Параллелограмм Вариньона

Слайд #1

«Параллелограмм Вариньона» А В С D L M N K

Слайд #2

(1654-22.12.1722,Париж) Французский математик и механик. Член Французской АН с (1688).Родился в Каенне. Изучал философию и математику. С 1688-профессор математики в Коллеже Мазарини, с 1704-Коллеж де Франс.

Слайд #3

Биография Основные работы относятся к геометрии и статике. Исходя из теории сложных движений сформулировал (ок. 1710) закон параллелограмма сил. Развил понятие момента сил и предложил геометрическое доказательство теоремы о том, что момент равнодействующей двух сходящихся сил равен сумме моментов составляющих сил (теорема Вариньона).Установил (1687) теорему о скользящих векторах для случая сходящейся системы сил. Одним из первых начал пользоваться математическим анализом. Изучал равновесие и движение жидкости. Дал объяснение закона Торричелли. Полагая, что вес колонны воды пропорционален высоте h, нашёл выражение для закона Торричелли.

Слайд #4

Описание работы Мы провели исследование по теме: «Параллелограмм Вариньона» Сформулировали определение четырёхугольника Вариньона. Доказали свойство: «четырёхугольник Вариньона является параллелограммом». Определили вид параллелограмма Вариньона для различных видов четырёхугольников.

Слайд #5

Доказали свойство площади параллелограмма Вариньона. Доказали свойство: «Многоугольник Вариньона для правильного многоугольника также является правильным. Заключение. Подобрали 7 задач, в которых использовали теоретический материал работы.

Слайд #6

Параллелограмм Вариньона -это четырёхугольник с вершинами в серединах сторон данного четырёхугольника. Свойство площади параллелограмма Вариньона теорема: площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади данного четырёхугольника.

Слайд #7

Доказательство Пусть S- площадь данного четырехугольника ABCD, s-площадь четырехугольника KLMN , вершины которого- K, L, M, и N середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Поскольку KL и MN- средние линии треугольников ABC и ADC, то S▲DLK=1/4 S▲ADC; S▲BMN=1/4 ▲ABC, Поэтому: S▲DLK+S▲BMN=1/4S▲ABC+1/4S▲ADC= =1/4(S▲ABC +S▲ADC)=1/4S Аналогично: S▲KNC+S▲MAL=1/4 S Следовательно, s=S-S▲DLK-S▲MBN-S▲LAM-S▲NCK=S-1/4S-1/4S=1/2S A B M L D K C N

Слайд #8

Дано: АBCD-ромб. Определить вид параллелограмма Вариньона. 1.Рассмотрим ▲ABD LE-средняя линия Т.е получим, что EL║BD, и EL=1/2BD 2. Аналогично, рассматривая ▲BCD получим, что FK║BD, FK=1/2 BD То есть EL=FK; EL║FK, значит четырёхугольник EFKL является параллелограммом, так как две противолежащие стороны четырёхугольника равны и параллельны. А так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то и параллельные им стороны четырёхугольника будут тоже пересекаться под прямым углом. Следовательно, если исходной фигурой является ромб, то параллелограмм Вариньона принимает вид прямоугольника. А В С D E F K L Определим вид параллелограмма Вариньона для ромба

Слайд #9

Определили вид параллелограмма Вариньона для различных видов четырёхугольников Для прямоугольника Для равнобокой трапеции Для квадрата

Слайд #10

Мы подобрали и решили 7 задач, где использовали теоретический материал нашей исследовательской работы.

Слайд #11

Хотелось бы представить вашему вниманию одну из решённых задач: ABCD- прямоугольник, M, K, P и T- середины его сторон, AB=6см, AD=12см. Найти площадь четырехугольника MKPT. Решение: MKPT является параллелограммом Вариньона. Используя свойство площади параллелограмма Вариньона: площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади данного четырехугольника, получим: Площадь MKPT=1/2 площади ABCD => S=1/2 • 6•12=36(кв.см) Ответ: 36(кв.см) А В С D М К Р Т

Слайд #12

Заключение Мы рассмотрели вопросы, связанные с теоремами о параллелограмме Вариньона, и нашли их широкое практическое применение при решении задач. Эти знания позволили нам более глубоко познакомиться с данным материалом, и применять их в нестандартных ситуациях. Поиск новой информации из различных печатных источников, а так же из сети Интернет расширил наши знания по предмету геометрии. Мы смогли попробовать себя в новой ситуации, когда знания приобретались нами самостоятельно без помощи учителя, а это в свою очередь позволило нам поверить в себя и в свои возможности. Намеченный нами план был выполнен, и мы планируем продолжить нашу исследовательскую работу на тему «Дельтоид», где будут использоваться полученные нами знания.

Слайд #13

Мы пользовались следующей литературой : Сборник тестовых заданий по геометрии 9 класс, «Интеллект-Центр» Москва 2001. Задачи по геометрии 7-11кл., авторы: Б. Г. Зив, В. М. Мейлер, А. Г. Баханский. Научный журнал «Математика в школе». Материалы из сети Интернет «Система задач по геометрии Р. К. Гордина».