Презентация "Понятие вектора в пространстве"

Слайд #1

Понятие вектора

Слайд #2

Определение. Отрезок, для которого указано,
какой из его концов является началом, а какой — концом, называется вектором.
Вектор характеризуется следующими элементами:
начальной точкой (точкой приложения);
направлением;
длиной («модулем вектора»).

Слайд #3

𝐴
𝐵
нулевой вектор
𝟎
𝒂
Длина ненулевого вектора 𝐴𝐵 равна длине отрезка 𝐴𝐵.
Длина нулевого вектора равна 𝟎.
𝐴𝐵 =𝐴𝐵
0 =0
𝑨𝑩
𝑀𝑀
Абсолютной величиной (или модулем) вектора (длина вектора) называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютная величина вектора обозначается 𝐴𝐵 . Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует — ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.

Слайд #4

Ненулевые векторы называются коллинеарными,
если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
𝒂
𝒃
𝒄
𝟎
Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Коллинеарные векторы,
имеющие одинаковые направления,
называют сонаправленными.
Коллинеарные векторы,
имеющие противоположные направления,
называют противоположно направленными.
𝒂 и 𝒄
𝟎 и 𝒂
𝟎 и 𝒃
𝟎 и 𝒄
𝒂 и 𝒃
𝒃 и 𝒄
⇈
⇈
⇈
⇈
↑↓
↑↓

Слайд #5

𝐵
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐷 1 − параллелепипед
Сонаправленные:
Противоположно направленные:
𝐶
𝐵 1
𝐶 1
𝐾
𝑀
𝐷 1
𝐴 1
𝐴
𝐷

Слайд #6

𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐷 1 − параллелепипед
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐷 1
𝐴 1
𝐵 1
𝐶 1
𝐾
𝑀
Сонаправленные:
𝐷 1 𝐴 1 ⇈ 𝐶 1 𝐵 1
𝐷 1 𝐴 1 ⇈ 𝐶𝐵
𝐶𝐵 ⇈ 𝐶 1 𝐵 1
𝐷𝐾 ⇈ 𝐶𝑀
Противоположно направленные:
𝐴 1 𝐴 ↑↓ 𝐶 𝐶 1
𝐴𝐷 ↑↓ 𝐶𝐵
𝐴𝐷 ↑↓ 𝐷 1 𝐴 1
𝐴𝐷 ↑↓ 𝐶 1 𝐵 1
𝐴𝐵 ↑↓ 𝐶𝐷

Слайд #7

Задача. 𝐴𝐵𝐶𝐷− тетраэдр. Точки 𝑀, 𝑁 и 𝐾 являются серединами сторон 𝐴𝐶, 𝐵𝐶 и 𝐶𝐷.
𝐴𝐵=3 см, 𝐵𝐶=4 см, а 𝐵𝐷=5 см. Определить длины векторов:
а) 𝐴𝐵 , 𝐵𝐶 , 𝐵𝐷 , 𝑁𝑀 , 𝐵𝑁 , 𝑁𝐾 ;
б) 𝐶𝐵 , 𝐵𝐴 , 𝐷𝐵 , 𝑁𝐶 , 𝐾𝑁 .
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑀
𝑁
𝐾

Слайд #8

Задача. 𝐴𝐵𝐶𝐷− тетраэдр. Точки 𝑀, 𝑁 и 𝐾 являются серединами сторон 𝐴𝐶, 𝐵𝐶 и 𝐶𝐷.
𝐴𝐵=3 см, 𝐵𝐶=4 см, а 𝐵𝐷=5 см. Определить длины векторов:
а) 𝐴𝐵 , 𝐵𝐶 , 𝐵𝐷 , 𝑁𝑀 , 𝐵𝑁 , 𝑁𝐾 ;
б) 𝐶𝐵 , 𝐵𝐴 , 𝐷𝐵 , 𝑁𝐶 , 𝐾𝑁 .
Решение.
а) 𝐴𝐵 =𝐴𝐵=3 см
𝐵𝐶 =𝐵𝐶=4 см
𝐵𝐷 =𝐵𝐷=5 см
𝑁𝑀 =𝑁𝑀= 1 2 𝐴𝐵=1,5 см
𝐵𝑁 =𝐵𝑁= 1 2 𝐵𝐶=2 см
𝑁𝐾 =𝑁𝐾= 1 2 𝐵𝐷=2,5 см
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑀
𝑁
𝐾

