Презентация "Степени с рациональным показателем"

Слайд #1

Степень с рациональным показателем

Слайд #2

Степень с натуральным показателем







𝑎 𝑛 = 𝑎∗𝑎∗𝑎∗..∗𝑎∗𝑎 𝑛 раз
a– основание степени, n – показатель степени.

Слайд #3

Если n – натуральное число и 𝑛≥2, 𝑚 −целое число, то при 𝑎>0 справедливо равенство:
𝑛 𝑎 𝑚 = 𝑎 𝑚 𝑛

И обратно: 𝑎 𝑚 𝑛 = 𝑛 𝑎 𝑚

Слайд #4

Степень с целым отрицательным показателем

𝑎 −𝑛 = 1 𝑎 𝑛
1 𝑎 −𝑛 = 𝑎 𝑛
𝑎 𝑏 −𝑛 = 𝑏 𝑎 𝑛

Слайд #5

Задание № 1. Записать в виде степени с рациональным показателем
3 𝑥 2 =
𝑦 3 =
𝑎 =
4 𝑏 3 =
5 𝑥 −3 =
9 𝑦 =

Слайд #6

Задание № 1. Записать в виде степени с рациональным показателем
𝑥 2 3
𝑦 3 2
𝑎 1 2
𝑏 3 4
𝑥 − 3 5
𝑦 1 9

3 𝑥 2 =
𝑦 3 =
𝑎 =
4 𝑏 3 =
5 𝑥 −3 =
9 𝑦 =

Слайд #7

Задание № 2. Записать в виде корня из степени с целым показателем
1) 𝑦 5 3 =
2) 𝑥 7 2 =
3) 𝑏 1 2 =
4) 𝑥 − 3 4 =
5) 𝑥 − 2 3 =
6) 𝑦 1 7 =

Слайд #8

Задание № 2. Записать в виде корня из степени с целым показателем
3 𝑦 5
𝑥 7
𝑏
4 𝑥 −3
3 𝑥 −2
7 𝑦

1) 𝑦 5 3 =
2) 𝑥 7 2 =
3) 𝑏 1 2 =
4) 𝑥 − 3 4 =
5) 𝑥 − 2 3 =
6) 𝑦 1 7 =

Слайд #9

Задание № 3. Вычислите:
1. 27 1 3 =
2. 64 2 3 =
3. 8 − 2 3 =
4. 4 0,5 =
5. 4 25 −1,5 =

Слайд #10

Задание № 3. Вычислите:
1. 27 1 3 = 3 27 1 =3
2. 64 2 3 = 3 64 2 = 3 64 2 = 4 2 =16
3. 8 − 2 3 = 1 8 2 3 = 1 3 8 2 = 1 3 8 2 = 1 2 2 = 1 4
4. 4 0,5 = 4 1 2 = 4 =2
5. 4 25 −1,5 = 25 4 1,5 = 25 4 3 2 = 25 4 3 = 5 2 3 = 125 8 .

Слайд #11

Свойства степени
с рациональным показателем
Все свойства степени с натуральным показателем верны и для степени с любым рациональным показателем и положительным основанием.
(p и q – рациональные числа, a>0, b>0)
𝑎 𝑝 ∙ 𝑎 𝑞 = 𝑎 𝑝+𝑞
𝑎 𝑝 : 𝑎 𝑞 = 𝑎 𝑝−𝑞
𝑎 𝑝 𝑞 = 𝑎 𝑝 ∙ 𝑞
𝑎∙𝑏 𝑝 = 𝑎 𝑝 ∙ 𝑏 𝑝
𝑎 𝑏 𝑝 = 𝑎 𝑝 𝑏 𝑝

Слайд #12

Свойства степеней. Примеры.
1) 3 3 5 ∙ 3 2 5 = 3 3 5 + 2 5 = 3 5 5 = 3 1 =3;
2) 25 7 2 25 3 = 25 7 2 −3 = 25 7 2 − 6 2 = 25 1 2 = 25 =5
3) 7 2 3 3 2 = 7 2 3 ∙ 3 2 = 7 1 =7
4) 4 1 3 ∙ 2 1 3 = 4∙2 1 3 = 8 1 3 = 3 8 =2
5) 54 2 3 2 2 3 = 54 2 2 3 = 27 2 3 = 3 27 2 = 3 27 2 = 3 2 =9.

