Квадратные уравнения

Слайд #1

Квадратные уравнения.

Слайд #2

Автор: Бесфамильная Анна ученица 8-а класса Руководитель: Никифорова М.Н., учитель математики ГОУ СОШ №1968 Москва 2010г.

Слайд #3

Цели проекта: Дать определение квадратного уравнения Рассмотреть алгоритм решения квадратных уравнений Познакомить с историей решения квадратных уравнений Изучить теорему Виета Найти занимательный материал по данной теме(кроссворды, стихи)

Слайд #4

Определение квадратного уравнения. Квадратным уравнением называется уравнение вида ах²+вх+с=0, где х – переменная, а,в,с – некоторые числа, причем а≠0. Числа а, в, с – коэффициенты квадратного уравнения. Число а – первый коэффициент, в – второй коэффициент, с – свободный член. Если в квадратном уравнении ах²+вх+с=0 хотя бы один из коэффициентов в или с равен нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением. Квадратное уравнение, в котором коэффициент а=1 называется приведенным квадратным уравнением.

Слайд #5

Стихотворение для запоминания формулы «Пэ», со знаком взяв обратным, На два мы его разделим. И от корня аккуратно Знаком минут-плюс отделим. А под корнем, очень кстати, Половина «пэ» в квадрате, Минус «ку». И вот решенье Небольшого уравненья.

Слайд #6

Алгоритм решения квадратного уравнения:

Слайд #7

Кроссворд 1. Уравнение вида ах²+вх+с=о 2.Квадратные уравнения, у которых первый коэффициент равен 1. 3. Уравнения с одной переменной, имеющие одни и те же корни. 4. Числа а,в и с в квадратном уравнении. 5. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. 6. Равенство, содержащее неизвестное. 7. Неотрицательное значение квадратного корня. 8. Древнегреческий математик, который нашел приемы решения квадратных уравнений без обращения к геометрии. 9. Квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов в или с равен 0. 10. «Дискриминант» - по-латыни. 11. Коэффициент с квадратного уравнения. 12. Французский математик, который вывел формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов. Если вы разгадаете этот кроссворд верно, то сможете в выделенном вертикальном столбце прочитать термин, относящийся к теме. К в а д р а т н о е П р и в е д е н н о е Р а в н о с и л ь н о е К о э ф ф и ц и е н т К о р е н ь У р а в н е н и е А р и ф м е т и ч е с к и й Д и о ф а н т Н е п о л н о е Р а з л и ч и т е л ь С в о б о д н ы й В и е т 1                     2                     3                       4                     5           6                   7                             8               9                 10                     11                 12      

Слайд #8

Из истории решения квадратных уравнений. Уравнения 2-ой степени умели решать еще в Древнем Вавилоне во II тысячелетии до н.э. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид – при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактатах Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принадлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598 г.). Среднеазиатский ученый ал-Хорезми (IX в.) в трактате «Китаб аль-джебр валь -мукабала» получил эту формулу методом выделения полного квадрата с помощью геометрической интерпретации.

Слайд #9

Уравнение с вещественными коэффициентами Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами a,b,c может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта D = b2 − 4ac:

Слайд #10

при D > 0 корней два, и они вычисляются по формуле при D = 0 корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2: при D < 0 вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой

Слайд #11

для нахождения корней можно использовать эквивалентное выражение                              Вместо формулы где k = b / 2. Это выражение является более удобным для практических вычислений при чётном b, то есть для уравнений вида ax² + 2kx + c = 0.

Слайд #12

Квадратное уравнение вида x2 + px + q = 0, в котором старший коэффициент a равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней упрощается до

Слайд #13

Мнемонические правила «Минус» напишем сначала, Рядом с ним p пополам, «Плюс-минус» знак радикала, С детства знакомого нам. Ну, а под корнем, приятель, сводится всё к пустяку: p пополам и в квадрате Минус несчастное прекрасное q.

Слайд #14

Уравнение с комплексными коэффициентами В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле и указанным выше ее вариантам, но различимыми является только два случая: нулевого дискриминанта (один корень) и ненулевого (два корня).

Слайд #15

По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. Что лучше, скажи, постоянства такого: Умножишь ты корни - и дробь уж готова: В числителе с,  в знаменателе а, А сумма корней тоже дроби равна. Хоть с минусом дробь - это что за беда - В числителе в, в знаменателе а.  

Слайд #16

Теорема Виета Сумма корней приведённого квадратного уравнения x² + px + q = 0 равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q: В общем случае (для неприведённого квадратного уравнения ax² + bx + c = 0):

Слайд #17

Разложение квадратного уравнения на множители Если известны оба корня квадратного уравнения, его можно разложить по формуле В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности.

Слайд #18

Уравнения, сводящиеся к квадратным Уравнение вида является уравнением, сводящимся к квадратному. В общем случае оно решается заменой c последующим решением квадратного уравнения Также при решении можно обойтись без замены, решив совокупность двух уравнений и Если f (x) = x², то уравнение принимает вид: ax^4 + bx² + c = 0 Такое уравнение называется биквадратным

Слайд #19

Выводы: 1 В процессе работы над презентацией я изучила решение квадратных уравнений. 2 Научилась пользоваться формулами для решения квадратных уравнений 3 Узнала об истории решения 4 Данная презентация будет полезна учащимся 8-9классов для изучения и повторения при решении квадратных уравнений 5 Презентация окажет помощь учителям при объяснении темы «Квадратные уравнения»

Слайд #20

1. http://mathematic.su/teorema.html 2. http://megasoft2009.3dn.ru/load/27 3. http://www.rusedu.ru/ 4.http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Литература: