Презентация на тему: Теория вероятности для СПО

Слайд #1

Комбинаторика
Факториал
n! =1 • 2 • 3 • … • (n-1) • n

Таблица факториалов:
0!=1
1!=1
2!=2
3!=1•2•3=6 итд
Свойство факториала:
(n+1)! = (n+1) • n!
(n+2)! = (n+1)(n+2) • n!
(n+1)! = (n+1) • n!

2. n! = (n - 1)! * n
Пример: 100! = 99! * 100
3. n! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • ... • (n - 2)(n - 1) • n
4. (n - 1)! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 •... •(n - 2)(n - 1)
5. (n + 1)! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 •... •(n - 2)(n - 1) • n •(n + 1)
Рекуррентная формула:
Примеры: 5! = 5*(5 - 1)! = 5*4! = 5*24 = 120
6! = 6*(6-1)! = 6*5! = 6*120 =720
1.Сократите дробь

Решение:
2.Вычислите значение выражений

Решение:
3.Вычислите значение выражений

Решение:
4.Сократите дробь

Решение:
5.Решите уравнение
Решение: https://vk.cc/cmFrB9
6.Решите уравнение
Решение: https://vk.cc/cmFrB9
6.Решите уравнение
Решение: https://vk.cc/cmFrB9

Слайд #2

Оперируем со всеми элементами?
Важен
порядок?
Все элементы множества уникальны?
Перестановки без повторений
Перестановки
с повторениями
Лишено
смысла
Важен порядок
в выборке?
Возвращаем после выбора?
Размещения
без повторений
Размещения
с повторениями
Возвращаем после выбора?
Сочетания
без повторений
Сочетания с повторениями
https://disk.yandex.ru/i/qyGmrm4gC3h7Fw
Размещением изn элементов по два называют любую упорядоченную пару,составленную
из данных n элементов.Количество размещений из nэлементовподва обозначают через 𝑨 𝒏 𝟐

Размещения без повторения
Задания по факториалам
Определение: Размещением- из n элементов по m элементов (m≤n) называется упорядоченная выборка элементов m из данного множества элементов n.
Пример:
Запишем все размещения из 3 элементов a, b, с по 2:
Пример: Сколько двузначных чисел можно составить из цифр
2;3;4;5;6 ?
Аналогично можно получить: А3n, А4n, Аkn.
Общая формула числа
Размещений без повторений

Слайд #3

Перестановки без повторения
https://reshator.com/sprav/algebra/9-klass/razmeshcheniya/
Размещения с повторения
Определение: Размещение с повторением – это упорядоченная ⟨n,k⟩ – выборка с повторениями. Общее количество размещений с повторениями:
А 𝑛 𝑚 = 𝑛 𝑚
Пример:  если у вас множество, включающее грушу, яблоко и лимон, и вам нужно выбрать два элемента, так что после первого выбора вы возвращаете
выбранный предмет назад, то существует девять различных комбинаций: 
Определение: Перестановками из n элементов называются такие
соединения из всех n элементов, которые отличаются друг от друга
порядком расположения элементов.
Перестановки с повторениями
𝑃 𝑛 =𝑛!
Рассматривая перестановки ранее, мы предполагали, что nэлементов различны.
Если среди n элементовесть n1элемент одного вида,n2 элементов другого вида и т.д., 𝑛 𝑘 элементов k-го вида, то имеем перестановки с повторениями, их число:

Пример. Слова и фразы с переставленными буквами называют анаграммами. Сколько анаграмм можно составить из слова «макака»?
Решение.

Всего в слове «МАКАКА» 6 букв (n=6).
Определим сколько раз в слове используется каждая буква:
«М» - 1 раз (n1=1)
«А» - 3 раза (n2=3)
«К» - 2 раза (n3=2)

Слайд #4

Сочетания без повторения
Определение: Сочетания без повторением – из n множества по m элементов называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов,где 𝑚≤𝑛,которые различаются хотя бы одним элементом (в сочетаниях не учитывается порядок элементов).
Пример. Сколькими способами можно составить букет из 3 цветов, если в вашем распоряжении 5 цветов: мак, роза, тюльпан, лилия, гвоздика?
Решение. (обратить внимание на его оформление!)
Основное множество: {мак, роза, тюльпан, лилия, гвоздика}  Соединение – букет из трех цветков 
Проверим, важен ли порядок: {тюльпан, лилия, гвоздика} и {лилия, тюльпан, гвоздика} – один и тот же букет  порядок неважен  это подмножество  это сочетание «из пяти по три».


