пересечение поверхности

Слайд #1

Лекция 7 Пересечение поверхностей. Способ вспомогательных секущих плоскостей.

Слайд #2

Пересечение поверхностей Для построения линии пересечения поверхностей необходимо найти ряд точек, общих для заданных поверхностей, и соединить их плавной линией Геометрическое место точек, принадлежащее одновременно двум поверхностям, называют линией пересечения данных поверхностей а) б) в) г) Возможные случаи: Две замкнутые линии (пересечение насквозь) Одна замкнутая линия (врезание одной в другую) Кривая и гранная поверхности (совокупность плоских кривых) Две многогранные поверхности (ломаная линия)

Слайд #3

Анализ заданных поверхностей Линия пересечения 2-х поверхностей в общем случае представляет собой пространственную кривую Если заданы поверхности второго порядка, то при их пересечении получается пространственная кривая четвертого порядка 3. Часть искомой линии пересечения получается видимой в пересечении видимых частей поверхностей

Слайд #4

Анализ заданных поверхностей 4. Если одна из заданных поверхностей является проецирующей (цилиндр, призма),то одна из проекций искомой линии пересечения совпадает со следом этой поверхности

Слайд #5

Анализ заданных поверхностей Если у заданных поверхностей 2 порядка есть общая плоскость симметрии , которая проходит через их оси вращения, то: Линия пересечения будет симметрична относительно плоскости Наивысшая 1 и низшая 2 точки линии пересечения всегда располагаются в плоскости Если плоскость параллельна плоскости проекций, то на ней линия пересечения будет кривой второго порядка, ее видимая и невидимая части накладываются 1 1

Слайд #6

Алгоритм решения задачи Г 1. Поверхности рассекают вспомогательной секущей плоскостью Г 2. Находят линию пересечения вспомогательной плоскости с каждой из поверхностей 3. На полученных линиях пересечения определяют общие точки, принадлежащие заданным поверхностям 4. Выбирают следующую секущую плоскость и повторяют алгоритм 5. Полученные точки соединяют с учетом видимости искомой линии пересечения a b Ю A,B А B Г Ю b Г Ю а ;

Слайд #7

Методические указания Вспомогательные плоскости следует выбирать так, чтобы в сечении получались простые линии Сначала определяют опорные точки: экстремальные точки; точки перемены видимости, лежащие на очерках поверхностей; особые точки кривых пересечения (концы осей эллипса, вершины гиперболы или параболы, вершины ломанной) Уточняют линию пересечения с помощью промежуточных точек

Слайд #8

Пересекающиеся поверхности (сфера и конус) имеют общую плоскость симметрии Ф(Ф1), являющейся фронтальной плоскостью уровня. Следовательно, фронтальные очерки поверхностей, лежащие в плоскости Ф, пересекаются. 4.ПО Ф1

Слайд #9

На П2 находим проекции высшей (12) и низшей (22) точек искомой линии, как точек пересечения фронтальных очерков поверхностей. Горизонтальные проекции точек (11 и 21) будут располагаться на следе плоскости Ф1. 4.ПО Ф1 (21) 22 12 11

Слайд #10

Точки изменения видимости линии на П1, лежащие на экваторе сферы, находим с помощью плоскости Г(Г2). На П1 это будут точки пересечения экватора сферы с соответствующей параллелью конуса - 31 и 41. На П2 проекции точек (32 и 42) располагаем на следе плоскости (Г2). 4.ПО 12 22 Ф1 (21) 11 Г2 41 31

Слайд #11

Промежуточные точки, уточняющие форму линии пересечения, находим с помощью вспомогательных горизонтальных плоскостей уровня Г и Г На П1 это будут точки пересечения соответствующих параллелей сферы и конуса. Точки можно оставить без обозначения. 4.ПО 12 22 Ф1 (21) 11 Г2 31 41 (42) 32 Г2 Г2

Слайд #12

Найденные на горизонтальной плоскости проекций проекции промежуточных точек (они не обозначены на чертеже) переносим на фронтальные следы (Г2 и Г2 ) плоскостей , с помощью которых промежуточные точки построены. 4.ПО 12 22 Ф1 (21) 11 Г2 31 41 (42) 32 Г2 Г2

Слайд #13

При объединении в линию всех построенных проекций точек на П2 следует учитывать, что вся линия пересечения разделяется плоскостью Ф на две симметричные ветви, которые совпадут на фронтальной плоскости проекций. 4.ПО 12 22 Ф1 (21) 11 Г2 31 41 (42) 32 Г2 Г2

