Презентация по алгебре на тему "Задачи на теорию чисел" (10 -11класс)

Слайд #1

Задача №18 ЕГЭ
Тихомирова Галина Юрьевна МБОУ «СОШ № 23 г. Владивостока»
 Задачи на теорию чисел

Слайд #2

1. Анализ условия задачи.
2. Выделение ключевых моментов.
3. Применение теоретических знаний.
4. Решение уравнений/неравенств.
5. Логический анализ.
6. Проверка ответа.
Алгоритм решения задания №19 (числа и их свойства)

Слайд #3

Критерии оценивания

Слайд #4

На доске написано несколько различных натуральных чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 7.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 231?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 1590?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 1056?
ЕГЭ 2020 №18.1
Решение. а) Да, может. 27 + 57 + 147 = 231.
Как мы получили пример?
Числа A, которые делятся на 3 и оканчиваются на 7 можно представить как
=> (10n + 7) ⋮ 3. 10n + 7 = 9n + n + 6 + 1 = (9n + 6) + (n + 1);
A = 3k
(9n + 6) ⋮ 3 => (n + 1) ⋮ 3.
На доске написано несколько различных натуральных чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 7.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 231?
или A = 10n + 7, где k∈N и n∈N =>
Выпишем несколько чисел n, таких, что (n + 1) ⋮ 3, и найдём, чему будут равны k и A.
231 = 3 · 77 = 3 · (9 + 19 + 49) = 27 + 57 + 147.

Слайд #5

Решение.
б) Предположим, что это возможно.
На доске написано несколько различных натуральных чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 7.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 231?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 1590?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 1056?
Значит, таких чисел в любом случае не меньше 10.
Такое возможно, если количество чисел кратно 10.
Следовательно, требуемое невозможно.
Число, делящееся на 3, оканчивается на 7 только, если оно имеет вид 3n, где n ∈ N и
Найдём сумму 10 наименьших чисел, оканчивающихся на 7 и кратных 3:
27 + 57 + 87 + … = 3 · (9 + 19 + … + 99) = 3 · 540 = 1620 > 1590. Противоречие.
n оканчивается на 9.
Каждое число оканчивается на 7, а их сумма на 0.
ЕГЭ 2020 №18.1

Слайд #6

На доске написано несколько различных натуральных чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 7.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 231?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 1590?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 1056?
Решение. в) Чтобы узнать последнюю цифру в сумме из n чисел, оканчивающихся на 7,
Ответ : а) да; б) нет; в) 8.
Таким образом, наибольшее количество чисел на доске равно 8.

нужно определить последнюю цифру в числе 7n.
Последняя цифра равна 6, если n = 8, 18, … и т.д.
Пример. Найдём сумму 8 наименьших чисел, оканчивающихся на 7:
27 + 57 + 87 + …+ 237 = 3 · (9 + 19 + … + 79) = 3 · 88 · 4 = 1056.
ЕГЭ 2020 №18.1

Слайд #7

В данной задаче построение (единственного!) примера, реализующего эту оценку, т.е. 27, 57, …, 237, оценка + пример даёт 2 балла в пункте в.
Структура задания 18:
а) Да + пример; нет + доказательство;
б) Нет + доказательство;
в) Оценка + пример.
Замечания
В пункте в) рассуждения, приводящие к тому, что количество чисел обязано оканчиваться на 8, т.е. n = 8, 18, … и т.д., называются оценкой.
Однако одной лишь оценки не достаточно для получения 1 балла, ведь
в реальности пример, реализующий эту оценку, может и не существовать.

Слайд #8

На доске написано трёхзначное число A. Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число B, затем Коля записывает число A и зачеркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число C.
а) Может ли быть верным уравнение A = B · C, если A > 140?
б) Может ли быть верным уравнение A = B · C, если 440 ⩽ A < 500?
в) Найдите наибольшее число A до 900, для которого выполняется A = B · C.
Решение. а) Да, может. Например, если A = 625, B = 25, C = 25,
то получаем равенство: 150 = 15 · 10.
то получаем равенство: 625 = 25 · 25.
Или, например, если A = 150, B = 15, C = 10,
№18.2 ЕГЭ 2023 (основная волна)

Слайд #9

Решение. б) Если 440 ⩽ A < 500, то первая цифра числа A равна 4.
На доске написано трёхзначное число A. Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число B, затем Коля записывает число A и зачеркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число C.
а) Может ли быть верным уравнение A = B · C, если A > 140?
б) Может ли быть верным уравнение A = B · C, если 440 ⩽ A < 500?
в) Найдите наибольшее число A до 900, для которого выполняется A = B · C.
Тогда вторая цифра числа A не меньше 4. Тогда B ⩾ 40 и C ⩾ 40.
Тогда указанное равенство A = B · C не может быть верным.