Сочетания с повторениями
Сочетаниями с повторениями из m по n называют соединения, состоящие из n элементов, выбранных из элементов m разных видов, и отличающиеся одно от другого хотя бы одним элементом.
Если из множества, содержащего n элементов, выбирается поочередно m элементов, причём выбранный элемент каждый раз возвращается обратно, то количество способов произвести неупорядоченную выборку – число сочетаний с повторениями – составляет

Например, два элемента из 4 сочетаются 6 способами
(порядок следования не важен):
Сочетания без повторений образуют знаменитый треугольник Паскаля .
В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число
равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника
симметричны относительно вертикальной оси. Числа в строках, составляющие треугольник
Паскаля, являются сочетаниями
Например, два предмета из четырех можно
выбрать 10 способами, если после каждого
выбора предмет возвращается назад
В общем случае, число сочетаний с повторениями:

Слайд #5

Самостоятельная работа
Вариант №1
На тренировке занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть образовано тренером различных стартовых пятерок?
Сколько разных слов можно составить из слова «ЛИНИЯ»?
Для составления букета из трех цветов в магазине имеются розы, гвоздики, хризантемы и пионы. Сколькими способами можно составить из этих цветов букет?
Сколько существует четырехзначных номеров, не содержащих цифр 0, 5, 8?

Вариант №2
Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 при условии, что ни одна цифра не повторится?
Сколько чисел меньше миллиона можно записать при помощи цифр 8 и 9?
В магазине имеются в продаже яблоки, апельсины, груши и мандарины. Сколькими способами можно образовать набор из 12 фруктов?

Шестизначных чисел
, пятизначных – 32
. Четырехзначных – 16, трехзначных – 8, двухзначных – 4, однозначных – 2. Всего – 126
1.
2.
3.
Дополнительные задания по комбинаторике:
https://disk.yandex.ru/i/qyGmrm4gC3h7Fw
https://disk.yandex.ru/i/bb-_sNC6yprFmw

Слайд #6

«ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»
Событие – это результат испытания. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны есть испытание.
Появление шара определенного цвета – событие.

Событие, которое происходит всегда, называют достоверным.
Событие, которое не может произойти, называется невозможным.
Пример. Пусть из урны, содержащей только черные шары, вынимают шар.
Тогда появление черного шара – достоверное событие;
Появление белого шара – невозможное событие.




СЛУЧАЙНЫЕ
СОБЫТИЯ
ДОСТОВЕРНЫЕ
НЕВОЗМОЖНЫЕ
событие, которое обязательно произойдет в результате данного испытания
событие, которое может
произойти или не произойти в результате некоторого испытания
событие, которое не может произойти в результате данного испытания
0<Р(А)< 1
Р (А) = 1
Р (А) = 0
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Два события, которые в данных условиях могут происходить одновременно, называются совместными, а те, которые не могут происходить одновременно, - несовместными.
Пример. Брошена монета. Появление «герба» исключает появление
надписи. События «появился герб» и «появилась надпись»
- несовместные.

ВИДЫ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ
НЕСОВМЕСТНЫЕ
ПОЯВЛЕНИЕ ОДНОГО СОБЫТИЯ В ЕДИНИЧНОМ ИСПЫТАНИЕ ИСКЛЮЧАЕТ ПОЯВЛЕНИЕ ДРУГОГО
СОВМЕСТНЫМИ
Два события, которые в данных условиях могут происходить одновременно
ЕДИНСТВЕННО ВОЗМОЖНОЕ
ПРИ РАССМОТРЕНИИ ГРУППЫ СОБЫТИЙ МОЖЕТ ПРОИЗОЙТИ ТОЛЬКО ОДНО ИЗ НИХ
РАВНОВОЗМОЖНЫЕ
СОБЫТИЯ ИМЕЮТ РАВНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ ПОЯВЛЕНИЯ
ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ
Если полную группу образуют только два несовместных события
Пример. Пусть бросают игральную
кость. В силу симметрии кубика можно
считать, что появление любой из
цифр 1, 2, 3, 4, 5 или 6одинаково
возможно (равновероятно).
Пример. Бросаем 1 кубик, не может одновременно выпасть 3 и 6
Пример. Бросаем 2 кубика, на одном выпало 3, а на другом 1
Пример. Монета брошена 2 раза. Единственно возможным будут события:
ОО, РР, ОР, РО.
Пример. Производится однократное бросание монеты
Событие А выпадение герба
Событие В выпадение решки.
Событие А и В противоположные события

Слайд #7

Случайные события. Вероятность события
Алгоритм нахождения вероятности случайного события.