Слайд #9

𝑀
Задача. 𝐴𝐵𝐶𝐷− тетраэдр. Точки 𝑀, 𝑁 и 𝐾 являются серединами сторон 𝐴𝐶, 𝐵𝐶 и 𝐶𝐷.
𝐴𝐵=3 см, 𝐵𝐶=4 см, а 𝐵𝐷=5 см. Определить длины векторов:
а) 𝐴𝐵 , 𝐵𝐶 , 𝐵𝐷 , 𝑁𝑀 , 𝐵𝑁 , 𝑁𝐾 ;
б) 𝐶𝐵 , 𝐵𝐴 , 𝐷𝐵 , 𝑁𝐶 , 𝐾𝑁 .
Решение.
а) 𝐴𝐵 =𝐴𝐵=3 см
𝐵𝐶 =𝐵𝐶=4 см
𝐵𝐷 =𝐵𝐷=5 см
𝑁𝑀 =𝑁𝑀= 1 2 𝐴𝐵=1,5 см
𝐵𝑁 =𝐵𝑁= 1 2 𝐵𝐶=2 см
𝑁𝐾 =𝑁𝐾= 1 2 𝐵𝐷=2,5 см
б) 𝐶𝐵 =𝐶𝐵=4 см
𝐵𝐴 =𝐵𝐴=3 см
𝐷𝐵 =𝐷𝐵=5 см
𝑁𝐶 =𝑁𝐶= 1 2 𝐵𝐶=2 см
𝐾𝑁 =𝐾𝑁= 1 2 𝐵𝐷=2,5 см
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐾
𝑁

Слайд #10

Задача. Измерения прямоугольного параллелепипеда 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐷 1
равны соответственно 8 см, 9 см и 12 см. Найти длины векторов:
а) 𝐶 𝐶 1 , 𝐶𝐵 , 𝐶𝐷 ;
б) 𝐷 𝐶 1 , 𝐷𝐵 , 𝐷 𝐵 1 .
𝐴
𝐵
𝐴 1
𝐵 1
𝐶 1
9 см
12 см
8 см
𝐷
𝐶
𝐷 1

Слайд #11

Задача. Измерения прямоугольного параллелепипеда 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐷 1
равны соответственно 8 см, 9 см и 12 см. Найти длины векторов:
а) 𝐶 𝐶 1 , 𝐶𝐵 , 𝐶𝐷 ;
б) 𝐷 𝐶 1 , 𝐷𝐵 , 𝐷 𝐵 1 .
Решение.
𝐴
𝐵
𝐴 1
𝐵 1
𝐶 1
а) 𝐶 𝐶 1 =𝐶 𝐶 1 =12 см
𝐶𝐵 =𝐶𝐵=8 см
𝐶𝐷 =𝐶𝐷=9 см
б) 𝐷 𝐶 1 =𝐷 𝐶 1 = 9 2 + 12 2 = 225 =15 см
𝐷𝐵 =𝐷𝐵= 8 2 + 9 2 = 145 см
𝐷 𝐵 1 =𝐷 𝐵 1 = 145 2 + 12 2 = 289 =17 см
9 см
12 см
8 см
𝐷
𝐶
𝐷 1

Слайд #12

Равенство векторов

Слайд #13

Равные векторы
Противоположные векторы
Равными называют
сонаправленные векторы,
длины которых равны.
𝒂
𝒃
𝒂
𝒃
Противоположными называют
противоположно направленные векторы,
длины которых равны.
𝒂 = 𝒃
1. 𝑎 ⇈ 𝑏
2. 𝑎 = 𝑏
𝒂 =− 𝒃
1. 𝑎 ↑↓ 𝑏
2. 𝑎 = 𝑏

Слайд #14

𝒂
𝒂
От любой точки 𝑀 пространства можно отложить вектор,
равный данному вектору 𝑎 , и притом только один.
𝑴
Вектор 𝑎 отложен от точки 𝑀.
𝑵

Слайд #15

𝐵
𝑨𝑩𝑪𝑫 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 − куб
Равные векторы:
Противоположные векторы:
𝐶
𝐶 1
𝐴
𝐷
𝐵 1
𝐷 1
𝐴 1

Слайд #16

𝑨𝑩𝑪𝑫 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 − куб
Равные векторы:
Противоположные векторы:
𝐴 𝐴 1 = 𝐶 𝐶 1
𝐴 1 𝐷 1 = 𝐴𝐷
𝐴 1 𝐵 1 =− 𝐶𝐷
𝐴𝐷 =− 𝐶𝐵
𝐴 1 𝐷 1 =− 𝐶𝐵
𝐵
𝐶
𝐶 1
𝐴
𝐷
𝐵 1
𝐷 1
𝐴 1