Значит, A = B · C ⩾ 40 · 40 = 1600 > 500.

№18.2 ЕГЭ 2023 (основная волна)

Слайд #10

Решение в) Сначала приведем пример: A = 810, B = 81, C = 10, тогда
На доске написано трёхзначное число A. Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число B, затем Коля записывает число A и зачеркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число C.
в) Найдите наибольшее число A до 900, для которого выполняется A = B · C.
B · C = 81 · 10 = 810 = A.
Пусть A = 8bc . Тогда заметим, что если оба мальчика зачеркнули b или c,
то B · C ⩾ 6400. Такое не подходит.
Значит, один из мальчиков вычеркнул первую цифру, пусть это был Серёжа.
Если b = 0, то B = c. Тогда B · C ⩽ 0 c · 8𝒄 ⩽ 9 · 89 = 801 < 810.

B · C < A не удовлетворяет условию.

№18.2 ЕГЭ 2023 (основная волна)

Слайд #11

Решение в) Тогда b ⩾ 1, значит, B = bc = 10b + c.
На доске написано трёхзначное число A. Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число B, затем Коля записывает число A и зачеркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число C.
в) Найдите наибольшее число A до 900, для которого выполняется A = B · C.
Оценим B · 80. B · 80 = (10b + c) · 80 = 800b + 80c ⩾ 800. При b ⩾ 2 B · 80 ⩾ 1600.

Тогда если Коля не вычеркнул первую цифру, то b = 1. Значит, A = 81c .
Тогда c может равняться только 0.
При с = 1 A = 811 < 81 · 11 => А ≠ B · C,
при с = 2 A = 812 < 81 · 12 => А ≠ B · C,
при с = 3 A = 813 < 81 · 13 => А ≠ B · C,
при с = 4 A = 814 < 81 · 14 => А ≠ B · C,
при с = 5 A = 815 < 81 · 15 => А ≠ B · C,
при с = 6 A = 816 < 81 · 16 => А ≠ B · C,
при с = 7 A = 817 < 81 · 17 => А ≠ B · C,
при с = 8 A = 818 < 81 · 18 => А ≠ B · C,
при с = 9 A = 819 < 81 · 19 => А ≠ B · C,
Получили наш пример: A = 810, B = 81, C = 10.

№18.2 ЕГЭ 2023 (основная волна)

Слайд #12

№18.2 ЕГЭ 2023 (основная волна)
Пусть оба мальчика вычеркнули первую цифру. Тогда B = C = bc .
На доске написано трёхзначное число A. Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число B, затем Коля записывает число A и зачеркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число C.
в) Найдите наибольшее число A до 900, для которого выполняется A = B · C.
Ответ: а) Да, может; б) Нет, не может; в) 810.
Значит, A = B 𝟐 . Если A < 900, то B < 30. Нам надо найти A > 810.
Тогда B > 28, так как 28 𝟐 = 784. Значит, B = 29.

Но тогда A = 841, что невозможно, так как 841 не оканчивается на 29.

Таким образом, 810 — наибольшее возможное A.

Решение в)

Слайд #13

№18.3 ЕГЭ 2023
Есть числа A и B. Из них можно сделать числа A + 2 и B − 1 или B + 2 и A − 1, только если следующая пара этих чисел будет натуральной. Известно, что A = 7, B = 11.
а) Можно ли за 20 ходов создать пару, где одно из чисел равно 50?
б) За сколько ходов можно сделать пару, где сумма чисел будет равна 600?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать, чтобы оба числа не превышали 50?
Решение. а) При каждом действии сумма чисел увеличивается ровно на 1.
Действительно:
• Если было (A, B), и стало (A + 2, B − 1), то сумма A + B стала A + 2 + B − 1 = A + B + 1.
• Если было (A, B), и стало (A − 1, B + 2), то сумма A + B стала A − 1 + B + 2 = A + B + 1.
Значит, за 20 ходов сумма увеличится на 20, то есть будет равна 7 + 11 + 20 = 38.
Нельзя представить 38 в виде суммы двух натуральных слагаемых, одно из которых 50.