 Пример. Монета бросается два раза. Какова вероятность того, что:
герб выпадет хотя бы один раз?      
𝑛= 2 2 =4,
𝑚=3
𝑃= 3 4 =0,75
 Пример. Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров,
вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара
окажутся черными?
Решение:
Обозначим событие, состоящее в появлении двух черных шаров,
через А. Общее число возможных случаев 𝑛равно числу сочетаний
из 20 элементов (12+8) по два: 𝑛= 𝐶 20 2 = 20∙19 1∙2 =190.


Число случаев 𝑚, благоприятствующих событию 𝐴, составляет
𝑚= 𝐶 8 2 = 8∙7 1∙2 =28.
Находим вероятность появления двух шаров
𝑃 𝐴 =𝑚/𝑛=28/190=14/95=0,147.


Пример. В партии из 18 деталей находятся 4 бракованных. Наугад выбирают
5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся
бракованными.
  
Решение. Число всех равновозможных независимых исходов n равно числу
сочетаний из 18 по 5, т.е.
 
𝐶 18 5 = 18∙17∙16∙15∙14 1∙2∙3∙4∙5 =8568.

Подсчитаем число исходов 𝑚, благоприятствующих событию 𝐴. Среди 5 взятых
наугад деталей должно быть 3 качественных и 2 бракованных. Число способов
выборки двух бракованных деталей из 4 имеющихся бракованных равно числу
сочетаний из 4 по 2:
  𝐶 4 2 = 4∙3 1∙2 =6.

Число способов выборки трех качественных деталей из 14 имеющихся
качественных равно  
𝐶 14 3 = 14∙13∙12 1∙2∙3 =364.
Любая группа качественных деталей может комбинироваться с любой группой
бракованных деталей, поэтому общее число комбинаций m составляет 
𝑚= 𝐶 4 2 ∙ 𝐶 14 3 =6∙364=2184.

𝑃 𝐴 =2184/8568=0,255.

Слайд #8

Самостоятельная работа
1. В ящике с деталями оказалось 300 деталей I сорта, 200 деталей II сорта и 50 деталей III сорта. Наудачу вынимают одну из деталей. Чему равна вероятность вынуть деталь I, II или III сорта?
2. В урне находятся 20 белых и 15 черных шаров. Наудачу вынимают один шар, который оказался белым, и откладывают его в сторону. После этого берут еще один шар. Найдите вероятность того, что этот шар также окажется белым.
3. В урне находятся 7 белых и 5 черных шаров. Найдите вероятность того, что: 1) наудачу вынутый шар окажется черным; 2) два наудачу вынутых шара окажутся черными. ) три наудачу вынутых шара окажутся белыми.
4. Считая выпадение любой грани игральной кости одинаково вероятным, найдите вероятность выпадения грани с нечетным числом очков.
5. В коробке имеются 30 лотерейных билетов, из которых 26 пустых (без выигрышей).
а) Наугад вынимают одновременно 4 билета. Найдите вероятность того, что из 4 билетов 2 окажутся выигрышными.
б) Наугад вынимают одновременно 5билета. Найдите вероятность того, что из 5 билетов 3 окажутся выигрышными.
В) Наугад вынимают одновременно 5 билета. Найдите вероятность того, что из 5 билетов 4 окажутся без выигрышной.



5 . Монета бросается 3 раза подряд. Найти вероятность событий: А- число выпадений герба больше числа выпадений
решки; В- выпадает два герба; С- результаты всех бросаний одинаковы.

Решение:

а) m=3число благоприятных исходов, где г больше р, n=8,

б)

в)
𝑃= 3 8 =0,375
𝑃= 3 8 =0,375
𝑃= 2 8 =0.25

Слайд #9

Теорема сложения вероятностей
Теорема сложения вероятностей несовместных событий:
Р А 𝟏 + А 𝟐 +…+ А 𝒏 =Р А 𝟏 +Р А 𝟐 +…+Р( А 𝒏 )
Задача: В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем пять из них стандартные. Рабочий берет наудачу три детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной (событие А).

