Законы и правила математической логики

Слайд #1

Устимкина Л.И. * Законы и правила математической логики Упрощение сложных высказываний 900igr.net Устимкина Л.И.

Слайд #2

Устимкина Л.И. * Основные законы алгебры логики 1 А≡ А (А≡А) Закон тождества 2 A&Ā=0 (А ∙ Ā= 0) Закон непротиворечия 3 A v Ā=l (A+ Ā= 1) Закон исключающего третьего 4 _ Ā=A Закон двойного отрицания 5 А& 0= 0 Av0=A А∙ 0=0 A+0=A 6 А& 1= A Аv 1= 1 А∙ 1= A А+ 1= 1 7 А& A= A Аv A= A А ∙A= A А+ A= A 8 Аv Ā= 1 А+ Ā= 1 Закон Моргана 9 ______ _ (A→B)=A& B _____ _ (A→B)=A∙B 10 A→B=Ā v B A→B=Ā+B 11 A&(A v B)=A A∙(A+B)=A Закон поглощения Устимкина Л.И.

Слайд #3

Устимкина Л.И. * Основные законы алгебры логики 12 A v A&B = A A+A∙B = A Закон поглощения 13 Ā&(AvB) = Ā&B Ā∙(A+B) = Ā∙B 14 AvĀ&B = AvB A+Ā∙B = A+B 15 (AvB) vC =Av(BvC) (A&B)&C = A&(B&C) (A+B)+C=A+(B+C) (A∙B)∙C = A∙(B∙C) Правило ассоциативности 16 (A&B) v (A&C) = A &(B vC) (A∙B) +(A∙C) = A∙(B+C) Правило дистрибутивности 17 AvA = AA&A = A A+A = AA∙A = A Правило идемпотентности 18 A v B=B v AA&B=B&A A+B=B+AA∙B=B∙A Правило коммутативности 19 ___ A≡B = A & B v A& В = (Ā+B) &(A+ B) Устимкина Л.И.

Слайд #4

Устимкина Л.И. * МОРГАН Огастес де (Morgan Augustus de) Морган Огастес (Августус) де (27.6.1806-18.3. 1871)-шотландский математик и логик. Секретарь Королевcкого астрономического общества (1847г.), член Лондонского королевского общества. Первый президент Лондонского математического общества. Родился в Мадуре (Индия). Учился в Тринити-колледж (в Кембридже). Профессор математики в университетском колледже в Лондоне. Основные труды по алгебре, математическому анализу и математической логике. В теории рядов описал логарифмическую шкалу для критериев сходимости; занимался теорией расходящихся рядов. Один из основателей формальной алгебры. Продолжая работы Дж. Пикока, Морган в 1841-1847гг. опубликовал ряд работ по основам алгебры. В трактате "Формальная логика или исчисление выводов необходимых и возможных" (1847г.), Морган некоторыми своими положениями опередил Дж. Буля. Позднее Морган успешно изучал логику отношений - область, не охваченную исследованиями предшественников. В книге "Тригонометрия и двойная алгебра" (1849г.) развил мысль У. Гамильтона о распространении идей символической алгебры на исчисление комплексных величин. Благодаря этому комплексные величины были строго обоснованы не только геометрически, но и алгебраически. Написал много исторических работ, в частности книгу "Бюджет парадоксов" (1872г.). Большой вклад внес также в дедуктивную логику вообще и математическую в частности. Лондонское математическое общество учредило медаль им. О. Моргана. Устимкина Л.И.

Слайд #5

Устимкина Л.И. * Задание 1. Упростить выражение: _ X ∙ Y V X ∙ Y Воспользуемся распределительным законом: Х ∙ ( Y V Z ) = X ∙ Y V X ∙ Z (или вынесем общий множитель за скобку) 1 X ∙ Y V X ∙ Y = _ X ∙(Y V Y ) = = Х ∙ 1 = Х Устимкина Л.И.

Слайд #6

Устимкина Л.И. * Задание 2. Упростите логическое выражение _______________ _____ F= (A v B)→ (B v C). Избавимся от импликации и отрицания. Воспользуемся (¬(A→B)=A& ¬ B). Получится: ¬((AvB)→ ¬(BvC))= (AvB)& ¬ (¬(BvC)). Применим закон двойного отрицания, получим: (A v В) & ¬(¬(В v С)) = (A v В) & (B v С). Применим правило дистрибутивности ((A∙B) +(A∙C) = A∙(B+C)). Получим: (AvВ)& (B v С)= (AvB)&Bv(AvB)&C Применим закон коммутативности (A&B=B&A ) и дистрибутивности (16). Получим: (AvB)&Bv(AvB)&C = A&BvB&BvA&CvB&C. Применим (А& A= A) и получим: A&BvB&BvA&CvB&C= A&BvBvA&CvB&C Применим ((A&B) v(A&C) = A&(BvC) ), т.е. вынесем за скобки В. Получим:A&BvBvA&CvB&C= B& (Av1)vA&CvB&C. Применим (Аv 1= 1 ). Получим:B& (Av1) vA&CvB&C= BvA&CvB&C. Переставим местами слагаемые, сгруппируем и вынесем В за скобки. Получим:BvA&CvB&C = B& (1vC)vA&C. Применим (Аv 1= 1 ) и получим ответ: B&(1vC)vA&C=BvA&C. Устимкина Л.И.

Слайд #7

Устимкина Л.И. * IV. Закрепление изученного №1 Упростите выражение: F = ¬ (A&B) v ¬ (BvC). F = (A→B) v (B→A). F = A&CvĀ&C. F = Av Bv CvAvBvC Ответы: F = ¬ (A&B) v ¬ (BvC) = Av B. F= (A→B) v (B→A) = 1. F = A&CvĀ&C=C. F = Av Bv CvAvBvC=1. Устимкина Л.И.

Слайд #8

Устимкина Л.И. * №2 Упростите выражение: F = ¬(X&Yv ¬(X&Y)). F = X&¬ ( YvX). F = (XvZ) & (Xv Z) & ( YvZ). Ответы: F = ¬(X&Yv ¬(X&Y)) = 0. F = X&¬ ( YvX) = X&Y. F = (XvZ) & (Xv Z) & ( YvZ) =X&( YvZ). Устимкина Л.И.

Слайд #9

Устимкина Л.И. * Домашняя работа I. Упростите логические выражения: F = Av ( A&B). F = A& ( AvB). F = (AvB) & ( BvA) & ( CvB). F = (1V (AvB)) V ((AvC) &1). II. Дана следующая логическая схема. Упростите ее, используя минимальное количество вентилей. III. Как составить расписание. При составлении расписания учителя высказали следующие пожелания: учитель физики хочет иметь первый и второй урок; учитель химии - первый или третий; учитель информатики — второй или третий. Предложите возможные варианты расписания. Устимкина Л.И.