Слайд #14

Есть числа A и B. Из них можно сделать числа A+ 2 и B −1 или B + 2 и A−1, только если следующая пара этих чисел будет натуральной. Известно, что A = 7, B = 11.
б) За сколько ходов можно сделать пару, где сумма чисел будет равна 600?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать, чтобы оба числа не превышали 50?
Решение.
сумма чисел увеличивается на 1 после каждого хода.
Начальная сумма чисел равна A + B = 7 + 11 = 18.
Тогда понадобится ровно 600 − 18 = 582 хода для достижения искомой суммы,
которую можно получить путём проведения следующего алгоритма 291 раз:
(A, B) → (A + 2, B - 1) → (A + 1, B + 1).
б) Как было показано в пункте а),
№18.3 ЕГЭ 2023

Слайд #15

Есть числа A и B. Из них можно сделать числа A+ 2 и B − 1 или B + 2 и A−1, только если следующая пара этих чисел будет натуральной. Известно, что A = 7, B = 11.
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать, чтобы оба числа не превышали 50?
Решение. в) Рассмотрим разность вида «второе число — первое число».
Вначале она равна B − A. Далее возможны два варианта:
B + 2 − (A − 1) = B − A + 3 либо B − 1 − (A + 2) = B − A − 3.
Числа B − A, B − A + 3 и B − A − 3 имеют одинаковый остаток при делении на три.
То есть разность второго и первого чисел (именно в этом порядке)
всегда даёт один и тот же остаток при делении на 3.
Вначале эта разность равна 11 − 7 = 4 даёт остаток 1 при делении на 3.

№18.3 ЕГЭ 2023

Слайд #16

Есть числа A и B. Из них можно сделать числа A+ 2 и B −1 или B + 2 и A−1, только если следующая пара этих чисел будет натуральной. Известно, что A = 7, B = 11.
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать, чтобы оба числа не превышали 50?
Решение. в)
Из чисел (7, 11) сделаем пару чисел (49, 50) за 99 −18 = 81 ход следующим образом:
(7, 11) алгоритм из п. б 39 раз (46, 50)
По условию оба числа не превышают 50, то максимальное количество ходов
возможно при максимальной сумме чисел, которая равна 100.
Начальная разность чисел равнялась 11 − 7 = 4.
Каждый ход меняет разность пары на 3.
Тогда новая пара чисел не сможет в разности дать нулевой остаток при делении на 3, 
то есть  A ≠ B. Тогда максимальная сумма чисел указанных чисел уже не 100, а 99.
Ответ: а) Нет, нельзя; б) 582; в) 81.
(A, B) → (A + 2, B - 1) → (A + 1, B + 1).
→ (48, 49) → (50, 48) → (49, 50).
№18.3 ЕГЭ 2023

Слайд #17

№18.4 ЕГЭ-2016
Трёхзначное натуральное число, в десятичной записи которого нет нулей, разделили на произведение его цифр.
а)  Может ли получившееся частное быть равным 5?
б)  Может ли получившееся частное быть равным 1?
в)  Какое наименьшее значение может принимать это частное?
Решение. а) Пусть наше трехзначное число  100a + 10b + c. 100a + 10b + c abc = 5.
Заметим, все цифры числа не равны нулю и число кратно 5, тогда c = 5. 
100a + 10b + 5 = 25ab, 20a + 2b + 1 = 5ab.
Пусть a =1,  тогда 20 + 2b + 1 = 5a,
21 = 3b, b = 7.
Итак, 175 1 ∙ 7 ∙ 5 = 5.

Слайд #18

Трёхзначное натуральное число, в десятичной записи которого нет нулей, разделили на произведение его цифр.
б)  Может ли получившееся частное быть равным 1?
в)  Какое наименьшее значение может принимать это частное?
Решение. б) Пусть наше трехзначное число  100a + 10b + c = abc.
Тогда 10b + c = a(bc − 100),
Правая часть отрицательна (bc − 100 < 0), а левая положительна (10b + с >0),
что невозможно.
Указанное в условии частное не может быть равно 1.