Решение: I способ. Очевидно, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной, если произойдет любое из трех несовместных событий: В—одна деталь стандартная, две нестандартные; С—две детали стандартные, одна нестандартная и D—три детали стандартные.
Таким образом, событие А можно представить в виде суммы этих трех событий: 𝐴=𝐵+𝐶+𝐷. По теореме сложения имеем 𝑃 𝐴 =𝑃 𝐵 +𝑃 𝐶 +𝑃(𝐷). Находим вероятность каждого из этих событий:


𝑃 𝐵 = 𝐶 5 1 ∙ 𝐶 15 2 𝐶 20 3 = 5 1 ∙ 15∙14 1∙2 ∙ 1∙2∙3 20∙19∙18 = 35 76 ;


𝑃 𝐶 = 𝐶 5 2 ∙ 𝐶 15 1 𝐶 20 3 = 5∙4 1∙2 ∙ 15 1 ∙ 1∙2∙3 20∙19∙18 = 5 38 ;


𝑃 𝐷 = 𝐶 5 3 𝐶 20 3 = 5∙4∙3 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 20∙19∙18 = 1 114 ;


Сложив найденные величины, получим 𝑃 𝐴 = 35 76 + 5 38 + 1 114 = 137 228 =0,601.

Решение: II способ. События А (хотя бы одна из трех взятых деталей оказалась стандартной) и Ā (ни одна из взятых деталей не оказалась стандартной) являются противоположными; поэтому
𝑃(𝐴)+𝑃(Ā)=1 или 𝑃(𝐴)=1−𝑃(Ā). Вероятность появления события Ā составляет


𝑃 Ā = 𝐶 15 3 𝐶 20 3 = 15∙14∙13 1∙2∙3 ∙ 1∙2∙3 20∙19∙18 = 91 228 .


Следовательно, искомая вероятность есть 𝑃(𝐴)=1−𝑃(Ā)=1−91/228 =137/228 =0,601.
Определение: Сумма вероятности двух противоположных несовместных событий равна единице:

Р А +Р А =1

Слайд #10

1. В ящике в случайном порядке положены 10 деталей, из которых 4 стандартных. Контролер взял наудачу 3 детали. Найдите вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей оказалась стандартной.
2. В урне находятся 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Найдите вероятность того, что вынутый шар окажется:
белым; 2) черным или красным.
3. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписан-ная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Ответ:0,35
4. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,81. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °С или выше. Ответ:0.19
5. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года. Ответ:0.08
6. Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.
7. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19. Ответ:0.38
8. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диа-метр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм. Ответ:0.035

Самостоятельная работа

Слайд #11

Теорема сложения вероятностей совместных событий:
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий
равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления
Для двух совместных событий:
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
Для трех совместных событий:
P(A+B+С)=P(A)+P(B)+Р(С)-P(AB)-Р(AС)-Р(ВС)+Р(AВС)
Теорема сложения вероятностей
Задача: Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.
Решение: Пусть А—событие, состоящее в том, что наудачу взятое число кратно 3, а B—в том, что оно кратно 5. Найдем 𝑃(𝐴+𝐵). Так как А и В совместные события, то воспользуемся формулой :
𝑃 𝐴+𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 −𝑃 𝐴𝐵 .


Всего имеется 90 двузначных чисел: 10, 11, ..., 98, 99. Из них 30 являются кратными 3 (благоприятствуют наступлению события A); 18 —кратными 5 (благоприятствуют наступлению события В) и 6 — кратными одновременно 3 и 5 (благоприятствуют наступлению события АВ). Таким образом,

𝑃(𝐴)=30/90=1/3, 𝑃(𝐵)=18/90=1/5, 𝑃(𝐴𝐵)=6/90=1/15, т.е.

𝑃 𝐴+𝐵 =1/3+1/5−1/15=7/15=0,467

Самостоятельная работа
1. Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 4, либо 5, либо тому и другому одновременно.
2. Тип 4 № 509313
При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем 810 г,
равна 0,97. Вероятность того, что масса окажется больше, чем 790 г, равна 0,91. Найдите вероятность того, что масса буханки больше, чем 790 г, но меньше,
чем 810 г. Ответ: 0.88
3. Тип 4 № 509324 Ввести ответ и добавить в вариант
На хлебозаводе выпекают буханки номинальной массой 800 г. Известно, что в среднем 99\% буханок весят меньше, чем 810 г, и в среднем 94\%
буханок весят больше, чем 790 г. Найдите вероятность того, что масса случайно выбранной свежей буханки больше, чем 790 г, но меньше, чем 810 г.
https://ege.sdamgia.ru/problem?id=509313

Слайд #12

Теорема умножения вероятностей
Теорема умножения вероятностей независимых событий.Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

𝑃 𝐴𝐵 =𝑃 𝐴 ∙𝑃 𝐵 .
Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формул:

𝑃 𝐴 1 𝐴 2 … 𝐴 𝑛 =𝑃 𝐴 1 ∙𝑃 𝐴 2
Теорема умножения вероятностей зависимых событий.Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго:

