Презентация на тему: Производная

Слайд #1

Производная функции
Предел последовательности
Определение производной
Правила дифференцирования
Геометрический смысл производной
Исследование степенной функций
Физический смысл производной
Производная показательной и логарифмической функций
Производная тригонометрических и обратных тригонометрических функций
Первообразная (содержание)

Слайд #2

Предел последовательности

 
Для упрощения записи предела последовательности:

 
Рассмотрим последовательность:

 
Если mN, kR, то
Если │q│< 1, то
Свойства пределов:
Если , ,

 
 
предел суммы равен сумме пределов:
 
предел произведения равен произведению
пределов:
 
предел частного равен частному пределов:
 

постоянный множитель можно вынести за знак предела:
 
 
 
 

Слайд #3

Раскрытие неопределенности
При нахождении предела иногда сталкиваются с неопределенностями вида


Отыскание предела в таких случаях называется раскрытием неопределенности.
4. Использование формулы :
 

Слайд #4

 
 
 
СОДЕРЖАНИЕ

Слайд #5

 
Это равенство означает, что прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика последовательности yn = f(n), то есть графика функции y = f(х), х N
Горизонтальная асимптота графика
функции
х
у
y = f(x)
0
у = b
СОДЕРЖАНИЕ

Слайд #6

Замечательные пределы
первый замечательный предел



второй замечательный предел


Примеры №1:
Примеры №2:
СОДЕРЖАНИЕ

Слайд #7

Найти предел функций:
Решение:
Решение:
Решение:
Решение:

Слайд #8

Определение производной
Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале (a; b). Аргументу x придадим некоторое приращение : . Найдем соответствующее приращение функции:

y
0
х
х
f(x )
x+Δx
f(x+ Δx )
Если существует предел то его называют производной функции y = f(x) и обозначают одним из символов:

СОДЕРЖАНИЕ
Итак, по определению:

Слайд #9

Производные степенной функций
Формула бинома Ньютона:
Степенная функция: . Придадим аргументу x приращение , тогда функция получит приращение:

СОДЕРЖАНИЕ
По формуле бинома Ньютона имеем:
Тогда:
Доказательство производных через определение
http://www.cleverstudents.ru/derivative/derivatives_table.html

Слайд #10

Производная степенной функций
СОДЕРЖАНИЕ
Самостоятельная работа
Дополнительно:

Слайд #11

Правила дифференцирования
Пусть u(x) , v(x) и w(x) – дифференцируемые в некотором интервале (a; b) функции, С – постоянная.
СОДЕРЖАНИЕ
Пример:
 
Пусть задана функция y=5 , найти производную:
Пример:
Пример:
Пример:

Слайд #12

Производная сложной функции
Пусть y = f(u) и u = φ(x) , тогда y = f(φ(x)) – сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.
Теорема
Если функция u = φ(x) имеет производную в точке x а функция y = f(u) имеет производную в соответствующей точке u , то сложная функция имеет производную , которая находится по формуле:
Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько:
СОДЕРЖАНИЕ
Примеры:

Внешняя функция


Внутренняя функция

 
2) Найти производную
 
 

Слайд #13

СОДЕРЖАНИЕ

Слайд #14

СОДЕРЖАНИЕ
4.
4.
5.
5.

Слайд #15

Геометрический смысл производной
Возьмем на непрерывной кривой L две
точки М и М1:
Через точки М и М1 проведем секущую и обозначим через φ угол наклона секущей.
СОДЕРЖАНИЕ

Слайд #16

Вывод уравнения касательной
 
Если
Условие параллельности и перпендикулярности прямых
Пусть заданы две прямые и
Выразим угол между этими прямыми через их угловые коэффициенты.
где
и
Если прямые 1 и 2 параллельны, то
значит
Получаем:
Если прямые 1 и 2 перпендикулярны, то
Получаем:

Слайд #17

 
Алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции y=f(x).
СОДЕРЖАНИЕ
Пример: к графику функции в точке

Слайд #18

К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой .
.
,
,
,
,
.
Геометрический смысл производной
СОДЕРЖАНИЕ
и

Слайд #19

Исследование степенной функций
Теорема 1) Если на множестве Х f΄(x)>0, f(x) – возрастает.
Теорема 2) Если на множестве Х f΄(x)<0, f(x) – убывает.