Слайд #13

Свойства степени
с рациональным показателем (2)
Верно и обратное (p и q – рациональные числа, a>0, b>0)

𝑎 𝑝+𝑞 = 𝑎 𝑝 ∗ 𝑎 𝑞
𝑎 𝑝−𝑞 =𝑎 𝑝 : 𝑎 𝑞
𝑎 𝑝 ∙ 𝑞 = 𝑎 𝑝 𝑞
𝑎 𝑝 ∙ 𝑏 𝑝 = 𝑎∙𝑏 𝑝
𝑎 𝑝 𝑏 𝑝 = 𝑎 𝑏 𝑝

Слайд #14

Свойства степеней (2). Примеры.
16 3 2 = 16 1 1 2 = 16 1+ 1 2 = 16 1 ∙ 16 1 2 =16∙ 16 =16∙4=64
16 3 2 = 16 1 1 2 = 16 2 − 1 2 = 16 2 : 16 1 2 =256 : 16 =256/4=64
16 3 2 = 16 1 2 ∙ 3 = 1 6 1 2 3 = 16 3 = 4 3 =64
16 3 2 =( 4 2 ) 3 2 = 4 2 ∙ 3 2 = 4 3 =64
2 2 5 ∙ 16 2 5 = 2∙16 2 5 = 32 2 5 = 5 32 2 = 2 2 =4
32 2 3 : 4 2 3 = 32:4 2 3 = 8 2 3 = 3 8 2 = 2 2 =4.

Слайд #15

Задание 4. Вычислите:
16 0,75 +2=
9 3 2 −4=
64 81 − 3 2 + 2,17 0 =
2,25 1 2 − 1 23 =

Слайд #16

Задание 4. Вычислите:
16 0,75 +2= 16 3 4 +2= 4 16 3 +2=8+2=10
9 3 2 −4= 9 3 −4=27−4=23
64 81 − 3 2 + 2,17 0 = 81 64 3 2 +1= 81 64 3 +1= 9 8 3 +1= 729 512 +1= 1241 512 =2 217 512
2,25 1 2 − 1 23 = 2,25 −1=1,5−1=0,5

Слайд #17

Задание № 5. Записать в виде степени с рациональным показателем
𝑥 ∙ 𝑥 1 3 =
𝑦 1 6 ∙ 3 𝑦 =
𝑎 2 5 ∙ 10 𝑎 =
3 𝑏 2 : 𝑏 5 6 =
𝑐 4 7 : 𝑐∙ 𝑐 =
𝑎 5 6 ∙ 6 𝑎 : 𝑎 − 1 2 =

Слайд #18

Задание № 5. Записать в виде степени с рациональным показателем
𝑥 ∙ 𝑥 1 3 = 𝑥 1 2 ∙ 𝑥 1 3 = 𝑥 1 2 + 1 3 = 𝑥 5 6
𝑦 1 6 ∙ 3 𝑦 = 𝑦 1 6 ∙ 𝑦 1 3 = 𝑦 1 6 + 1 3 = 𝑦 1 2
𝑎 2 5 ∙ 10 𝑎 = 𝑎 2 5 ∙ 𝑎 1 10 = 𝑎 2 5 + 1 10 = 𝑎 1 2
3 𝑏 2 : 𝑏 5 6 = 𝑏 2 3 : 𝑏 5 6 = 𝑏 2 3 − 5 6 = 𝑏 − 1 6
𝑐 4 7 : 𝑐∙ 𝑐 = 𝑐 4 7 :( 𝑐 1 ∙ 𝑐 1 2 )= 𝑐 4 7 − 3 2 = 𝑐 − 13 14
𝑎 5 6 ∙ 6 𝑎 : 𝑎 − 1 2 = 𝑎 5 6 ∙ 𝑎 1 6 : 𝑎 − 1 2 = 𝑎 5 6 + 1 6 − (− 1 2 ) = 𝑎 3 2

Слайд #19

Задание № 6. Сравнить с единицей число

Слайд #20

Выполните самостоятельно:

Слайд #21

Слайд #22

1) Вычислите 19∙ 16 1 4 – 17.
2) Упростите выражение 3 0,5 3 −0,5 .
3) Решите неравенство 1 9 2−7х – 1 ≤ 0.
4) Вычислите 4∙ 64 1 3 – 0,9
5) Упростите выражение 10 1,4 10 −0,6
6) Решите неравенство 3 7 15х−5 – 1 ≥ 0
7) Вычислите 7∙ 625 1 4 – 13
8) Упростите выражение 16 1,4 16 0,4
9) Решите неравенство 2 21 4−6х – 1 ≥0