𝑃 𝐴𝐵 =𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐴 𝐵 =𝑃 𝐵 ∙ 𝑃 𝐵 𝐴 .
Событие, противоположное событию А (т. е. не наступление события А), обозначают Ā. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице:
𝑃 𝐴 +𝑃 Ā =1.
Вероятность наступления события А, вычисленная в предположении, что событие В уже произошло, называется условной вероятностьюсобытия А при условии В и обозначается 𝑃 𝐵 (𝐴) или 𝑃(𝐴/𝐵).Если А и В— независимые события, то

𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃 Ā 𝐵 .
События А, В, С, … называютсянезависимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется в связи с наступлением или не наступлением других событий по отдельности или в любой их комбинации.



Пример 1: В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой —3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Решение: Пусть А— появление белого шара из первой урны, а В — появление белого шара из второй урны. Очевидно, что события А и В независимы. Найдем
𝑃 𝐴 = 4 12 = 1 3 , 𝑃 𝐵 =3/12=1/4.
По формуле получим:
𝑃 𝐴𝐵 =𝑃 𝐴 ∙𝑃 𝐵 =(1/3)∙(1/4)=1/12=0,083.

Пример 2. В ящике находится 12 деталей, из которых 8 стандартных. Рабочий берет наудачу одну за другой две детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.
Решение: Введем следующие обозначения: А — первая взятая деталь стандартная; В — вторая взятая деталь стандартная. Вероятность того, что первая деталь стандартная, составляет 𝑃(𝐴)=8/12 = 2/3. Вероятность того, что вторая взятая деталь окажется стандартной при условии, что была стандартной первая деталь, т.е. условная вероятность’ события В, равна 𝑃 𝐴 (𝐵)=7/11. 
Вероятность того, что обе детали окажутся стандартными, находим по теореме умножения вероятностей зависимых событий:
𝑃 𝐴𝐵 =𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐴 𝐵 =(2/3)∙(7/11)=14/33=0,424.

Слайд #13

1. Рабочий обслуживает два автомата, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый автомат „не потребует внимания рабочего, равна 0,8, а для второго автомата эта вероятность равна 0,7. Найдите вероятность того, что в течение часа ни один из автоматов не потребует внимания рабочего.
2. В урне находятся 6 шаров, из которых 3 белых. Наудачу вынуты один за другим два шара. Вычислите вероятность того, что оба шара окажутся белыми.
3. В урне находятся 10 белых и 6 черных шаров. Найдите вероятность того, что три наудачу вынутых один за другим шара окажутся черными.

Самостоятельная работа
Примеры:
В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,6. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
Решение:
Так как события независимы, а нам необходимо найти вероятность того, что будет занят И первый продавец, И второй, И третий, вероятность найдем по формуле:
р=р1*р2*р3=0,6*0,6*0,6=0,216 Ответ: 0,216
Примеры:
Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Ротор» по очереди играет с командами «Протор», «Стартер» и «Монтёр». Найдите вероятность того, что «Ротор» будет начинать только первую и вторую игры.
Решение: «Ротор» сыграет 3 игры. Вероятность, что жребий будет в пользу «Ротора», равна Р= 1 2 Тогда вероятность того, что жребий выиграет НЕ «Ротор» равна Р=1− 1 2 . Для того, чтобы выполнились условия задачи, нам необходимо, чтобы «Ротор» начал И первую, И вторую игры, И НЕ начал третью игру. Р= 1 2 ∙ 1 2 ∙(1− 1 2 )=0,125

4. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
5. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
6. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найди-те вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
7. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
8. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.
9. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Ста-тор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.

Слайд #14

Формулы полной вероятности. Формула Байеса.
Пример1. Пусть имеются три одинаковые урны с таким составом шаров:
- 2 белых и 1 черный;
- 3 белых и 2 черных;
- 1 белый и 3 черных.
Какова вероятность того, что извлеченный из произвольно взятой урны шар - белый?
Решение: Событие А — «извлечен белый шар», Нi – «извлечен шар из i-ой урны»


