Презентация по геометрии на тему"Координатный метод при решении задач по стереометрии" (11 класс)

Слайд #1

Координатный метод при решении задач по стереометрии
Автор: Ю.В. Дайбова
учитель математики МАОУ «СОШ №18»,
г. Миасс, Челябинская обл.

Слайд #2

Типы задач
Расстояние между двумя точками
Пусть точки

- концы отрезка АВ. Тогда внутренняя точка С отрезка АВ такая, что АС:СВ=k, имеет координаты

Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки

заданной уравнением ax+by+cz+d=0, можно вычислить по формуле

Слайд #3

Типы задач
Угол между скрещивающимися прямыми
Угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами.
Алгоритм решения задач на нахождение угла между скрещивающимися прямыми:
Вписать фигуру в систему координат
Изобразить указанные в задаче прямые, на которых указать направляющие векторы
Найти координаты векторов (по координатам начала и конца)
По формуле «косинус угла между векторами» вычислить значение косинуса
Если требуется в задаче, зная косинус, найти значение самого угла.
𝑎 {x1; y1; z1} и 𝑏 {x2; y2; z2} – направляющие векторы данных прямых

Слайд #4

Пример 1.
В единичном кубе ABCD 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 найдите угол между прямыми
A 𝑩 𝟏 и B 𝑪 𝟏

Слайд #5

Типы задач
Угол между прямой и плоскостью
Угол между прямой ℓ и плоскостью α можно вычислить по формуле
Угол между плоскостями
Задачу о нахождении угла между плоскостями α и β, заданными в прямоугольной системе координат уравнениями 𝑝 1 x+ 𝑞 1 y+ 𝑟 1 z+ 𝑑 1 = 0 и 𝑝 2 x+ 𝑞 2 y+ 𝑟 2 z+ 𝑑 2 = 0 соответственно, удобнее свести к задаче о нахождении угла между векторами их нормалей

Слайд #6

Координаты вершин многогранников в системе координат.
Координаты вершин:
А (0;0;0), А1(0;0;1), В(1;0;0), В1(1;0;1), D(0;0;0), D1( 0;1;1), С(1;1;0), С1(1;1;1).
Единичный куб ABCD 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏
2. Правильная треугольная призма A…C1 , все ребра, которой равны 1.
Координаты вершин:

А (0;0;0), А 1(0;0;1), В(1;0;0),
В1(1;0;1), С(0,5; 3 2 ; 0),С1(0,5; 3 2 ;1).

Слайд #7

Координаты вершин многогранников в системе координат.
3. Правильная шестиугольная призма A...F1, все ребра которой равны 1.
 
Координаты вершин:







 
А (0;0;0), А1(0;0;1),
В(1;0;0), В1(1; 0; 1),
С(1,5; 3 2 ; 0), С1(1,5; 3 2 ; 1),
D(1; 3 ; 0), D1(1; 3 ; 1),
Е(0; 3 ; 0), E1(0; 3 ; 1),
F(-05; 3 2 ; 0),


𝐹 1 (-05; 3 2 ;1)
4. Правильная треугольная пирамида (тетраэдр) ABCD все ребра которой равны 1.
Координаты вершин:
),
А (0;0;0), В(1; 0; 0),
С(0,5; 3 2 ; 0), D(0,5; 3 6 ; 6 3 )

Слайд #8

Координаты вершин многогранников
в системе координат.
5. Правильная четырехугольная пирамида SABCD, все ребра которой равны 1.
Координаты вершин:
А (0; 0; 0), В(1; 0; 0),

С(1; 1; 0), D(0; 1; 0),

S (0,5; 0,5; 2 2 ).


6. Правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2.

Координаты вершин: А (0; 0; 0), В(1;0; 0), С(1,5; 3 2 ; 0), D(1; 3; 0), Е(0; 3; 0), F(-05; 3 2 ; 0),
S(0,5; 3 2 ; 3 )

Слайд #9

Алгоритм решения задач на нахождение угла между прямой и плоскостью:

1. На чертеже изобразить указанные в задаче прямую и плоскость (на прямой – направляющий вектор ).
2. Вписать фигуру в систему координат.
3. Найти координаты направляющего вектора по координатам начала и конца.
4. Составить уравнение плоскости. Найти координаты вектора нормали к плоскости.
5. Подставить в формулу «синус угла между прямой и плоскостью»
6. Если требуется в задаче, зная синус, найти значение самого угла.

