Презентация по математике на тему: Решение диофантовых уравнений" (7 класс)

Слайд #1

МАОУ «Школа №111»


Выполнила:
ученица 7б класса
Кулькова
Валентина Алексеевна
Преподаватель :
Сямиуллина
Наталья Владимировна
Решение диофантовых уравнений

Слайд #2

ДИОФАНТ АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ

Слайд #3

Слайд #4

х=х/6+х/12+х/7+5+х/2+4
х-х/6-х/12-х/7-х/2=4+5
9х=9*84
х=84
Ответ: Диофант прожил 84 года.

Решим уравнение

Слайд #5

ax+by=c, где a≠0, b≠0
a, b и c – целые числа
( 𝑥 0 ;𝑦 0 ), 𝑥 0 , 𝑦 0 - целые числа

ЛИНЕЙНОЕ ДИОФАНТОВО УРАВНЕНИЕ

Слайд #6

c ⋮ НОД(a,b)?

Уравнение ax+by=c имеет решение в целых числах
Уравнение ax+by=c не имеет решения в целых числах
делится
не делится
ax+by=c

Слайд #7

3x+6y=2
Первый шаг НОД (3,6)=3
Второй шаг 2⋮3=?
Третий шаг 2 не делиться на 3

Уравнение не имеет решения

Слайд #8

Старинная задача о фазанах и кроликах
Некто подошел к клетке, в которой сидели фазаны и кролики. Сначала он сосчитал их головы, их оказалось 15. Потом он подсчитал их ноги, их было 42. Сколько кроликов и сколько фазанов было в клетке?

Слайд #9

Арифметический способ
Допустим, что в клетке были только фазаны. У фазана две ноги, значит, всего было бы 30 ног(2*15=30).
А в действительности их было 42, т.е. 12 «лишних» ног(42-30=12).
Чьи это ноги? Конечно, кроличьи. Но у каждого кролика на 2 ноги(4-2=2) больше, чем у фазана, значит, эти «лишние» 12 ног принадлежат 6 кроликам (12:2=6). Но если кроликов было 6, то фазанов 9 (15-6=9).
Действительно, у 6 кроликов 24 ноги, у фазанов 18 ног, т.е. всего 42 ноги(24+18=42), что соответствует условию задачи.
Ответ: 6 кроликов и 9 фазанов было в клетке.

Слайд #10

Алгебраический способ
Пусть х – число кроликов, а у- число фазанов
По условию задачи известно, что всего 15 голов, составим уравнение: 𝑥+𝑦=15
У кролика 4 ноги, значит у всех кроликов 4х ног. У фазана 2 ноги, значит у всех фазанов 2у ног. По условию задачи всего 42 конечности. Составим второе уравнение:4𝑥+2𝑦=42
Составим и решим систему уравнений:
𝑥+𝑦=15|∗2 4𝑥+2𝑦=42
2𝑥+2𝑦=30 4𝑥+2𝑦=42
2x=12|:2
X=6
6+у=15
y=15-6
y=9
Ответ: 6 кроликов и 9 фазанов было в клетке.

Слайд #11

Пусть х - количество кроликов, у – количество фазанов. Тогда у всех фазанов по 2у ног, а у всех кроликов 4х ног.

Составим уравнение: 4х + 2у = 42

Следовательно, если х – целое неотрицательное число, то и 
у=(42 – 4х):2 должно быть целым и неотрицательным, а, значит, нужно, чтобы выражение 42 – 4х без остатка делилось на 2. Простой перебор вариантов показывает, что это возможно только при
 х = 6, тогда у = 9. Всего в клетке животных 6+9 =15, что соответствует условию задачи.
Ответ: 6 кроликов и 9 фазанов было в клетке.



МЕТОД ПЕРЕБОРА ВАРИАНТОВ

Слайд #12

Пусть х – количество морских звёзд, у – количество крабов. У звёзд по 5 ходильных ног, а у крабов по 6. Тогда у всех звёзд - 5х ног, у крабов - 6у ног. Всего в аквариуме насчитывается 39 ходильных ног.
Составим уравнение:
5х+6у=39
Следовательно, если х – целое неотрицательное число, то и у=(39 – 5х):6 должно быть целым и неотрицательным, а, значит, нужно, чтобы выражение 39 – 5х без остатка делилось на 6. Простой перебор вариантов показывает, что это возможно только при х = 3, тогда у = 4. Всего аквариуме 3+4=7 животных
Ответ: 3 морские звезды и 4 краба было в аквариуме
В аквариуме живут морские звёзды и крабы. У морских звёзд по 5 ходильных ног, у крабов по 4 ходильные ноги. Всего в аквариуме насчитывается 39 ходильных ног. Сколько в аквариуме животных?

Практическая часть

Слайд #13

Пусть у покупателя есть
x монет по 2 р. И y монет по 5 р.
Тогда он заплатит (2x + 5y) р.
Уравнение:
2x+5y=1
𝑥= 1−5𝑦 2
𝑥= 1 2 − 2+ 1 2 𝑦
𝑥= 1 2 −2𝑦− 1 2 𝑦
𝑥=−2у+ 1 2 − 1 2 𝑦
x=-2y+( 1−𝑦 2 ),




y=2m+1, где m – целое число.
x=-2(2m+1)+ 1− 2𝑚+1 2 =−4𝑚−2+(−1𝑚)
x=-5m-2
(-5m-2;2m+1), где m – целое число
Ответ: сможет





(-2; 1) решение уравнения
У покупателя и продавца имеются монеты только по 2 р. и 5 р. Сможет ли покупатель заплатить за покупку стоимостью 1 р.?
МЕТОД решения относительно одной переменной

Слайд #14

Алгоритм Евклида
Пример 1.  Решить в целых числах уравнение
54х + 37у = 1.

Решение. 
а = 54, b = 37.
54=37∙1+17, остаток от деления      17 = 54 – 37 ∙ 1,
37 = 17∙2+3,     3 = 37-17∙2,
17 = 3∙5+2 ,     2 = 17- 3∙5, 
3 = 2∙1 + 1 ,     1 = 3 - 2∙1
1 = 3 – (17 - 3∙5);  1 = 17- 3∙4;  1 = 17 - (37-17∙2)  ∙4;         
1 = 17 – 37 ∙ 4+17∙8; 1 = 17∙9 – 37∙4;     1 = (54- 37∙1)  9 - 37∙4;
1 = 54∙9 - 37∙9 - 37∙4;     1 = 54∙9 - 37∙13;   1 = 54х + 37у

Слайд #15

Теорема.
Если НОД (a, b) = 1,то все целые решения уравнения ах + by = с определяются формулой: х= х0с + bt; y = y0c - at.
Здесь (х0, y0) – целое решение уравнения ах + by = 1, а t – произвольное целое число.
1 = 54∙9 - 37∙13; 
54х + 37у = 1.
Следовательно,  х0 = 9, у0 = -13.
Значит, данное уравнение имеет следующее решение:                                               

t – произвольное целое число.

Слайд #16

Практическая часть

Слайд #17