Множества. Операции над множествами. подробная презентация

Слайд #1

МНОЖЕСТВА
1

Слайд #2

Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется через другие.

Математический смысл слова «множество» отличается от того, как оно используется в обычной речи, где его связывают с большим количеством предметов. В математике этого не требуется. Здесь рассматривают множество, состоящее из одного объекта, и множество, не содержащее ни одного объекта.

2

Слайд #3

В основном множества обозначают буквами латинского алфавита: A, B, C, …, Z, L.
Определение. Множество, не содержащее ни одного объекта, называют пустым и обозначают знаком .
Определение. Объекты, из которых образовано множество, называют его элементами.
Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, …, z.
3

Слайд #4

Предложение вида “ Объект а принадлежит множеству А” можно записать, используя символы: а∈А. Прочитать его можно по-разному:
Объект а принадлежит множеству А.
Объект а – элемент множества А.
Множество А содержит элемент а.
Предложение “ Объект а не принадлежит множеству А” можно записать так: а∉А. Его читают:
Объект а не принадлежит множеству А.
Объект а не является элементом множества А.
Множество А не содержит элемента а.
4

Слайд #5

Числовые множества
Натуральные числа – числа, которые используются при счете предметов: 1, 2, 3, 4, 5, …. Обозначается N
Целые числа – натуральные числа, им противоположные и нуль: 0, ±1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, …. Обозначается Z
Рациональные числа -числа, которые можно представить дробью 𝑚 𝑛 , где m - целое, n – натуральное. Обозначение: Q. Примеры: 4 7 ; 2; 4,5; -0,(3);
Действительные числа- множество бесконечных периодических и непериодических дробей. Обозначение: R. Примеры: 2 , π
5

Слайд #6

Множества
Конечные
Бесконечные
6

Слайд #7

Способы задания множеств
1. Перечислением
Например, множество А состоит из чисел 3, 4, 5 и 6. Поскольку все его элементы окажутся перечисленными, то это множество задано. При этом возможна запись:
А = 3; 4; 5; 6
В= 11

2. С помощью характеристического свойства
Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.
А =  х  х   и х  5

7

Слайд #8

Способы задания множеств
Одно и тоже множество можно задать различными способами:
А = 1, 2, 3, 4, 5, 6
А =  х  х   и х ≤6
A=  х  х  Z и 0<х <7
8

Слайд #9

Примеры:
1.Запишите, используя символы:
а) Число 6 – натуральное;
б) Число 1,3 не является натуральным;
в) Число 5 11 – рациональное;
г) π - число действительное.
д) 3 - не является целым
9

Слайд #10

Примеры:
2. Дано множество С={𝟑;−𝟓;𝟎; 𝟕 𝟗 ;𝟐𝟏; 𝟏𝟏 ;−𝟔,𝟓;𝟐𝟎}.
Выделите его подмножества, элементами которого являются:
а) натуральные числа;
б) целые числа;
г) нечетные натуральные числа;
д) целые неположительные числа;
ж) целые числа, кратные 5;
з) отрицательные числа.
10

Слайд #11

Примеры:
3. Задайте множества перечислением элементов
а) A={x|x∈N и x≤5}
б) B={x|x∈Z и-4≤x<2}
в) C- множество двузначных натуральных чисел кратных 11.
11

Слайд #12

Отношения между множествами. Подмножество
13

Слайд #13

Даны два множества:
А = a, b, c, d, e и B = b, d, k, e
Говорят, что множества пересекаются, если у множеств есть общие элементы.

14

Слайд #14

Даны два множества:
А = a, b, c, d, e и В = c, d, e
Определение. Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А.
Если В – подмножество множества А, то пишут: В  А – и читают: «В – подмножество А», «В – включается в А».
  А
А  А
15

Слайд #15

Даны два множества:
А = a, b, c, d, e и В = c, a, b, e, d
Определение. Множества А и В называются равными, если А  В и В  А.
Если множества А и В равны, то пишут: А = В.
Множества равны, если состоят из одинаковых элементов.
16

Слайд #16

Пример
Выписать все подмножества множества
А = 2, 3, 4
Среди них будут одноэлементные подмножества: 2, 3, 4, двухэлементные: 2, 3, 3, 4, 2, 4, а также само множество А = 2, 3, 4 и . Таким образом, данное множество А имеет 8 подмножеств.
17

Слайд #17

Круги Эйлера
18

Слайд #18

b∈А
c∉А
b
A
c
19

Слайд #19

Подмножества
А = a, b, c, d, e В = c, e, d
A B
20

Слайд #20

21

Слайд #21

А = a, b, c, d, e B = b, d, k, e
Пересекающиеся множества
22

Слайд #22

А = a, b, c, d, e B = k, f
Непересекающиеся множества
23

Слайд #23

Равные множества
24

Слайд #24

Пример
Изобразите с помощью кругов Эйлера отношения между множествами:
1. А – множество квадратов,
В – множество треугольников
2. А – множество натуральных чисел, кратных 2,
В – множество натуральных чисел, кратных 3.
25

Слайд #25

Пример
Какое из данных множеств является подмножеством другого:
1)A – множество натуральных чисел, кратных 5;
B – множество натуральных чисел, кратных 2;
С – множество натуральных чисел, кратных 10.
2)А – множество четырехугольников;
B – множество прямоугольников;
C - множество трапеций.
26

Слайд #26

Задачи, связанные с выделением части некоторой совокупности.
Например
«Среди данных четырехугольников укажи прямоугольники».
«Назови среди данных чисел четные» и т. д.