№18.4 ЕГЭ-2016

Слайд #19

Трёхзначное натуральное число, в десятичной записи которого нет нулей, разделили на произведение его цифр.
б)  Может ли получившееся частное быть равным 1?
в)  Какое наименьшее значение может принимать это частное?
Решение. в)  Частное числа и произведения его цифр равно
Итак, а = b = с = 9.
999 9 ∙ 9 ∙ 9 = 37 27 .
Ответ: а)  да; б)  нет; в)  37 27 . 

100a + 10b +c abc = 100 bc + 10 ac + 1 ab ≥ 100 81 + 10 81 + 1 81 = 111 81 = 37 27 .
№18.4 ЕГЭ-2016

Слайд #20

Дано натуральное число. К этому числу можно либо прибавить утроенную сумму его цифр, либо вычесть утроенную сумму его цифр. После прибавления или вычитания суммы цифр, число должно остаться натуральным.
а)  Можно ли получить из числа 128 число 29?
б)  Можно ли получить из числа 128 число 31?
в)  Какое наименьшее число можно было получить из числа 128?
№18.5

Решение.а) Да, может. Например: 128; 95; 53; 29.
б) Заметим, остаток при делении на 3 числа 128 равен 2, а остаток при делении на 3
 числа 31 равен 1. Но указанные в условии задачи операции (прибавление утроенной
суммы цифр к числу, либо вычитание утроенной суммы цифр числа) не меняют
остаток при делении на 3 числа, так как утроенные суммы цифр числа кратны 3.

Слайд #21

Дано натуральное число. К этому числу можно либо прибавить утроенную сумму его цифр, либо вычесть утроенную сумму его цифр. После прибавления или вычитания суммы цифр, число должно остаться натуральным.
в)  Какое наименьшее число можно было получить из числа 128?
№18.5

Решение. в) По замеченному в пункте б, понимаем, что наименьшим числом не может  
оказаться 1, так как числа 128 и 1 имеют разные остатки при делении на 3.
Попробуем подобрать пример для 2.
128 −33 95 −42 53 +24 77 −42 35 +24 59 −42 17 +24 41 −15 26 −24 2.
или
128 −33 95 −42 53 −24 29 +33 62 −24 38 −33 5 +15 20 +6 26 −24 2.
Ответ: а) да; б) нет; в) 2.

Слайд #22

Дана правильная несократимая дробь a b , где a и b натуральные числа.
За один ход можно увеличить числитель на знаменатель, а знаменатель — на два числителя, то есть получить дробь a + b b + 2a .
а) Можно ли из дроби 1 5 получить дробь 32 45 ?
б) Можно ли из некоторой дроби за 3 хода получить дробь, равную 15 17 ?
в) Дробь c d меньше 7 10 . Найдите ее наибольшее значение, которое нельзя получить из другой правильной несократимой дроби за 2 хода.
№18.6

Решение. а) Да, можно: 1 5 → 1 + 5 2 ∙ 1 + 5 = 6 7 → 6 + 7 2 ∙ 6 + 7 = 13 19 → 13 + 19 2 ∙ 13 + 19 = 32 45 .

Слайд #23

Дана правильная несократимая дробь a b , где a и b натуральные числа.
За один ход можно увеличить числитель на знаменатель, а знаменатель — на два числителя, то есть получить дробь a + b b + 2a .
б) Можно ли из некоторой дроби за 3 хода получить дробь, равную 15 17 ?
в) Дробь c d меньше 7 10 . Найдите ее наибольшее значение, которое нельзя получить из другой правильной несократимой дроби за 2 хода.
№18.6

Решение. б) Если начальная дробь a b , то через три хода
Несократимая дробь остается несократимой, так как по алгоритму Евклида
НОД(a + b; 2a +b) = НОД(a + b; a) = НОД(b; a) = 1.
a b → a + b 2a + b → 3a + 2b 4a + 3b → 7a + 5b 10a + 7b .
НОД (a, b) = НОД (b, с), где с — остаток от деления a на b.

Слайд #24

Дана правильная несократимая дробь a b , где a и b натуральные числа.
За один ход можно увеличить числитель на знаменатель, а знаменатель — на два числителя, то есть получить дробь a + b b + 2a .
б) Можно ли из некоторой дроби за 3 хода получить дробь, равную 15 17 ?
в) Дробь c d меньше 7 10 . Найдите ее наибольшее значение, которое нельзя получить из другой правильной несократимой дроби за 2 хода.
№18.6

Решение. б) Если начальная дробь a b , то через три хода
7a + 5b=15, 10a +7b=17;
a =−20, −140 + 5b=15; a =−20, b=31.
Не удовлетворяет условию a и b натуральные числа, следовательно невозможно
a b → a + b 2a + b → 3a + 2b 4a + 3b → 7a + 5b 10a + 7b = 15 17 .
49a + 35b=105, 50a +35b=85;
за 3 хода получить дробь, равную 15 17 .