Слайд #17

𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑁
Задача. 𝐴𝐵𝐶𝐷− правильный тетраэдр.
𝑀, 𝑁, 𝑃 и 𝑄− середины рёбер 𝐴𝐵, 𝐴𝐷, 𝐶𝐷 и 𝐵𝐶.
1. Среди изображённых векторов указать пары равных векторов.
2. Установить вид четырёхугольника 𝑀𝑁𝑃𝑄.
𝒂 = 𝒃
1. 𝑎 ⇈ 𝑏
2. 𝑎 = 𝑏
𝑃
𝑀
𝑄

Слайд #18

𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑀
𝑁
Задача. 𝐴𝐵𝐶𝐷− правильный тетраэдр.
𝑀, 𝑁, 𝑃 и 𝑄− середины рёбер 𝐴𝐵, 𝐴𝐷, 𝐶𝐷 и 𝐵𝐶.
1. Среди изображённых векторов указать пары равных векторов.
2. Установить вид четырёхугольника 𝑀𝑁𝑃𝑄.
Решение.
𝒂 = 𝒃
1. 𝑎 ⇈ 𝑏
2. 𝑎 = 𝑏
𝑃
𝑄
1. 𝑫𝑷 = 𝑷𝑪
𝐷𝑃 = 𝑃𝐶
𝐷𝑃 ⇈ 𝑃𝐶
𝑴𝑵 = 𝑸𝑷
𝑀𝑁 = 𝑄𝑃
𝑀𝑁 ⇈ 𝑄𝑃
𝑵𝑷 = 𝑴𝑸
𝑁𝑃 = 𝑀𝑄
𝑁𝑃 ⇈ 𝑀𝑄

Слайд #19

𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑀
𝑁
Задача. 𝐴𝐵𝐶𝐷− правильный тетраэдр.
𝑀, 𝑁, 𝑃 и 𝑄− середины рёбер 𝐴𝐵, 𝐴𝐷, 𝐶𝐷 и 𝐵𝐶.
1. Среди изображённых векторов указать пары равных векторов.
2. Установить вид четырёхугольника 𝑀𝑁𝑃𝑄.
Решение.
𝑄
𝑃
1. 𝐷𝑃 = 𝑃𝐶
𝐷𝑃 = 𝑃𝐶
𝐷𝑃 ⇈ 𝑃𝐶
𝑀𝑁 = 𝑄𝑃
𝑀𝑁 = 𝑄𝑃
𝑀𝑁 ⇈ 𝑄𝑃
𝑁𝑃 = 𝑀𝑄
𝑁𝑃 = 𝑀𝑄
𝑁𝑃 ⇈ 𝑀𝑄
2. 𝑀𝑁∥𝑄𝑃, 𝑀𝑁=𝑄𝑃
𝑁𝑃∥𝑀𝑄, 𝑁𝑃=𝑀𝑄
⟹𝑀𝑁𝑃𝑄− параллелограмм
𝑀𝑁=𝑃𝑄=𝑁𝑃=𝑀𝑄 ⟹ 𝑀𝑁𝑃𝑄− ромб
Ответ: 1) 𝐷𝑃 = 𝑃𝐶 , 𝑀𝑁 = 𝑄𝑃 , 𝑁𝑃 = 𝑀𝑄 ; 2) 𝑀𝑁𝑃𝑄− ромб.

Слайд #20

𝐵
𝐶
𝐵 1
𝐶 1
𝑀
𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐷 1 − параллелепипед.
Точки 𝐾 и 𝑀− середины сторон 𝐴 1 𝐷 1 и 𝐵 1 𝐶 1 .
Назвать векторы, которые получатся, если:
а) от точки 𝐶 отложить вектор, равный 𝐷 𝐷 1
𝑪 𝑪 𝟏 = 𝐷 𝐷 1
б) от точки 𝐷 отложить вектор, равный 𝐶𝑀
𝑫𝑲 = 𝐶𝑀
в) от точки 𝐴 1 отложить вектор, равный 𝐴𝐶
𝑨 𝟏 𝑪 𝟏 = 𝐴𝐶
г) от точки 𝐶 1 отложить вектор, равный 𝐶𝐵
𝑪 𝟏 𝑩 𝟏 = 𝐶𝐵
д) от точки 𝑀 отложить вектор, равный 𝐾 𝐴 1
𝑴 𝑩 𝟏 = 𝐾 𝐴 1
𝐷 1
𝐴 1
𝐴
𝐷
𝐾

Слайд #21

СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Слайд #22

Слайд #23

СУММА НЕСКОЛЬКИХ ВЕКТОРОВ

Слайд #24

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ

Слайд #25

Слайд #26

УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

Слайд #27

Выполнить самостоятельно:

1. Построить вектор, равный -4 МК

2. Упростить выражение: 𝐾𝐴 + 𝑀𝑁 − 𝑂𝐴 + 𝐶𝑀 − 𝐵𝑂 + 𝑁𝐾 .

