Методы решения логарифмических уравнений

Слайд #1

Методическая разработка учащихся 10 класса МОУ «Бельская СОШ» г. Белого Тверской области

Слайд #2

Основные методы решений логарифмических уравнений

Слайд #3

Определение Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a>0, , называется показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

Слайд #4

1. Использование определения логарифма.

Слайд #5

2. Метод потенцирования. Пример 2.

Слайд #6

3. Введение новой переменной. Пример 3.

Слайд #7

4. Приведение логарифмов к одному основанию.

Слайд #8

5. Метод логарифмирования.

Слайд #9

6.

Слайд #10

Каждому уравнению поставьте в соответствие метод его решения * * по определению логарифма метод потенцирования метод подстановки метод логарифмирования решение по формуле

Слайд #11

Функциональные методы решения логарифмических уравнений * *

Слайд #12

Использование области допустимых значений уравнения

Слайд #13

Определение Областью допустимых значений уравнения называется общая область определения всех функций, входящих в уравнение Утверждение1 Если область допустимых значений уравнения пустое множество, то уравнение не имеет корней. Например:   ОДЗ Ответ : корней нет.

Слайд #14

Утверждение 2. Если область допустимых значений уравнения состоит из конечного числа значений, то корни уравнения содержатся среди этих значений. Это условие является необходимым, но не является достаточным. Поэтому необходима проверка. Пример. + ОДЗ

Слайд #15

Проверка: При х = -1 получаем 0=2. Равенство неверно. Значит х = -1 не является корнем уравнения. При х=1 получаем 0=0. Значит х=1 - корень уравнения. Ответ:1

Слайд #16

Алгоритм решения Находим ОДЗ уравнения. 2) Если ОДЗ - пустое множество, то уравнение не имеет корней. Если ОДЗ - конечное множество значений, то эти значения надо подставить в уравнение.

Слайд #17

Использование монотонности функций.

Слайд #18

* * Теорема. Если функция ƒ(х) монотонна на некотором промежутке , то уравнение ƒ(х) = c имеет на этом промежутке не более одного корня. Пример: log3 x + log8 (5 + x) = 2 ОДЗ: х > 0 5 + x > 0 0 < x < 5 Подбором находим корень уравнения x = 3. Т.к. функция ƒ(х) = log3 x + log8 (5 + x) – есть сумма двух возрастающих функций, то она возрастающая. Значит тогда данное уравнение имеет единственный корень.   Ответ: 3.

Слайд #19

Теорема. Если на некотором промежутке функция ƒ(х) возрастает, а функция g(х) убывает, то уравнение ƒ(х) = g(х) имеет на этом промежутке не более одного корня. Пример: log0,5 8/х = 2 – 2х ОДЗ: x > 0 Подбором находим корень уравнения x = 2. Функции: y1 (x)= 8/х и y2 (x) = log0,5 x – убывающие Функция ƒ (x) = y1(y2(x)) = log0,5 8/х - возрастающая (как убывающая функция от убывающей) Функция g(x) = 2 – 2x – убывающая Тогда данное уравнение имеет единственный корень.   Ответ: 2 * *

Слайд #20

Алгоритм решения Найти ОДЗ. Подбором найти корень уравнения. С помощью монотонности функции доказать, что корень единственный. * *

Слайд #21

Использование множества значений (ограниченности) функций

Слайд #22

* * f(x) и g(x)- элементарные функции, Е(f) и Е(g) – множества значений этих функций. Утверждение 1. Если пересечение множеств значений функций f(x) и g(x) пусто ( E(ƒ)∩ E(g)=Ø ),то уравнение f(x)= g(x) не имеет корней. Пример: Рассмотрим функции f(x)= и g(x)= Найдём их области значений. Е(f): Е(g): E(ƒ)∩ E(g)=Ø Ответ: нет корней

Слайд #23

Утверждение 2. Если E(ƒ)∩E(g)= и f(x)≤ M, а g(x)≥M, то уравнение f(x)= g(x) равносильно системе уравнений Пример * * Ответ: 0 X=0

Слайд #24

Алгоритм решения 1.Оценить обе части уравнения 2.Если f(x)≤ M, а g(x)≥M, то равенство f(x)= g(x) возможно тогда и только тогда, когда f(x) и g (x) одновременно будут равны M, т.е. f(x)= g(x) Можно решить одно уравнение системы и полученный корень подставить в другое уравнение. * *

Слайд #25

Проверьте свои знания тестированием Пройдите по ссылке: Логарифмические уравнения.exe * * Критерии оценки 3 б. – «3», 4-5 б. – «4», 6 б. – «5»

Слайд #26

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл. Учитель высшей категории Сильченкова С.Н., г.Белый Тверской обл.

Слайд #27