27

Слайд #27

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
28

Слайд #28

Пересечение множеств
Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее только такие элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.
Пересечение множеств А и В обозначают А  В. Тогда определение можно представить в символической записи:
A∩B= x x∈A и x∈B}
Примеры:
𝐴= 2, 7, 11 , 𝐵= 0, 1, 2 , 𝐴∩𝐵=
𝐴= 𝑎, 𝑏, 𝑐 , 𝐵= 𝑓, 𝑘 , 𝐴∩𝐵=
𝐴= 2, 7, 11 , 𝐵= 2, 7 , 𝐴∩𝐵=
𝐴∩ ∅= ∅,𝐴∩ 𝐴= 𝐴
29

Слайд #29

Пересечение множеств
Нахождение пересечения множеств в конкретных случаях
Если элементы множеств А и В перечислены, то, чтобы найти А  В , достаточно перечислить элементы, которые принадлежат А и В, т.е. их общие элементы.
Если множества заданы при помощи характеристических свойств элементов, то характеристическое свойство множества А  В составляется из характеристических свойств пересекаемых множеств с помощью союза «и».
Пример
Найдем пересечение множества А – четных натуральных чисел и множества В – двузначных натуральных чисел.
А  В - множество четных (и) двузначных натуральных чисел

30

Слайд #30

Объединение множеств
Определение. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее такие элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В
Пересечение множеств А и В обозначают А  В. Тогда определение можно представить в символической записи:
A∪B= x x∈A или x∈B}
31

Слайд #31

Объединение множеств
Нахождение объединения в конкретных случаях:
Если все элементы множеств А и В перечислены, то, чтобы найти , достаточно перечислить элементы, принадлежащие А или В, т.е. хотя одному из множеств.
Если множества заданы при помощи характеристических свойств элементов, то характеристическое свойство множества А  В составляется из характеристических свойств множеств А и В с помощью союза «или».
32

Слайд #32

Объединение множеств
Примеры:
𝐴= 2, 7, 11 , 𝐵= 0, 1, 2 , 𝐴∪𝐵=
𝐴= 𝑎, 𝑏, 𝑐 , 𝐵= 𝑓, 𝑘 , 𝐴∪𝐵=
𝐴= 2, 7, 11 , 𝐵= 2, 7 , 𝐴∪𝐵=
𝐴∪ ∅=𝐴, 𝐴∪ 𝐴= 𝐴
А - множество четных чисел ,В - множество двузначных чисел,
𝐴∪𝐵 – множество четных или двузначных чисел.
33

Слайд #33

34
A
B

Слайд #34

Законы пересечения и объединения множеств
Переместительный (коммутативный)
А       ,       .
Сочетательный (ассоциативный)
( А     С     В С,       С       С
Дистрибутивные
(А     С = (А  С)  ( В С), (А     С = (А  С)  ( В  С ).
35

Слайд #35

Вычитание множеств
Определение. Разностью множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.
Разность множеств А и В обозначают А \ В. Тогда, по определению, имеем:
А \ В ={ х | х   и х   }.

36

Слайд #36

Вычитание множеств
Нахождение подмножества в конкретных случаях:
Если элементы множества А и В пересечены, то, чтобы найти А \ В, достаточно перечислить элементы, принадлежащие А и не принадлежащие В.
Если указаны характеристические свойства элементов множеств А и В (ВА), характеристическое свойство множества А \ В имеет вид «х  и х ».
37

Слайд #37

Вычитание множеств
Примеры:
А = 1, 2, 3, 5, 1, 5, то А \ В =
А = 1, 2, 3, 5, 0, 1, 2, то А \ В =
А – множество четных чисел, В – множество чисел, кратных 4, то А \ В - множество четных чисел, не кратных 4.

38

Слайд #38

39
A
B

Слайд #39

Декартово произведение множеств
Определение. Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.
Декартово произведение множеств А и В обозначают А. Используя это обозначение, определение произведения можно записать так:
х; у)  х  и у  .

40

Слайд #40

Декартово произведение множеств
Пример
Найти декартово произведение множеств А и В, если:
А = m, p, e, f, k;
А   
A = B=3, 5.
А  А =
41

Слайд #41

Задачи
Сформулируйте условия, при которых истинны следующие утверждения
а) 12∈𝐴∩𝐵
б) 3∉𝐴∪𝐵
в) 8∈𝐴\𝐵

42

Слайд #42

Задачи
С помощью кругов Эйлера определите истинность выражения:
𝑨∩𝑩∪𝑪=(𝑨∪𝑩)∩(𝑨∪𝑪)
A
B
C
A
B
C
43

Слайд #43

Примеры заданий
44

Слайд #44

1 задание: разложи в один круг карточки с игрушками, в другой – с транспортом.
2 задание: в первый круг надо положить все голубые предметы, в другой – транспорт. Вот результат: два пересекающиеся множества, голубая машина лежит в пересечении.
45

Слайд #45

3 задание: Положи в первый круг все неживое, во второй – транспорт.




Обращаем внимание на то, что внешняя часть одного круга остается пустой – и, значит, весь круг можно вложить в другой. Получаются вложенные множества.
46

Слайд #46

47

Слайд #47

48

Слайд #48

49