Слайд #25

Дана правильная несократимая дробь a b , где a и b натуральные числа.
За один ход можно увеличить числитель на знаменатель, а знаменатель — на два числителя, то есть получить дробь a + b b + 2a .
в) Дробь c d меньше 7 10 . Найдите ее наибольшее значение, которое нельзя получить из другой правильной несократимой дроби за 2 хода.
№18.6


Решение. в) Несократимую дробь c d , за один ход можно получить из дроби
3c − 2d>0, 3d − 4c>3c − 2d;
Натуральные c и d должны удовлетворять системе
за два хода c d ← d − c 2c − d ← 3c − 2d 3d − 4c , так как, 2c−d > d − c>0.
c d ← d − c 2c − d , так как c < d => d−c> 0, 2c−d >0, а

Слайд #26

Дана правильная несократимая дробь a b , где a и b натуральные числа.
За один ход можно увеличить числитель на знаменатель, а знаменатель — на два числителя, то есть получить дробь a + b b + 2a .
в) Дробь c d меньше 7 10 . Найдите ее наибольшее значение, которое нельзя получить из другой правильной несократимой дроби за 2 хода.
№18.6

Решение. в)
2 3 < c d < 5 7 .
Натуральные c и d должны удовлетворять системе
Так как 2 3 < 7 10 < 5 7 , то наибольшее значение, которое нельзя получить из другой
Ответ: а) да; б) нет; в) 2 3 . 
3c −2d>0, 3d−4c>3c − 2d;
3c> 2d, 7c<5d;
c d > 2 3 , c d < 5 7 ;
правильной несократимой дроби за 2 хода 2 3 .

Слайд #27

№18.7
В классе учатся мальчики и девочки, при этом в классе больше 10, но не более 26 человек, а процентная доля девочек в классе не более 21%.
а) Могло ли в классе учиться 5 девочек?
б) В класс перевелась еще одна девочка. Могла ли после этого доля девочек в классе составлять 30%?
в) Какое максимально возможное целое значение могла принимать доля девочек в классе после перевода девочки в него?
Решение.
а) Да, могло. Если в классе учились 5 девочек и 20 мальчиков,
то процентная доля девочек была равна
5 5 + 20 ∙ 100% = 5 25 ∙ 100% =20% < 21%.
При этом условие на общее количество детей в классе выполняется
так, как   10 < 5 + 20 < 26.

Слайд #28

В классе учатся мальчики и девочки, при этом в классе больше 10, но не более 26 человек, а процентная доля девочек в классе не более 21%.
б) В класс перевелась еще одна девочка. Могла ли после этого доля девочек в классе составлять 30%?
в) Какое максимально возможное целое значение могла принимать доля девочек в классе после перевода девочки в него?
Решение.
б) Пусть в классе учились n  детей, при этом d из них — девочки.
Начальная процентная доля девочек была не более 21%, значит, d n ≤ 21 100 .
После перевода еще одной девочки в класс
В этом случае процентная доля девочек составляла d n ∙ 100%.
В этом случае процентная доля девочек составила d + 1 n + 1 ∙ 100%.
количество девочек в классе стало равно  d + 1,
а количество детей —  n + 1.
№18.7

Слайд #29

В классе учатся мальчики и девочки, при этом в классе больше 10, но не более 26 человек, а процентная доля девочек в классе не более 21%.
б) В класс перевелась еще одна девочка. Могла ли после этого доля девочек в классе составлять 30%?
в) Какое максимально возможное целое значение могла принимать доля девочек в классе после перевода девочки в него?
Решение.
б) Пусть в классе учились n  детей, при этом d из них — девочки.
После перевода еще одной девочки процентная доля девочек составила d + 1 n + 1 ∙ 100%.
d + 1 n + 1 = 30 100 , 100d + 100=30n + 30, 100d + 70=30n
d n ≤ 21 100 =>100d ≤21n=>21n + 70≥100d + 70≥30n =>70≥9n
=> n ≤ 70 9 <8,
доля девочек не могла составлять 30%.
что противоречит условию n >10. После перевода еще одной девочки процентная
№18.7

