Презентация "Биномиальные коэффициенты" (11 класс)

Слайд #1

БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦЕНТЫ
2RUG6
Исаак Ньютон
1643-1727
Создатель

Слайд #2

Исаак Ньютон
1643-1727
Создатель
Что это такое?

Слайд #3

Исаак Ньютон
1643-1727
Создатель
Это формула, которая помогает возвести сумму двух чисел в любую степень. Особенно она полезна, если степень большая. Из уроков математики мы помним такую формулу: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2. Это тоже бином Ньютона, а точнее — его частный случай для разложения на множители квадрата суммы.

Слайд #4

Как это работает?

Слайд #5

Как это работает?
Формула
𝑥+𝑎 𝑛 = 𝑘=0 𝑛 𝑛 𝑘 𝑥 𝑘 𝑎 𝑛−𝑘
∑ - знак суммы

Слайд #6

Как это работает?
Формула
𝑎+𝑏 𝑛 = 𝑐 𝑛 0 ⋅ 𝑎 𝑛 ⋅ 𝑏 0 + 𝑐 𝑛 1 ⋅ 𝑎 𝑛−1 ⋅ 𝑏 1 +…+ 𝑐 𝑛 𝑛−1 ⋅ 𝑎 1 ⋅ 𝑏 𝑛−1 + 𝑐 𝑛 𝑛 ⋅ 𝑎 0 ⋅ 𝑏 𝑛

Слайд #7

Как это работает?
Формула
𝑎+𝑏 𝑛 = 𝑐 𝑛 0 ⋅ 𝑎 𝑛 ⋅ 𝑏 0 + 𝑐 𝑛 1 ⋅ 𝑎 𝑛−1 ⋅ 𝑏 1 +…+ 𝑐 𝑛 𝑛−1 ⋅ 𝑎 1 ⋅ 𝑏 𝑛−1 + 𝑐 𝑛 𝑛 ⋅ 𝑎 0 ⋅ 𝑏 𝑛
𝑪 𝒏 𝒌 = 𝒏! 𝒌! 𝒏−𝒌 !

Слайд #8

Как это работает?
Формула
𝑎+𝑏 𝑛 = 𝑐 𝑛 0 ⋅ 𝑎 𝑛 ⋅ 𝑏 0 + 𝑐 𝑛 1 ⋅ 𝑎 𝑛−1 ⋅ 𝑏 1 +…+ 𝑐 𝑛 𝑛−1 ⋅ 𝑎 1 ⋅ 𝑏 𝑛−1 + 𝑐 𝑛 𝑛 ⋅ 𝑎 0 ⋅ 𝑏 𝑛
𝑪 𝒏 𝒌 = 𝒏! 𝒌! 𝒏−𝒌 !
𝑻 (𝒌+𝟏) = 𝑪 𝒏 𝒌 𝑎 𝑛−𝑘 𝑏 k

Слайд #9

Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике.
Мартин Гарднер
𝑪 𝒏 𝒌 = 𝒏! 𝒌! 𝒏−𝒌 !
Треугольник Паскаля

Слайд #10

𝑪 𝒏 𝒌 = 𝒏! 𝒌! 𝒏−𝒌 !
Треугольник Паскаля
Числа

Слайд #11

𝑪 𝒏 𝒌 = 𝒏! 𝒌! 𝒏−𝒌 !
Треугольник Паскаля
Числа
(𝑎+𝑏) 2 = 𝑎 2 +2𝑎𝑏+ 𝑏 2

(𝑎+𝑏) 3 = 𝑎 3 +3 𝑎 2 𝑏+3𝑎 𝑏 2 + 𝑏 3

(𝑎+𝑏) 4 = 𝑎 4 +4 𝑎 3 𝑏+6 𝑎 2 𝑏²+4𝑎 𝑏 3 + 𝑏 4

(𝑎+𝑏) 5 = 𝑎 5 +5 𝑎 4 𝑏+10 𝑎 3 𝑏²+10 𝑎 2 𝑏 2 +5𝑎 𝑏 4 + 𝑏 5

Слайд #12

𝑪 𝒏 𝒌 = 𝒏! 𝒌! 𝒏−𝒌 !
Треугольник Паскаля
 1  1  2  3  5  8  13  21  34 …
Первый и второй члены последовательности равны единицам
а каждый следующий — сумме двух предыдущих
1+1
1+2
2+3
3+5
5+8
8+13
13+21

Слайд #13

𝑪 𝒏 𝒌 = 𝒏! 𝒌! 𝒏−𝒌 !
Треугольник Паскаля
Свойства:
Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси.
Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана.
Сумма чисел n-й строки треугольника Паскалая равны 2 𝑛 .
Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n + 1, 3n + 2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше.
Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.

Слайд #14

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!