ 1, f > 0, g > 0. Если 0 < a < 1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем f < g. Значит, выполняется система неравенств a -1 0 верное на области определения выражения F = loga f- logag. Если a > 1, то f > g. Следовательно, имеет место неравенство (a – 1)(f – g)> 0. Обратно, если выполняется неравенство (a – 1)(f – g)> 0 на области допустимых значений (a > 0, a ≠ 1, f > 0, g > 0), то оно на этой области равносильно совокупности двух систем. a – 1 0 f – g < 0 f – g > 0 Из каждой системы следует неравенство loga f> loga g, то есть loga f- loga g> 0. Аналогично, рассматриваются неравенства F < 0, F ≤ 0, F ≥ 0.
![](https://Xp4sTM90BVzr.frontroute.org/s11/4/5/2/0/0/12.jpg)
Слайд #13
Пусть некоторое число а > 0 и а ≠ 1, тогда имеем = Знак последнего выражения совпадает со знаком выражения или (h-1)(f-g) .
![](https://Xp4sTM90BVzr.frontroute.org/s11/4/5/2/0/0/13.jpg)
Слайд #14
Так как = то, используя замены 2а и 2б, получаем, что знак последнего выражения совпадает со знаком выражения (f - 1)(g - 1)(h - 1)(g – f).
![](https://Xp4sTM90BVzr.frontroute.org/s11/4/5/2/0/0/14.jpg)
Слайд #15
Из неравенства > 0 следует . Пусть число а > 1, тогда loga > loga или (h – g)loga h > 0. Отсюда с учётом замены 1б и условия a > 1 получаем (f – g)(a – 1)(h – 1) > 0, (f – g)(h – 1) > 0. Аналогично, доказываются неравенства F < 0, F ≤ 0, F ≥ 0. Доказательство проводится аналогично доказательству 4. Доказательство замены 6 следует из равносильности неравенств | p | > | q | и p2 > q2 ( | p | < | q | и p2 < q2).
![](https://Xp4sTM90BVzr.frontroute.org/s11/4/5/2/0/0/15.jpg)
Слайд #16
Решить неравенство: Решение: Пример 1.
![](https://Xp4sTM90BVzr.frontroute.org/s11/4/5/2/0/0/16.jpg)
Слайд #17
- - + + -2 2 1 ОТВЕТ:
![](https://Xp4sTM90BVzr.frontroute.org/s11/4/5/2/0/0/17.jpg)
Слайд #18
Решить неравенство: Решение: Пример 2.
![](https://Xp4sTM90BVzr.frontroute.org/s11/4/5/2/0/0/18.jpg)
Слайд #19
- + -2 1 0 ОТВЕТ: -1 -1 0 1 + - - +
![](https://Xp4sTM90BVzr.frontroute.org/s11/4/5/2/0/0/19.jpg)
Слайд #20
Решить неравенство: Решение: Пример 3.
![](https://Xp4sTM90BVzr.frontroute.org/s11/4/5/2/0/0/20.jpg)
Слайд #21
![](https://Xp4sTM90BVzr.frontroute.org/s11/4/5/2/0/0/21.jpg)
Слайд #22
Пример 4. Решить неравенство: Решение:
![](https://Xp4sTM90BVzr.frontroute.org/s11/4/5/2/0/0/22.jpg)
Слайд #23
![](https://Xp4sTM90BVzr.frontroute.org/s11/4/5/2/0/0/23.jpg)
Слайд #24
Пример 5. Пример 6. Пример 7. Пример 8. ОТВЕТ ОТВЕТ ОТВЕТ ОТВЕТ Решите примеры
![](https://Xp4sTM90BVzr.frontroute.org/s11/4/5/2/0/0/24.jpg)
Слайд #25
Пример 9. Пример 10. Пример 11. ОТВЕТ ОТВЕТ ОТВЕТ
![](https://Xp4sTM90BVzr.frontroute.org/s11/4/5/2/0/0/25.jpg)
Слайд #26
Корянов А. Г., Прокофьев А. А. – Методы решения неравенств с одной переменной. – 2011. Моденов В. П. – Пособие по математике. – 1972. Ткачук В.В. - Математика абитуриенту. Москва: МЦНМО, 2008. С П И С О К использованной литературы
![](https://Xp4sTM90BVzr.frontroute.org/s11/4/5/2/0/0/26.jpg)
Слайд #27
![](https://Xp4sTM90BVzr.frontroute.org/s11/4/5/2/0/0/27.jpg)
Слайд #28
![](https://Xp4sTM90BVzr.frontroute.org/s11/4/5/2/0/0/28.jpg)
Слайд #29
![](https://Xp4sTM90BVzr.frontroute.org/s11/4/5/2/0/0/29.jpg)
Слайд #30
![](https://Xp4sTM90BVzr.frontroute.org/s11/4/5/2/0/0/30.jpg)
Слайд #31
![](https://Xp4sTM90BVzr.frontroute.org/s11/4/5/2/0/0/31.jpg)
Слайд #32
![](https://Xp4sTM90BVzr.frontroute.org/s11/4/5/2/0/0/32.jpg)
Слайд #33
![](https://Xp4sTM90BVzr.frontroute.org/s11/4/5/2/0/0/33.jpg)