Пример2: «Имеются 4 партии ламп по 10, 20, 30 и 40 штук в каждой. Вероятность того, что лампы проработают заданное время, равны для каждой партии соответственно 0,6, 0,7, 0,8 и 0,9. Какова вероятность того, что выбранная наудачу лампа из 100 данных ламп проработает заданное время?
Решение: Событие А — «лампа проработает заданное время»,
Нi – «лампа из i-ой партии»
Пример 3. 15 экзаменационных билетов содержат по 2 вопроса каждый, причём вопросы не повторяются. Студент знает 25 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на оба вопроса своего билета или на 1 вопрос билета и на один дополнительный вопрос.
Решение: Событие А — «студент сдал экзамен»,
Н1 – «знал оба вопроса»
Н2 – «знал 1-й вопрос и не знал 2-й»
Н3 – «не знал 1-й вопрос и знал 2-й»
Н4 – «не знал оба вопроса»

Слайд #15

Формулы полной вероятности. Формула Байеса.
Пример 4: В урне находятся 3 шара, цвет которых может быть белым или черным. Какова вероятность, что вынутый шар – белый?
Решение: Событие А — «вынут белый шар»
Н1 – «все шары белые»
Н2 – «два шара белых и один черный»
Н3 – «один шар белый и два черных»
Н4 – «все шары черные»



Пример 5: На склад поступили детали с трех станков. На первом станке изготовлено 40% деталей от их общего количества, на втором—35% и на третьем 25%, причем на первом станке было изготовлено 90% деталей первого сорта, на втором—80% и на третьем —70%. Какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется первого сорта?

Решение: Введем следующие обозначения: 𝐵 1 − деталь изготовлена на первом станке, 𝐵 2 — на втором станке и 𝐵 3 — на третьем станке; событие 𝐴 — деталь оказалась первого сорта. Из условия следует, что
𝑃 𝐵 1 =0,4, 𝑃 𝐵 2 ==0,35, 𝑃 𝐵 3 =0,25, 𝑃 𝐵 1 𝐴 =0,9, 𝑃 𝐵 2 𝐴 =0,8 и 𝑃 𝐵 3 (𝐴)=0,7.Следовательно,
𝑃 𝐴 =𝑃 𝐵 1 ∙ 𝑃 𝐵 1 𝐴 +𝑃 𝐵 2 ∙ 𝑃 𝐵 2 𝐴 +𝑃 𝐵 3 ∙ 𝑃 𝐵 3 𝐴 =0,4∙0,9+0,35∙0,8+0,25∙0,7=0,815.



Пример: В первом ящике имеются 8 белых и 6 черных шаров, а во втором— 10 белых и 4 черных. Наугад выбирают ящик и шар. Известно, что вынутый шар — черный. Найти вероятность того, что был выбран первый ящик.
 

Решение: Введем обозначения: 𝐵 1 — был выбран первый ящик; 𝐵 2 —был выбран второй ящик; 𝐴 — при проведении двух последовательных испытаний выбора ящика и выбора шара был вынут черный шар. Тогда 𝑃 𝐵 1 = 1 2 , 𝑃 𝐵 2 = 1 2 . Вероятность извлечения черного шара после того, как выбран первый ящик, составляет 𝑃 𝐵 1 𝐴 =6/14=3/7. Вероятность извлечения черного шара после того, как выбран второй ящик, равна
𝑃 𝐵 2 𝐴 =4/14=2/7.По формуле полной вероятности находим вероятность того, что вынутый шар оказался черным:
𝑃 𝐴 =𝑃 𝐵 1 ∙ 𝑃 𝐵 1 𝐴 +𝑃 𝐵 2 ∙ 𝑃 𝐵 2 𝐴 =(1/2)∙(3/7)+(1/2)∙(2/7)=5/14.Искомая вероятность того, что черный шар был вынут из первого ящика, вычисляется по формуле Байеса:
𝑃 𝐴 𝐵 1 = 𝑃( 𝐵 1 )∙ 𝑃 𝐵 𝑖 (𝐴) 𝑃(𝐴) = (1/2)∙(3/7) 5/14 = 3 5 =0,6.

Слайд #16

Повторение испытаний. Формула Бернулли.
Установим, как изменяются после наступления события А вероятности гипотез, т.е. найдем условные вероятности РА(Нi) для каждой гипотезы.
Т.к. P(A·Hi) = P(A) · PA(Hi) = P(Hi) ·PHi(A), то
Подставляя вместо Р(А) формулу полной вероятности, получим формулу Байеса:
Эта формула позволяет пересчитывать вероятности гипотез при условии, что событие А уже произошло
Пример 6: Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится как 3 к 2. Вероятность того, что будет заправляться легковая машина, равна 0,2. Для грузовой машины эта вероятность равна 0,1. К бензоколонке для заправки подъехала машина. Найти вероятность того, что она грузовая.
Решение: Событие А — «машина заправилась», Н1 – «подъехала грузовая машина», Н2 – «подъехала легковая машина»

Пример 7: Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый производит, в среднем, 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Какова вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом?
Решение: Событие А — «деталь отличного качества», Н1 – «произведена 1-ым автоматом», Н2 – «произведена 2-ым автоматом»


Пример 8. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 – с оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок при выстреле из винтовки с оптикой поразит мишень, равна 0,95, а без оптики – 0,8. Стрелок поразил цель из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: он стрелял из винтовки с оптикой или без?
Решение: Событие А — «стрелок поразил цель», Н1 – «стрелял из оптической винтовки»,
Н2 – «стрелял из простой винтовки».

