Объем фигур в пространстве

Слайд #1

ОБЪЕМ ФИГУР В ПРОСТРАНСТВЕ Объем – величина, аналогичная площади и сопоставляющая фигурам в пространстве неотрицательные действительные числа. За единицу объема принимается куб, ребро которого равно единице измерения длины. Для объемов пространственных фигур справедливы свойства, аналогичные свойствам площадей плоских фигур, а именно: 1. Объем фигуры в пространстве является неотрицательным числом. 2. Равные фигуры имеют равные объемы. 3. Если фигура Ф составлена из двух неперекрывающихся фигур Ф1 и Ф2, то объем фигуры Ф равен сумме объемов фигур Ф1 и Ф2, т.е. V(Ф)=V(Ф1)+V(Ф2). Две фигуры, имеющие равные объемы, называются равновеликими.

Слайд #2

Обобщенный цилиндр Пусть α и π - две параллельные плоскости, l - пересекающая эти плоскости прямая; F – фигура на одной из этих плоскостей, F’ – ее параллельная проекция на другую плоскость в направлении прямой l. Отрезки, соединяющие точки фигуры F с их проекциями, образуют фигуру в пространстве, которую мы будем называть обобщенным цилиндром. Фигуры F и F’ называются основаниями обобщенного цилиндра. Расстояние между плоскостями оснований называют высотой обобщенного цилиндра. В случае, если в определении обобщенного цилиндра вместо параллельной проекции берется ортогональная, т. е. прямая l перпендикулярна плоскостям α и π, то обобщенный цилиндр называется прямым. В противном случае цилиндр называется наклонным. Частным случаем обобщенного цилиндра являются цилиндр и призма.

Слайд #3

Объем обобщенного цилиндра Теорема. Объем прямого обобщенного цилиндра равен произведению площади его основания на высоту. Следствие 1. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений, т. е. имеет место формула Следствие 2. Объем прямой призмы равен произведению площади ее основания на высоту, т. е. имеет место формула где a, b, c – ребра параллелепипеда. где S – площадь основания, h – высота призмы. Следствие 3. Объем прямого кругового цилиндра, высота которого равна h и радиус основания R, вычисляется по формуле

Слайд #4

Упражнение 1 Может ли объем фигуры в пространстве быть: а) отрицательным числом; б) нулем? Ответ: а) Нет; б) да.

Слайд #5

Упражнение 2 Диагональ куба равна 2 см. Найдите его объем.

Слайд #6

Упражнение 3 Чему равен объем пространственного креста, если ребра образующих его кубов равны единице? Ответ: Семь куб. ед.

Слайд #7

Упражнение 4 Чему равен объем фигуры, изображенной на рисунке? Ответ: Три куб. ед.

Слайд #8

Упражнение 5 Дан куб с ребром 3 см. В каждой грани проделано сквозное квадратное отверстие со стороной 1 см. Найдите объем оставшейся части. Ответ: 20 см3.

Слайд #9

Упражнение 6 Как относятся объемы двух кубов: данного и его модели, уменьшенной в масштабе: а) 1 : 2; б) 1 : 3; в) 1 : n? Ответ: а) 1 : 8; б) 1 : 27; в) 1 : n3.

Слайд #10

Упражнение 7 Если каждое ребро куба увеличить на 2 см, то его объем увеличится на 98 см3. Определите ребро куба. Ответ: 3 см.

Слайд #11

Упражнение 8 В прямом параллелепипеде стороны основания равны 8 см и 5 см и образуют угол в 60°. Меньшая диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол в 30°. Определите объем этого параллелепипеда. Ответ: 140 см3.

Слайд #12

Упражнение 9 Как изменится объем прямого параллелепипеда, если: а) одно из его измерений увеличить в 2 раза, в 3 раза, в n раз; б) если два его измерения увеличить, причем каждое из них в 2, 3, n раз; в) если все три его измерения увеличить в 2, 3, n раз? Ответ: а) Увеличится в 2 раза, в 3 раза, в n раз; б) увеличится в 4 раза, в 9 раза, в n2 раз; в) увеличится в 8 раз, в 27 раз, в n3 раз.

Слайд #13

Упражнение 10 Осевое сечение прямого кругового цилиндра - квадрат со стороной 1 см. Найдите объем цилиндра.

Слайд #14

Упражнение 11 Одна кружка вдвое выше другой, зато другая в полтора раза шире. Какая кружка вместительнее? Ответ: Та, которая шире.

Слайд #15

Упражнение 12 Диагональ осевого сечения цилиндра равна d и наклонена к плоскости основания под углом φ. Найдите объем цилиндра.

Слайд #16

Упражнение 13 Найдите объем фигуры, которая получается при вращении квадрата вокруг его стороны, равной a. Ответ: a3.

Слайд #17

Упражнение 14 Два цилиндра образованы вращением одного и того же прямоугольника около каждой из неравных его сторон a и b. Как относятся объемы цилиндров? Ответ: a : b.

Слайд #18

Упражнение 15 Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, высота призмы равна 10 см. Найдите объем данной призмы. Ответ: 60 см3.

Слайд #19

Упражнение 16 Найдите объем правильной четырехугольной призмы, сторона основания которой 5 см и высота 8 см. Ответ: 200 см3.

Слайд #20

Упражнение 17 Найдите высоту правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания 20 см и объем 4800 см3. Ответ: 12 см.

Слайд #21

Упражнение 18 Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. В каком отношении эта плоскость делит объем призмы? Ответ: 1 : 3.

Слайд #22

Упражнение 19 Основание прямой призмы - ромб, площадь которого равна 1 м2. Площади диагональных сечений равны 3 м2 и 6 м2. Найдите объем призмы. Ответ: 3 м3.

Слайд #23

Упражнение 20 Найдите формулу объема правильной n-угольной призмы, высота которой равна h, а сторона основания равна a.

Слайд #24

Упражнение 21 Объем правильной шестиугольной призмы равен V. Определите объем призмы, вершинами оснований которой являются середины сторон оснований данной призмы.

Слайд #25

Упражнение 22 Во сколько раз объем цилиндра, описанного около правильной четырехугольной призмы, больше объема цилиндра, вписанного в эту же призму? Ответ: В 2 раза.

Слайд #26

Упражнение 23 В цилиндрический сосуд, диаметр которого равен 9 см, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 12 см. Чему равен объем детали? Ответ: 243 см3.

Слайд #27

Упражнение 24 Через точку окружности основания прямого кругового цилиндра проведена плоскость под углом φ к этому основанию. Радиус основания цилиндра равен R. Найдите объем части цилиндра, отсекаемой плоскостью. Ответ: R3tg .

Слайд #28

Упражнение 25 Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, в основании которой квадрат со стороной 1, а высота равна 0,5.