Алгоритм решения задач на нахождение
угла между плоскостями:
1. На чертеже изобразить указанные в задаче плоскости.
2. Вписать фигуру в систему координат.
3.Составить уравнения плоскостей. Найти координаты вектора нормали к плоскости.
4. Подставить в формулу «косинус угла между плоскостями» .
5. Если требуется в задаче, зная косинус, найти значение самого угла.

Слайд #10

Пример 2.
РЕШЕНИЕ:
Пусть ребро куба равно 1.

A(1; 0; 0), E(1; 0,5; 1)
Координаты направляющего вектора прямой: 𝑨𝑬 {0; 0,5; 1}

Т.к. (BD 𝐷 1 ) – диагональное сечение, то вектором нормали к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, 𝑨С {1; -1; 0}.
sin 𝝋 = 𝑨С ∙ 𝑨𝑬 𝑨𝑬 𝑨С ;
sin 𝝋 = 𝟐 𝟐√𝟓√𝟐 = 𝟏 𝟏𝟎 = 𝟏𝟎 𝟏𝟎 .


Ответ: 𝟏𝟎 𝟏𝟎 .

В кубе ABCD 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 точка E середина ребра 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 . Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BD 𝑫 𝟏 .

Слайд #11

Пример 3. В правильной четырёхугольной призме ABCD 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 5. На ребре A 𝑨 𝟏 отмечена точка Е так, что АЕ:Е 𝑨 𝟏 =3:2. Найдите угол между плоскостями АВС и BE 𝑫 𝟏 .
РЕШЕНИЕ:


Составим уравнение плоскости BED1
В(2; 0; 0), Е(0; 0; 3), D1(0; 2; 5)
Подставим координаты точек
в уравнение плоскости:
ax+by+cz+d = 0
Вектор нормали плоскости BE 𝑫 𝟏 −
𝑛 1 {−3;2;−2}
Т. к. ось Аz перпендикулярна плоскости основания, то вектор нормали плоскости АВС - 𝑛 2 {0;0;5}

cos 𝜑 = 𝑛 1 ∙ 𝑛 2 𝑛 1 ∙ 𝑛 2
cos 𝜑 = 0∙ −3 +2∙0−2∙5 9+4+4 0+0+25 = −10 5 17 = 2 17
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 2 17
Ответ: 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 2 17

Слайд #12

Пример 3. В правильной треугольной призме ABC 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 сторона
основания равна 2, боковое ребро равно 3, точка D –
середина ребра C𝑪 𝟏 . Найдите расстояние от вершины
С до плоскости AD𝑩 𝟏 .
РЕШЕНИЕ:

Подставим координаты точек в уравнение плоскости:
ax + by + cz + d = 0
Вычислим расстояние от точки С до плоскости ADB1 по формуле:
Ответ: 𝟑 𝟏𝟑 𝟏𝟑

Слайд #13

Самостоятельная работа
1а. В кубе ABCD 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 точки E и K середины рёбер соответственно 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 и 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 . Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.
Ответ: 𝟐 𝟓

1б. В правильной треугольной призме ABC 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 , все ребра которой равны 1, точка D середина ребра 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 . Найдите косинус угла между прямыми AD и B 𝑪 𝟏 .
Ответ: 𝟑 𝟐 𝟏𝟎
2* В кубе ABCD 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 𝑪 𝟏 𝑫 𝟏 точки E и F середины рёбер соответственно 𝑨 𝟏 𝑩 𝟏 и 𝑨 𝟏 𝑫 𝟏 . Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BD 𝑫 𝟏 .
Ответ: 𝟐 𝟒

Слайд #14

Источники информации
2. А. Г. Малкова. Подготовка к ЕГЭ по математике. Материалы сайта EGE-Study.ru

1. Борзенко Е.К., Корнева И.Г. Решение стереометрических задач: Методические рекомендации. – Бийск: РИО БПГУ им. В.М. Шукшина, 2005. – 60с.

3. Открытый банк заданий // URL: www.mathege.ru

4. Федеральный институт педагогических измерений// URL: www.fipi.ru/