3. Даны два вектора ( 𝑎 и 𝑏 ). Выполнить:
а) сложение векторов по правилу треугольника;
б) сложение векторов по правилу параллелограмма;
в) вычитание векторов;
г) построить вектор, равный 3 𝑎 −2 𝑏 ;
д) построить вектор, равный 𝑎 + 1 2 𝑏 ;
е) построить вектор, равный 1 3 𝑎 −1,5 𝑏 .
4. Упростить выражение: 𝑂𝐴 + 𝑃𝑁 − 𝐾𝑀 − 𝑀𝐴 + 𝐵𝑂 + 𝑁𝐵 .




М
К
𝑎
𝑏

Слайд #28

Слайд #29

Слайд #30

Слайд #31

Слайд #32

Слайд #33

Слайд #34

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
Координатами вектора с началом в точке А( х 1 , у 1 , 𝑧 1 ) и концом в точке В( х 2 , у 2 , 𝑧 2 ) называются числа х 2 − х 1 , у 2 − у 1 , 𝑧 2 − 𝑧 1 .

𝐴𝐵 =( х 2 − х 1 ; у 2 − у 1 ; 𝑧 2 − 𝑧 1 ).
А(2; -5; 0), В(1;7;-11)
𝐴𝐵 =(1-2; 7-(-5); -11-0) = (-1; 12; -11)
Равные векторы имеют равные координаты.

Слайд #35

ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ
Действия над векторами: 𝒂 = ( х 1 , у 1 , 𝑧 1 ), 𝒃 = ( х 2 , у 2 , 𝑧 2 )
Суммой двух векторов называется вектор 𝑎 + 𝑏 = ( х 1 + х 2 ; у 1 + у 2 ; 𝑧 1 + 𝑧 2 )
Разностью двух векторов называется вектор 𝑎 - 𝑏 = ( х 1 − х 2 ; у 1 − у 2 ; 𝑧 1 − 𝑧 2 )
Произведением вектора на число называется вектор p 𝑎 = (р х 1 ;р у 1 ;р 𝑧 1 )
Скалярным произведением векторов называется число: 𝑎 ∙ 𝑏 = х 1 ∙х 2 + у 1 ∙ у 2 + 𝑧 1 ∙ 𝑧 2
Середина отрезка. Пусть М – середина отрезка АВ, причем А( х 1 , у 1 , 𝑧 1 ), В( х 2 , у 2 , 𝑧 2 ),
то координаты середины отрезка находятся по формуле: х М= х 1 + х 2 2 ;у М = у 1 + у 2 2 ; 𝑧 М = 𝑧 1 + 𝑧 2 2
6. Длина вектора равна | 𝑎| = 𝑥 1 2 + 𝑦 1 2 + 𝑧 1 2 .
7. Угол между векторами находится по формуле: cos 𝛼 = х 1 ∙х 2 + у 1 ∙ у 2 + 𝑧 1 ∙ 𝑧 2 х 1 2 + у 1 2 + 𝑧 1 2 ∙ 𝑥 2 2 + 𝑦 2 2 + 𝑧 2 2 = 𝑎 ∙ 𝑏 𝑎 ∙ 𝑏

Слайд #36

ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ
Условие перпендикулярности двух векторов:
если 𝑎 ∙ 𝑏 = 0, то 𝑎 и 𝑏 перпендик−ы.
Условие коллинеарности двух векторов:
х 1 х 2 = у 1 у 2 = 𝑧 1 𝑧 2 .
Условие компланарности двух векторов:
𝑑 =𝑥 𝑎 +𝑦 𝑏 +𝑧 𝑐 .

Слайд #37

РАЗОБРАТЬ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Слайд #38

ВЫПОЛНИТЕ ЗАДАНИЯ
Даны точки А(-4;6;0) и В(4;-2;1). Вычислите:
Запишите координаты вектора ВА .
Найдите координатысередины отрезка АВ.
Найдите длину вектора АВ
Запишите разложение вектора ВА покоординатным векторам 𝑖 , 𝑗 , 𝑘 .

Слайд #39

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Слайд #40

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Слайд #41

ВЫПОЛНИТЕ ПО ВАРИАНТАМ