Слайд #30

В классе учатся мальчики и девочки, при этом в классе больше 10, но не более 26 человек, а процентная доля девочек в классе не более 21%.
в) Какое максимально возможное целое значение могла принимать доля девочек в классе после перевода девочки в него?
Решение.
в) Оценим 100d + 100.
10 <n≤𝟐𝟔 => n ≥ 11, n∈𝑵.
100d + 100≤ 21n + 100≤21n + 7n + 23≤28n + 23<28n + 28.
100d + 100<28n + 28 => d + 1 n + 1 < 28 100 .
Значит, наибольшее целое значение, которое могла принимать процентная доля
27 100 — несократимая дробь, то n + 1≥ 100, что противоречит условию n≤𝟐𝟔 .
Значит, наибольшее целое значение, которое могла принимать процентная доля
девочек, равно 27%.
девочек, равно 26%. 
№18.7

Слайд #31

В классе учатся мальчики и девочки, при этом в классе больше 10, но не более 26 человек, а процентная доля девочек в классе не более 21%.
в) Какое максимально возможное целое значение могла принимать доля девочек в классе после перевода девочки в него?
Решение.
в)
Наибольшее целое значение, которое могла принимать процентная
26 100 = 13 50 — несократимая дробь, тогда d + 1 n + 1 = 13 50 ,
то n + 1≥ 50, что противоречит условию n≤𝟐𝟔.
Значит, наибольшее целое значение, которое могла принимать
доля девочек, равно 26%. 
процентная доля девочек, равно 25%.
№18.7

Слайд #32

В классе учатся мальчики и девочки, при этом в классе больше 10, но не более 26 человек, а процентная доля девочек в классе не более 21%.
в) Какое максимально возможное целое значение могла принимать доля девочек в классе после перевода девочки в него?
Решение.
в)
Если вначале было 2 девочки и 9 мальчиков,
Ответ: а) да; б) нет; в) 25.
то исходная процентная доля девочек была равна
2 11 ∙ 100% < 2 10 ∙ 100% = 20% < 21%.
После перевода еще одной девочки в класс
процентная доля девочек стала равняться
2 + 1 11 + 1 ∙ 100% = 3 12 ∙ 100% = 25%.
№18.7

Слайд #33

№18.8 Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 33
В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в 2 раза?
б) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 1?
в) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.

Слайд #34

В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере 2 учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл за тест был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешёл из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.
а) Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в 2 раза?
Решение.
а)
Суммарный балл после перехода учащегося уменьшился на
nА−2А(n−1) = А(2−n)≤𝟎
так, как n≥2, что невозможно.
Каждый учащийся набрал натуральное число баллов,
то суммарный балл после перехода учащегося в школу №2 должен был уменьшится
на положительное число.
№18.8 Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 33

Слайд #35

б) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 1?
Решение.
 Начальный суммарный балл в школе №1 nА = 1,1А(n−1) + x.
nА = 1,1nА − 1,1А + x ⇔
10nА = 11nА − 11А + 10x
⇔ 10x = А(11− n)
Так как x ∈ N, то 10x ∈ N и А(11− n) ∈ N, тогда 11− n ≥ 0 ⇔ n ≤ 11.

б) Пусть учащийся, который перешёл из школы №1 в школу №2 набрал x баллов.
№18.8 Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 33

Слайд #36

После перехода ученика суммарный балл школе №2 1,1(52−n)В = (51−n)В + x.
б) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный средний балл в школе №2 равняться 1?
Решение. б) Пусть учащийся, который перешёл из школы №1 в школу №2 набрал x баллов.
57,2 В −1,1nВ = 51В− nВ + x ⇔

nВ = 62В − 10x
⇔ 10x = В(62−n).
По условию В = 1, 10x = 62−n. Так как n ∈ N, то (62−n)⋮10. Так как 2 ≤n ≤11, то n = 2.
А(11−n) = 10x = В(62−n), 9А= 60, А = 20 3
— противоречие, так как А ∈ N.
№18.8 Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 33