Слайд #14

При соединении проекций точек на горизонтальной плоскости проекций выявляют видимый и невидимый участки линии пересечения. Эти участки разделяются проекциями точек перемены видимости - 31 и 41, лежащими на экваторе сферы. 4.ПО 12 22 Ф1 (21) 11 Г2 31 41 (42) 32 Г2 Г2

Слайд #15

На этапе обводки очерков поверхностей следует обвести толстой сплошной линией только очерки, не участвующие в пересечении 4.ПО 12 22 Ф1 (21) 11 Г2 31 41 (42) 32 Г2 Г2

Слайд #16

Видимая часть поверхности сферы, ограниченная линией пересечения, затушевана, что повышает наглядность изображения. 4.ПО 12 22 Ф1 (21) 11 Г2 31 41 (42) 32 Г2 Г2

Слайд #17

Заканчиваем оформление изображения, затушевав видимую часть поверхности конуса. 4.ПО 12 22 Ф1 (21) 11 Г2 31 41 (42) 32 Г2 Г2

Слайд #18

Заданы две пересекающиеся поверхности (полусфера и призма, находя-щаяся в горизонтально проецирующем положении). Все три грани приз-мы участвуют в пересечении. Значит, линия пересечения состоит из трех участков, представляющих собой плоские кривые второго порядка. 5.ПО

Слайд #19

Фиксируем на П1 проекции точек пересечения ребер призмы с поверх- ностью сферы (11, 21 и 31). На П2 проекции 12 и 22 находим на экваторе сферы, а 32 - на параллели, полученной с помощью плоскости Ф(Ф1). Часть параллели между 32 и 42 будет первым участком искомой линии. 5.ПО Ф1 (12) 22 (32) 31

Слайд #20

31 11 На П1 проекции 41 и 51 фиксируем как точки пересечения меридиана сферы, лежащего в плоскости Ф (Ф1 ), с гранями призмы. Фронтальные проекций указанных точек (42 и 52) располагаем на меридиане сферы. Это будут точки, меняющие видимость линии пересечения на П2. 21 (12) (32) 22 5.ПО Ф1 42 52 Ф1 41 51

Слайд #21

31 11 Грани призмы рассекают сферу по окружностям, две из которых проецируются на П2 в эллипсы. Вершины этих эллипсов (высшие точки линии пересечения) находим на П1, обозначив их как 61 и 71. Проекции 62 и 72 находим с помощью плоскостей Ф (Ф1 ) и Ф (Ф1 ) соответственно. 21 Ф1 (12) (32) 42 52 41 51 22 5.ПО Ф1 62 71 61 72

Слайд #22

22 Промежуточные точки линии пересечения, уточняющие форму эллипсов и выбранные произвольно на горизонтальном очерке призмы, строим на П2 с помощью секущей плоскости ФIV(Ф1IV) по аналогии с другими точками. Промежуточные точки не обозначены. 21 42 52 41 71 61 51 62 (32) 5.ПО 72 31 Ф1 11 (12) Ф1 Ф1 Ф1

Слайд #23

22 31 На П2 объединяем все построенные точки в участки - эллипсы линии пе- ресечения, а на П1 вся линия совпадает с очерком проецирующей приз- мы. При обводке эллипсов на П2 следует учитывать, что проекции точек (42 и 52), лежащих на меридиане сферы, изменяют видимость эллипсов. 21 Ф1 42 52 41 71 61 51 62 (32) 5.ПО 72 11 (12) Ф1 Ф1 Ф1 Ф1 IV

Слайд #24

22 31 На П2 обводим фронтальные очерки сферы и призмы, выявляя их видимые и невидимые участки. 21 Ф1 42 52 41 71 61 51 62 (32) 5.ПО 72 11 (12) Ф1 Ф1 IV Ф1 Ф1

Слайд #25

22 31 Тушевка повышает наглядность изображения. На П2 видимая часть поверхности сферы ограничивается линией пересечения и видимой частью очерка сферы. 21 Ф1 42 52 41 71 61 51 62 (32) 5.ПО 72 11 (12) Ф1 Ф1 IV Ф1 Ф1

Слайд #26

22 31 На П2 заканчиваем оформление изображения, затушевав видимую часть поверхности призмы. 21 Ф1 42 52 41 71 61 51 62 (32) 5.ПО 72 11 (12) Ф1 Ф1 IV Ф1 Ф1