Трансцендентные кривые

Слайд #1

Федеральное государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Димитровградский технический колледж» Проект по теме: «Трансцендентные кривые» Выполнил: Семенов Алексей Руководитель: Кузьмина В.В.

Слайд #2

Содержание Класс трансцендентных кривых Определение трансцендентной кривой Квадратриса Трактриса Цепная линия Циклоида Архимедова спираль Гиперболическая спираль Логарифмическая спираль Спираль Корню, клотоида Трохоида Гипоциклоида Эпициклоида

Слайд #3

Большой интересный класс составляют трансцендентные кривые К ним относятся графики тригонометрических функций (синусоида, тангенсоида), логарифмической функции, показательной функции, гиперболических функций, а также много других линий, которые будут рассмотрены в дальнейшем.

Слайд #4

Трансцендентная кривая Трансцендентная кривая - это кривая, уравнение которой в декартовой системе координат не является алгебраическим ( в других системах координат может быть алгебраическим.) Логарифмическая спираль Логарифмическая спираль

Слайд #5

Квадратриса Квадратриса (или Квадратрисса) — плоская трансцендентная кривая, определяемая кинематически. Открыта, по сообщению Прокла Диадоха, софистом Гиппием (V век до н. э.), использовалась в античные времена для решения задач квадратуры круга и трисекции угла.

Слайд #6

Уравнения В полярных координатах: В прямоугольных координатах можно записать уравнение квадратрисы в следующем виде:

Слайд #7

Трактриса Трактриса (линия влечения) — (от лат. trahere — тащить) — плоская трансцендентная кривая, для которой длина отрезка касательной от точки касания до точки пересечения с фиксированной прямой является постоянной величиной. Такую линию описывает предмет, волочащийся на верёвке длины a за точкой, движущейся по оси абсцисс. Трактриса также является частью кривой погони при равной скорости догоняющего и убегающего.

Слайд #8

Уравнения Параметрическое описание: Уравнение в декартовых координатах:

Слайд #9

Цепная линия Цепная линия — линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжелая нить или цепь (отсюда название) с закрепленными концами в однородном гравитационном поле. Является плоской трансцендентной кривой. Уравнение в декартовой системе координат

Слайд #10

Краткая историческая справка Поверхность, образованная вращением дуги цепной линии вокруг оси Оx, называется катеноидом. Цепные линии используются в расчетах, связанных с провисанием проводов, тросов и т.п. Форму кривой провисания впервые рассматривал Г. Галилей (1638), который считал ее параболой. Истинная форма кривой найдена Г. Лейбницем, Я. и И. Бернулли, Х. Гюйгенсом. Х. Гюйгенс предложил термин «Цепная линия»

Слайд #11

Применение Арки Перевёрнутая цепная линия — идеальная форма для арок. Однородная арка в форме перевёрнутой цепной линии испытывает только деформации сжатия, но не излома. Мосты Горбатый мост имеет форму, близкую к цепной линии. Стоит заметить, что цепь подвесного моста имеет форму параболы, а не цепной линии. Это связано с тем, что пролёт моста намного тяжелее цепи.

Слайд #12

ЦИКЛОИДА Циклоида (от греч.— круглый) — плоская трансцендентная кривая. Циклоида определяется кинематически как траектория фиксированной точки производящей окружности радиуса r, катящейся без скольжения по прямой.

Слайд #13

Уравнения Примем горизонтальную ось координат в качестве прямой, по которой катится производящая окружность радиуса r. Циклоида описывается параметрическими уравнениями: Уравнение в декартовых координатах: Циклоида может быть получена как решение дифференциального уравнения: x = rt − rsint, y = r − rcost.

Слайд #14

У циклоиды масса любопытнейших свойств. Оказывается, например, что циклоида является кривой наибыстрейшего спуска. Иначе говоря, скатываясь по снежной горке, профиль которой выполнен в виде циклоиды, мы окажемся у основания горки быстрее, чем в случае другой формы горки. Траектория конца маятника, как и ограничивающие его боковые "щеки", представляют из себя циклоиду

Слайд #15

Архимедова спираль Архимедова спираль — плоская кривая, траектория точки M (см Рис. 1), которая равномерно движется вдоль луча OV с началом в O, в то время как сам луч OV равномерно вращается вокруг O. Другими словами, расстояние ρ = OM пропорционально углу поворота φ луча OV. Повороту луча OV на один и тот же угол соответствует одно и то же приращение ρ.

Слайд #16

Вычисление длины дуги Архимедовой спирали Бесконечно малый отрезок дуги dl равен (см. Рис.): , где dρ — приращение радиуса ρ, при приращении угла φ на dφ. Для бесконечно малого приращения угла dφ, справедливо: . Поэтому: так как ρ = kφ и dρ = kdφ или . Длина дуги L равна интегралу от dl по dφ в пределах от 0 до φ: .