Слайд #17

1. В урну, содержащую три шара, положили белый шар, после чего из нее наугад вынули один шар. Найдите вероятность того, что извлеченный шар окажется белым; если все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету) равновозможны.
2. В ящике сложены детали: 16 деталей с первого участка, 24—со второго и 20—с третьего. Вероятность того, что деталь, изготовленная на втором участке, отличного качества, равна 0,6, а для деталей, изготовленных на первом и третьем ‘участках, вероятности равны 0,8. Найдите вероятность того, что наудачу извлеченная деталь окажется отличного качества,
3. На двух автоматах производятся одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата втрое больше производительности второго. Первый автомат в среднем производит 80% деталей первого сорта, а второй—90%. Взятая наудачу с конвейера деталь оказалась первого сорта. Найдите вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.
4. Имеются три партии деталей’ по 30 шт. в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 30, 25 и 20. Из произвольно выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найдите вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.

Самостоятельная работа

Слайд #18

Повторение испытаний. Формула Бернулли.
Пример: Какова вероятность того,
что при 10 бросаниях игрального кубика «четверка» выпадет: а) ровно 3 раза;
б) ровно 2 раза; в) ровно 6 раз; г) не выпадет ни разу?

Решение: Число n независимых повторений (бросаний) равно 10. Число k «успехов» равно 3. Вероятность p «успеха», т.е. вероятность выпадения «четверки» при одном бросании кубика, равна 1 6 , а вероятность «неудачи» равна 5 6 .



Пример: Найти вероятность того, что при 9 бросаниях монеты «орел» выпадет ровно 4 раза.

Решение: Событие А выпадение «орла» , p = 0,5; q = 0,5. Бросания предполагаем независимыми друг от друга. По формуле Бернулли, в которой
n=9, k = 4, p = 0,5, q = 0,5.

Вероятность того что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна Р , событие наступит ровно К раз, вычисляется по формуле Бернулли


где q- вероятность противоположного события q=1-p

Слайд #19

Повторение испытаний. Формула Бернулли.

Пример: За один выстрел стрелок поражает мишень с вероятностью 0,1.Найти вероятность того, что при 5 выстрелах он хотя бы раз попадет в мишень.

Решение: Считаем, что все 5 выстрелов производятся независимо друг от друга. Событие В - попадание в мишень при одном выстреле.
p = 0,1; q = 1-0,1 = 0,9. А – событие, заключающееся в том, что при 5 выстрелах будет хотя бы 1 попадание. Тогда Ā – событие, при котором стрелок все 5 раз «промазал».


Р(А) = 1- Р(Ā) =1-0,5905=0,4095


Вероятность того что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна Р , событие наступит ровно К раз, вычисляется по формуле Бернулли


где q- вероятность противоположного события q=1-p


Самостоятельная работа
1. Вероятность появления события А равна 0,4. Найти вероятность того, что при 6 испытаниях событие А появится не более 3 раз.
2. Монету подбрасывают 5 раз. Найти вероятность того, что она упадет гербом не менее 4 раз.
3. В классе 20 мальчиков и 10 девочек. На каждый из 3 вопросов, заданных учителем, ответили по одному ученику. Найти вероятность того, что среди ответивших было 2 мальчика и одна девочка.
4. Вероятность попадания в цель при одном выстреле составляет 0,8. Найдите вероятность трех попаданий при четырех выстрелах.
5. Всхожесть семян оценивается вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдет три?
6. При обработке деталей на станке в среднем 4% из них бывают с дефектами. Какова вероятность того, что каждые две детали из 30 взятых на проверку окажутся с дефектами?