Слайд #37

в) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
Решение.
10x = А(11−n) и
10x = В(62−n).
При В = 2 10x = 2(62−n)  5x = 62−n => (62−n)⋮5.
По доказанному ранее  n ≤11, тогда n = 2 или n = 7.
Пусть В = 2, n = 2, тогда А(11−n) = В(62−n) => 9А = 120  А = 40 3 — противоречие,
так как А ∈ N.
Пусть В = 2, n = 7, тогда А(11−n) = В(62−n) => 4А = 110  А = 55 2 — противоречие, А ∈ N.
Значит В ≥ 3, тогда minB = 3 и 10x = В(62−n) => 10x = 3(62−n).
Приведем пример с В = 3.
в) По условию В ∈ N => В ≥ 1. Из пункта б) В ≠ 1, тогда В = 2,
№18.8 Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 33

Слайд #38

в) Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.
Решение. в)
Пример с В = 3.
Пусть n = 2, x = 18, тогда средний балл A в школе №1 равен А = 180 11− 2 = 20.
10x = А(11−n),
Пусть у перешедшего учащегося было 18 баллов, у оставшегося в школе №1 — 22 балла.
Пусть в школе №2 до перехода учащегося из школы №1 было 49 учащихся с баллом 3.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 3.
учащегося с 18 баллами средний балл в школе №1 стал равен  22 = 1,1∙20 баллам.
Тогда средний балл до перехода в школе №1 был равен 18 + 22 2 = 20. После перехода
средний балл стал равен 49 ∙ 3 + 18 50 = 3,3 = 1,1 ∙3.
Тогда средний балл в школе №2 был 3. После перехода учащегося из школы №1
№18.8 Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 33

Слайд #39

Последовательность ( a n​ ) состоит из 100 натуральных чисел. Каждый член последовательности, начиная со второго, либо вдвое меньше предыдущего,
либо больше его на 90.
а) Может ли такая последовательность быть образована ровно четырьмя различными числами?
б) Чему может равняться ,  a 100 ​ если  a 1 = 89?
в) Какое наименьшее значение может принимать самое большое из чисел такой последовательности?
Решение. а) Да, может. Пример. ( a n​ ): 270, 360, 180, 90, 180, 90, …
б) Если в последовательности нечётное число, а все члены натуральные числа,
то следующее за ним должно быть на 90 больше.
Если a 𝟏 = 89, то все числа в последовательности нечётные и
a 𝟏𝟎𝟎 = a 𝟏 + 99 ∙ 90 = 89 + 99 ∙ 90 = 8999.
№18.9

Слайд #40

Последовательность ( a n​ ) состоит из 100 натуральных чисел. Каждый член последовательности, начиная со второго, либо вдвое меньше предыдущего,
либо больше его на 90.
в) Какое наименьшее значение может принимать самое большое из чисел такой последовательности?
Решение. в)
Пусть все числа в последовательности меньше 96, тогда для i ∈𝑵, a 𝒊 ≥6⇒
a 𝒊+𝟏 =a 𝒊 +90≥96, тогда a 𝒊+𝟐 =a 𝒊+𝟏 :2.
Если a 𝒊 - нечётное, тогда a 𝒊+𝟐 = a 𝒊 + 180 > 96 ⇒ при i ≤ 98 a 𝒊 - чётное.
Наименьшее k при a 𝒌 <6. Так как a 𝟏 = 2 𝒌−𝟏 ∙ a 𝒌 , то k ≤ 7.
Пример. Последовательность ( a n​ ): 96, 48, 24, 12, 6, … удовлетворяет
условию и наибольшее число 96. Докажем, что самое большое из чисел такой
последовательности не может быть меньше 96.
№18.9

Слайд #41

Последовательность ( a n​ ) состоит из 100 натуральных чисел. Каждый член последовательности, начиная со второго, либо вдвое меньше предыдущего,
либо больше его на 90.
в) Какое наименьшее значение может принимать самое большое из чисел такой последовательности?
Решение. в)
Рассмотрим случаи, когда числа a 𝒌 , …, a 𝒌+𝟐𝟎 чётные.
Если a 𝒌 = 2, то a 𝒌+𝟏 =92, a 𝒌+𝟐 =46, a 𝒌+𝟑 =136 > 96.
Если a 𝒌 = 4, то a 𝒌+𝟏 =2 ( см. выше) или a 𝒌+𝟏 =94, a 𝒌+𝟐 =184 > 96.
Таким образом, самое большое число в такой последовательности
Ответ: а) да; б) 8999; в) 96.
k ≤ 7 ⇒ k + 20 ≤27≤98.
не может быть меньше 96.
№18.9