Слайд #17

Спирали в природе и технике Спирали в нашей жизни встречаются на каждом углу от простых вентиляторов и тисков, до паутины и винтов моторных лодок.

Слайд #18

Спирали в природе и технике

Слайд #19

Спирали в природе и технике

Слайд #20

Спиральные галактики

Слайд #21

Гиперболическая спираль — плоская трансцендентная кривая. Уравнение гиперболической спирали в полярной системе координат является обратным для уравнения Архимедовой спирали и записывается так:

Слайд #22

Уравнение гиперболической спирали в декартовых координатах: Параметрическая запись уравнения: Спираль имеет асимптоту y = a: при t стремящемся к нулю ордината стремится к a, а абсцисса уходит в бесконечность:

Слайд #23

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ - плоская трансцендентная кривая, пересекающая все радиусы-векторы под одним и тем же углом (рис.1). Уравнение в полярных координатах: При a > 1 и логарифмическая спираль развертывается против хода часовой стрелки, при спираль закручивается по ходу часовой стрелки, стремясь к своей асимптотической точке O. Если a < 1, логарифмическая спираль закручивается против хода часовой стрелки.

Слайд #24

Логарифмическая спираль относится к псевдоспиралям. Логарифмическая спираль переходит в себя при линейных преобразованиях плоскости: её Эволюта, подера – также логарифмическая спираль. При стереографической проекции плоскости на сферу логарифмическая спираль переходит в локсодромию. Логарифмическая спираль широко используется в технике:

Слайд #25

Логарифмическая спираль выполняет профиль вращающихся ножей и фриз, зубчатых передач и др. По логарифмической спирали очерчены некоторые раковины, по дугам, близким к логарифмической спирали, расположены семечки в подсолнухе, чешуйки в шишках и т.д.

Слайд #26

Клотоида или Спираль Корню — кривая, у которой кривизна изменяется линейно как функция длины дуги. Она используется как переходная дуга в дорожном строительстве. Когда участок дороги имеет форму клотоиды, руль поворачивается равномерно. Такая форма дороги позволяет преодолевать поворот без существенного снижения скорости. Клотоида применялась Корню для облегчения расчёта дифракции в прикладных задачах.

Слайд #27

Описывается параметрическими уравнениями где , где R — радиус неподвижной окружности, r — радиус катящейся окружности. Модуль величины k определяет форму гипоциклоиды. При k = 2 гипоциклоида представляет собой диаметр неподвижной окружности, при k = 4 является астроидой.

Слайд #28

Трохоида Трохоида (от греч. τροχοειδής — колесообразный) — плоская трансцендентная кривая, описываемая параметрическими уравнениями x = rt − hsint, y = r − hcost. Представляет собой траекторию точки, жёстко связанной с окружностью радиуса r, катящейся без скольжения по прямой (в приведённом примере такой прямой является горизонтальная ось координат). Расстояние точки от центра окружности — h. Если h = r трохоида переходит в циклоиду. При h > r трохоиду называют удлинённой циклоидой, а при h < r — укороченной циклоидой.

Слайд #29

Гипоциклоида Гипоциклоида (от греческих слов ὑπό — под, внизу и κύκλος — круг, окружность) — плоская кривая, образуемая точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности без скольжения.

Слайд #30

Эпициклоида Эпициклоида (от греч. ὲπί — на, над, при и κυκλος — круг, окружность) — плоская кривая, образуемая фиксированной точкой окружности, катящейся по другой окружности.

Слайд #31

Уравнения Если центр неподвижной окружности находится в начале координат, её радиус равен R, радиус катящейся по ней окружности равен r, то эпициклоида описывается параметрическими уравнениями относительно : где α — угол поворота эпициклоиды относительно центра неподвижной окружности, — параметр, но фактически это угол наклона отрезка между центрами к оси OX. Можно ввести величину , тогда уравнения предстанут в виде

Слайд #32

Применение Последнее уравнение выражает такое кинематическое свойство эпициклоиды: если дуга обычной эпициклоиды перекатывается без скольжения по прямой, то центр кривизны точки касания двигается по эллипсу; центр эллипса лежит в той точке прямой, через которую перекатывается вершина эпициклоиды.

Слайд #33

Информационные источники Литература 1. Большой энциклопедический словарь «Математика», Гл. редактор Ю.В. Прохоров, Научное изд-во «Большая Российская Энциклопедия», М.: 1998 2. Д.В. Клетеник Сборник задач по аналитической геометрии под ред. проф. Н.В.Ефимова, Государственное изд-во физико-математической литературы, М.: 1960 3. Математическая энциклопедия. Главный редактор И.М. Виноградов, т.3 – М.: «Советская энциклопедия», 1982 Интернет ресурсы: www.college.ru www.gee.ru