Численное интегрирование
Презентация на тему Численное интегрирование к уроку математике
Презентация по слайдам:
Слайд #1
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Слайд #2
Если функция f(x) непрерывна на отрезке то определенный интеграл от этой функции в пределах от a до b существует и имеет вид
Слайд #3
Найти определенный интеграл на отрезке если подынтегральная функция на отрезке задана таблично. Формулы приближенного интегрирования называются квадратурными формулами. Задача численного интегрирования
Слайд #4
Метод прямоугольников основан на непосредственном определении интеграла: где - интегральная сумма, соответствующая некоторому разбиению отрезка и некоторому выбору точек , ,…, на отрезках разбиения
Слайд #5
Вычисление определенного интеграла геометрически сводится к вычислению площади криволинейной трапеции, ограниченной функцией f(x), осью абсцисс и прямыми x = a и x = b.
Слайд #6
Учитывая, что высота Прямоугольника ABba есть значение функции в точке f(x) –
Слайд #7
Для увеличения точности численного интегрирования можно отрезок разбить на несколько частей и для каждой из них вычислить приближенное значение площади криволинейной трапеции, основанием которой является отрезок (i = 0, 1, …,n – 1), а высотой число т.е. значение функции в точке
Слайд #8
Практически удобно делить отрезок на равные части, а точки (i = 0, 1, …, n – 1) совмещать с левыми или с правыми концами отрезков разбиения.
Слайд #9
Если точку совместить с левым концом отрезка то приближенное значение интеграла может быть представлено формулой левых прямоугольников: где – шаг.
Слайд #10
Слайд #11
Если же в качестве точки выбрать правый конец отрезка то приближенное значение интеграла вычисляется по формуле правых прямоугольников: .
Слайд #12
Слайд #13
Метод трапеций Заменим на отрезке дугу AB графика подынтегральной функции y = f(x) стягивающей ее хордой и вычислим площадь трапеции ABba. Примем значение определенного интеграла численно равным площади этой трапеции: Это и есть формула трапеций
Слайд #14
Слайд #15
Если отрезок разделить на несколько частей и применить формулу трапеции к каждому отрезку Тогда
Слайд #16
Слайд #17
Для простоты вычислений удобно разделить отрезок на равные части, в этом случае длина каждого из отрезков разбиения есть Численное значение интеграла на отрезке равно
Слайд #18
А на всем отрезке соответственно Эта формула называется общей формулой трапеции. Ее можно переписать в виде где – шаг.
Слайд #19
Метод парабол (метод Симпсона) h h
Слайд #20
функцию y = f(x) на отрезке заменяем квадратичной функцией, принимающей в узлах , , значения , и В качестве интерполяционного многочлена воспользуемся многочленом Ньютона
Слайд #21
Тогда Это соотношение называется формулой Симпсона.
Слайд #22
Для увеличения точности вычислений отрезок разбивают на n пар участков и заменяя подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Ньютона второй степени, получают приближенное значение интеграла на каждом участке длины 2h:
Слайд #23
……………………………………
Слайд #24
Тогда численное значение определенного интеграла на отрезке будет равно сумме интегралов Это соотношение называется общей формулой Симпсона. Ее можно записать также в виде где