Определённый интеграл. Введение и некоторые его приложения

Слайд #1

Слайд #2

Слайд #3

Пусть графически задана функция f(x), непрерывная на своей области определения D(f) y

Слайд #4

Будем рассматривать её на отрезке y а b

Слайд #5

Построим фигуру, ограниченную графиком функции y = f(x), прямыми x = а, x = в и у = 0. Назовём её криволинейной трапецией ABCD Поставим задачу нахождения её площади S а b x=a B C D A x=b y=0

Слайд #6

Разделим основание [АD] трапеции ABCD точками х0=а;х1;х2;…; хn= b (x0= a

Слайд #7

Каждой полосе поставим в соответствие прямоугольник, одна сторона которого есть отрезок [xi;xi+1], а смежная сторона – это отрезок f(xi) (i=0…n-1) y В С А D Криволинейная трапеция заменится некоторой ступенчатой фигурой, составленной из отдельных прямоугольников x0 xn

Слайд #8

Основание i-го прямоугольника равно разности xi+1-хi, которую мы будем обозначать через Высота i-го прямоугольника равна f(xi) y В С A D x0 xn

Слайд #9

Площадь i-го прямоугольника равна: Сложив площади всех прямоугольников, получаем приближенное значение площади S криволинейной трапеции:

Слайд #10

т.к площадь ступенчатой фигуры почти совпадает с площадью криволинейной трапеции: y a b y a b

Слайд #11

Точное значение площади S получается как предел суммы площадей всех прямоугольников Для обозначения предельных сумм вида f(xi) xi немецкий учёный В.Лейбниц ввёл символ - интеграл функции f(x) от а до b

Слайд #12

Если предел функции f(x) существует, то f(x) называется интегрируемой на отрезке [a,b]. Числа а и b называются нижним и верхним пределом интегрирования. При постоянных пределах интегрирования определённый интеграл представляет собой определённое число.

Слайд #13

Слайд #14

Задача Вычислить площадь фигуры F, ограниченной линиями y= 4-x2 и y= x2-2x 1) Площадь плоской фигуры

Слайд #15

Построим фигуру F. Для этого построим линии, ограничивающие эту фигуру D 2 1 B C A 4 Y A1 0 -2 -1 X

Слайд #16

Найдем точки пересечения этих парабол A(-1;3); B(2;0) Искомую площадь Sf можно найти как алгебраическую сумму площадей криволинейных трапеций

Слайд #17

Слайд #18

2) Объем тела вращения Пусть тело образуется при вращении вокруг оси OX криволинейной трапеции x1ABx2 Любое сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ox будет круг, радиус которого равен соответствующей ординате точки кривой Y=f(x) Площадь сечения S(x) равна y2, т.е. S(x)= f2(x) Объем тела вращения может быть вычислен по формуле

Слайд #19

ЗАДАЧА Вычислить объем шара, получаемого вращением полуокружности вокруг оси OX Построим полуокружность y X R -R R При вращении этой полуокружности вокруг OX получается сфера, ограничивающая шар. Объем шара найдем по формуле Ответ: Объем шара (куб.ед.)

Слайд #20

Авторские права принадлежат НОУ «Колледж Мосэнерго»