х
у
0

х
у
0

Функция возрастает
 < 900
tg  > 0
f `(x) > 0

Функция убывает
 > 900

tg  < 0

f `(x) < 0

СОДЕРЖАНИЕ

Слайд #20

Достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции
Т е о р е м а. Пусть функция f(x), х(а;b), имеет первую и вторую производные. Тогда, если f ``(x) < 0 для всех х(а;b), то на интервале (а;b) график функции f(x) выпуклый вверх, если же f ``(x) > 0 для всех х(а;b), то график функции f(x) выпуклый вниз на (а;b).
График выпуклый
 - убывает
tg  - убывает
f `(x) – убывает
f ``(x) < 0
График вогнутый
 - возрастает
tg  - возрастает
f `(x) – возрастает
f ``(x) > 0
Точки перегиба
Найти критические точки функции по второй производной.
Исследовать знак второй производной в некоторой окрестности критический точки.
Если f ``(х) меняет свой знак при переходе аргумента через критическую точку х0,
то (х0; f(х0)) - точка перегиба графика данной функции
СОДЕРЖАНИЕ

Слайд #21

СОДЕРЖАНИЕ

Слайд #22

Применение на практике
На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной
на интервале (−5; 7).
1. Определите количество целых точек этого
интервала, в которых производная функции f (х) положительна.
Решение: Производная функции положительна на тех интервалах,
на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (−5; -3) и (-1; 0) и
(2; 3) и (5; 6).
В них содержатся целые точки −4, −2 всего их 2.
2. Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
Решение: Заданная функция имеет максимумы в точках -3, 0, 3, 6 и
минимумы в точках -1, 2, 5. Поэтому сумма точек экстремума равна -3 + 0 + 3 + 6 -1 + 2 + 5 = 12.
3. Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой y = 6 или сов­па­да­ет с ней
Решение: Поскольку касательная параллельна прямой y  =  6 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. У данной функции производная равна нулю только в точках экстремума функции. На заданном интервале функция имеет 4 максимума и 4 минимума, итого 8 экстремума. Таким образом, касательная к графику функции параллельна прямой y  =  6 или совпадает с ней в 8 точках.
4. Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции f(x) равна 0.
Решение: Производная изображенной на рисунке функции f(x) равна нулю в точках экстремумов: −4,8; −3; -1; 0; 2; 3; 5 и 6. Производная равна нулю в 8 точках.
5. На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки −3; -2; -4; 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Решение: Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная ровна нулю в точке -3; отрицательна в т очках −2; и 4. Тангенса угла наклона касательной явно меньше в точке 4, поэтому тангенс в этой точке наименьший.