Слайд #20

Смешанные задачи
1.Решите уравнения:
а) 𝑛+2 ! 𝑛! =110; б) 𝑘+1 ! 𝑘−1 ! =42;в) 8𝐶 2𝑛+1 𝑛+1 = 5𝐶 2𝑛+2 𝑛+2 ; г) 13𝐶 2𝑛 𝑛+1 = 8𝐶 2𝑛+1 𝑛−1 д) 𝐶 𝑛 3 = 4 15 𝐶 𝑛+1 4 .
Решите неравенства: 1) 𝑛−1 ! 𝑛−3 ! <20; 2) 𝑛−1 ! 𝑛−3 ! >30.
2. Число сочетаний из 𝑛 элементов по 4 относится к числу сочетаний из 𝑛+2 элементов по 5, как 5:18. Найдите 𝑛.
3.В ящике находятся 6 белых и 10 черных шаров. Наудачу вынимают одновременно два шара. Найдите вероятность того, что оба шара окажутся черными. .
4. В урне находятся 6 белых и 4 черных шара. Вынимают один за другим два шара. Найдите вероятность того, что оба шара окажутся черными.
5. В урне находятся 15 белых и 6 черных шаров. Из нее вынимают наугад один шар, снова возвращают его в урну и шары перемешивают. Затем вынимают второй шар. Найдите вероятность, что оба вынутых шара белые.
6. В первой урне находятся 10 белых и 2 черных шара, а во второй —4 белых и 8 черных шаров. Из каждой урны вынули по шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?
7. На отдельных карточках написаны буквы «и», «л», «о», «е», «ч». После перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом. Вычислите вероятность того, что из этих букв составится слово «число».
8. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятности попадания в цель для первого, второго и третьего стрелков соответственно равны 3/4, 4/5 и 9/10. Найдите вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.
9. На книжной полке произвольным образом расставлены восемь книг. Вычислите вероятность того, что три определенные книги окажутся поставленными рядом.
10. На трех автоматических линиях изготовляются одинаковые детали. На первой линии изготовляется 50% всех деталей, на второй —30% и на третьей—20%. При этом на первой линии изготовляется 0,025 нестандартных деталей, на второй— 0,02 и на третьей —0,015. Найдите вероятность того, что наудачу взятая из готовой продукции деталь окажется стандартной.
11. Монету подбрасывают 10. раз. Какова вероятность того, что при этом «терб» выпадет 3 раза?
12. В ящике находятся 60 стандартных и 40 нестандартных деталей. Найдите вероятность того, что из взятых наудачу двух деталей одна окажется стандартной, а другая нестандартной.

Слайд #21

Зачетная работа

Слайд #22

Наивероятнейшее число наступления события
Число k называется наивероятнейшим числом наступления события А в n испытаниях, если

Если то число k можно определить из неравенства


Число k может принимать или единственное значение или два наивероятнейших значения.

Слайд #23

Задача 8
Вероятность попадания стрелком в цель равна 0,7. Сделано 25 выстрелов. Найти наивероятнейшее число попаданий в цель.
Решение
n=25; p=0,7; q=0,3




Т.к. k - целое число,то k=18
Ответ: k=18

Слайд #24

Задача 8
В урне 10 белых и 40 черных шаров. Подряд вынимают 14 шаров, причем цвет вынутого шара регистрируют, а затем шар возвращают в урну. Найти наивероятнейшее число появлений белого шара.
Решение
n=14; p=10|50=1|5; q=1-1|5=4|5



Т.о., задача имеет 2 решения: k=2; k=3

Ответ: k=2; k=3

Слайд #25

Решение задач
7. В результате многолетних наблюдений установлено, что вероятность выпадения дождя в Москве 1 октября равна 1/7.Найти наивероятнейшее число дождливых дней в Москве 1 октября за 40 лет.
8. Имеется 20 ящиков однородных деталей. Вероятность того, что в одном наудачу взятом ящике детали окажутся стандартными, равна 0,75. Найти наивероятнейшее число ящиков, в которых все детали стандартные.
9. В урне 100 белых и 80 черных шаров. Из урны извлекают n шаров (с возвратом каждого вынутого шара).Наивероятнейшее число появлений белого шара равно 11. Найти n.

Слайд #26

Решение задач
10. Один рабочий за смену может изготовить 120 изделий, другой – 140 изделий, причем вероятности того, что эти изделия высшего сорта, составляют соответственно 0,94 и 0,8. Определить наивероятнейшее число изделий высшего сорта, изготовленных каждым рабочим.

Слайд #27

Домашнее задание
1. В каждом из 4 ящиков по 5 белых и по 15 черных шаров. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность вынуть 2 белых и 2 черных шара?
2. Имеется 100 урн с белыми и черными шарами. Вероятность появления белого шара из каждой урны равно 0,6. Найти наивероятнейшее число урн, в которых все шары белые.