Слайд #42

По кругу расставлены N чисел, меньших 340, так, что сумма трех последовательных чисел не делится на 3, а сумма четырех последовательных делится на 3.
а) Может ли N быть равно 240?
б) Может ли N быть равно 129?
в) Какое наибольшее значение может принимать N?
Решение. а) Рассмотрим четыре подряд идущих числа a i , a i+1 , a i+2 , a i+3 .
По кругу расставлены N чисел, меньших 340, так, что сумма трех последовательных чисел не делится на 3, а сумма четырех последовательных делится на 3.
а) Может ли N быть равно 240?
Следовательно, не кратных 3 — 226 штук, что меньше 240.
Ответ: нет, не может.
Чисел от 1 до 339, делящихся на 3, 113 штук.
первое или четвертое. Следовательно, все N чисел не делятся на 3.
Так как числа расставлены по кругу, то для каждого числа есть две четверки, где оно
Аналогично рассуждая, мы можем сказать, что a i+3 из этой четверки не делится на 3.
Если бы ai ⋮ 3, то из ( a i + a i+1 + a i+2 + a i+3 ) ⋮ 3 => ( a i+1 + a i+2 + a i+3 ) ⋮ 3,
что противоречит условию.
№18.10 ЕГЭ-2022, Дальний Восток

Слайд #43

По кругу расставлены N чисел, меньших 340, так, что сумма трех последовательных чисел не делится на 3, а сумма четырех последовательных делится на 3.
б) Может ли N быть равно 129?
Решение. б)
Из пункта а) все N чисел не делятся на 3.
Значит, могут быть только остатки 1 и 2, т. е. на круге все числа вида 3m + 1 или 3m + 2..
По условию любые три подряд идущие числа не делятся на 3, значит,
Аналогично, числа вида 3m + 2 не стоят три подряд, а стоят через одно или через два.
числа вида 3m + 1 не стоят три подряд, а стоят через одно или через два.
№18.10 ЕГЭ-2022, Дальний Восток

Слайд #44

По кругу расставлены N чисел, меньших 340, так, что сумма трех последовательных чисел не делится на 3, а сумма четырех последовательных делится на 3.
б) Может ли N быть равно 129?
Решение. б)
Числа, дающие при делении на 3 остаток 2, обозначим как (2).
Обозначим числа, дающие при делении на 3 остаток 1, как (1).
Получим варианты:
то должно быть и 2 числа типа (2).
Других вариантов нет, так как сумма чисел в четверке
должна быть кратна трем.
Это значит, что если в ней 2 числа типа (1),
Вариант 1
Вариант 2
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(2)
(2)
(2)
(2)
(2)
(2)
(2)
(2)
(2)
…
…
…
…
№18.10 ЕГЭ-2022, Дальний Восток

Слайд #45

№18.10 ЕГЭ-2022, Дальний Восток
По кругу расставлены N чисел, меньших 340, так, что сумма трех последовательных чисел не делится на 3, а сумма четырех последовательных делится на 3.
б) Может ли N быть равно 129?
Решение. б)
Если где-то стоят рядом
Следовательно, единиц и двоек
Если где-то рядом стоят 1,2,
Тогда числа можно разбить на пары вида 1,2.
Ответ: нет, не может.
129 нечетно.
всех чисел должно быть четно.
должно быть четно, значит и
от 1,1 должны быть 2,2.
справа и слева
две единицы, то
Однако 129 чисел нельзя разбить на пары.
четверку 1,1,2,2, либо 2,1,2,1.
1 и 2, то есть имеем либо
то по краям от них стоят
Вариант 1
Вариант 2
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(2)
(2)
(2)
(2)
(2)
(2)
(2)
(2)
(2)
…
…
…
…

Слайд #46

По кругу расставлены N чисел, меньших 340, так, что сумма трех последовательных чисел не делится на 3, а сумма четырех последовательных делится на 3.
в) Какое наибольшее значение может принимать N?
Решение. в)
Ответ: нет; нет; 226.
..., 1, 2, 1, 2, 1, 2, ...
Из пункта а) получаем оценку на количество чисел N ≤ 226.
А в пункте б) мы получили, что количество чисел четно,
следовательно, наибольшее возможное значение N равно 226.
Пример.
Числа от 1 до 338 в порядке возрастания,
исключив из них делящиеся на 3,
что соответствует последовательности остатков
1
2
4
5
7
8
10
11
337
338
…
…
№18.10 ЕГЭ-2022, Дальний Восток

Слайд #47

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!