СОДЕРЖАНИЕ

Слайд #23

Применение на практике
6. Функция y=f(x) определена на всей числовой прямой и является
периодической с периодом 4. На рисунке изображен график этой функции
при -1≤x≤3. Найдите значение выражения f(-3)*f(1) *f (11).
Решение: Периодическая функция – это функция которая повторяет свои
значения через регулярный интервал аргумента.
f(-3)=f(-3+4)=f(1)=-2; f(11-4)=f(7-4)=f(3)=1 получаем
f(-3)*f(1)*f(11)=-2*(-2)*1=4
7. Функция y = f(x) определена на всей числовой прямой и является
периодической с периодом T = 5. На промежутке [-6; -1) она задана
формулой f(x) = 2 - |x + 3|.
Найдите значение выражения 3f(-24) - 5f(18).
Решение: Так как период функции равен пяти, можем производить вычисления так:
f(-24) = f(-19) = f(-14) = f(-9) = f(-4) = 2 - |-4 + 3| = 2 - 1 = 1.
f(18) = f(13) = f(8) = f(3) = f(-2) = 2 - |-2 + 3| = 2 - 1 = 1.
3f(-24) - 5f(18) = 3 - 5 = -2.
Ответ: -2
8. Функция y=f(x) определена на промежутке (-6;4).
На рисунке изображен график ее производной. Найдите абсциссу точки,
в которой функция y=f(x) принимает наибольшее значение.
Решение: Производная f’(x) функции f(x) в точке x=a положительна, если эта
точка принадлежит интервалу возрастания функции f(x). И, наоборот,
производная отрицательна, если точка принадлежит интервалу убывания
функции f(x). Анализ графика производной показывает, что на интервале
от (-6; -2) функция f(x) возрастает, а на интервале (-2; 4) – убывает.
Следовательно, в точке x=-2 достигается максимум функции f(x).
Ответ: -2.
9. Для четной функции f(x) и нечетной функции g(x) для всех действительных значений аргумента выполнено равенство  f(x)+g(x)=x^2+3x−2. Найдите значения выражения f′(2)−4g′(3)
Решение: f(x)=f(−x) ​ – четная функция, g(x)=−f(−x)​ – нечетная функция. Из нашего условия, пусть ​f(x)=x^2​, значит ​g(x)=3x−2​; ​f′(x)=2x​, ​f′(2)=4​; g′(x)=3​, ​g′(3)=3​; f′(2)−4g′(3)=4−4∗3=−8​.

Слайд #24

Применение на практике
 
СОДЕРЖАНИЕ

Слайд #25

Применение на практике производная функций
 
СОДЕРЖАНИЕ

Слайд #26

Задания для самостоятельной работы
СОДЕРЖАНИЕ
https://disk.yandex.ru/i/SUZcQBFZe35HNg
https://shkolkovo.net/catalog/issledovanie_funkcij_s_pomoschyu_proizvodnoj
https://mathlesson.ru

Слайд #27

СОДЕРЖАНИЕ

Слайд #28

 
Задачи

Слайд #29

Для сложной функции:
СОДЕРЖАНИЕ
Производная показательной и логарифмической функций
Пример 1: Найти производную

функций
Для сложной функции:
Пример 2: Найти производную

функций
Решение:
Доказательство производных через определение
http://www.cleverstudents.ru/derivative/derivatives_table.html
Производная показательной функций
Для сложной функции:
Для сложной функции:
Пример 3: Найти производную

функций
Решение:
Пример 4: Найти производную

функций
Решение:

Слайд #30

Логарифмическое дифференцирование
В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать, а затем результат продифференцировать.
Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.

Слайд #31

Логарифмическое дифференцирование
Функция называется степенно – показательной.
Пусть u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые функции.
Производная такой функции находится только с помощью логарифмического дифференцирования.

Слайд #32

СОДЕРЖАНИЕ

Слайд #33

СОДЕРЖАНИЕ
Производные тригонометрических и обратных тригонометрических функций
Для сложной
функции:
Пример 5: Найти производную функций
Решение:
Для сложной
функции:
Для сложной
функции:
Для сложной
функции:
Пример 6: Найти производную функций
Пример 7: Найти производную функций
Решение:
Доказательство производных через определение
http://www.cleverstudents.ru/derivative/derivatives_table.html

Слайд #34

Производные обратных
тригонометрических функций
СОДЕРЖАНИЕ
Пусть для функции f (x) существует обратная функция f –1. Имеем:

По теореме о производной сложной функции:
Так как
то
Отсюда:
или
Имеем:
Имеем:
Имеем:
Имеем:

Слайд #35

Таблица производных
СОДЕРЖАНИЕ
Таблица производных сложной функции
Пусть

Слайд #36

Найдите производные следующих функций:










СОДЕРЖАНИЕ

Слайд #37

СОДЕРЖАНИЕ

Слайд #38

Примеры
Вычислить производную функции
СОДЕРЖАНИЕ
Вычислить производную функции
Данную функцию можно представить следующим образом:
Коротко: