Презентация "Числовая окружность" 10 класс Мордкович

Слайд #1

Числовая окружность
10 класс
МБОУ СОШ №33 г. Калуги
Зилюкина Ольга Викторовна
Учитель математики

Слайд #2

Изучая курс алгебры, мы часто имели дело с алгебраическими функциями, т.е. функциями, с аналитической записи которых использовались алгебраические операции над числами и переменными (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение квадратного или кубического корня). Но математические модели реальных ситуаций часто бывают связаны с функциями другого типа, не алгебраическими. Мы познакомимся с представителями класса неалгебраических функций – тригонометрическими функциями.

Слайд #3

Понятие числовой окружности
Будем считать беговую дорожку стадиона окружностью, длина которой равна 400 м. Старт – точка 𝐴. Бегун из точки 𝐴 движется по окружности против часовой стрелки. Где он будет через 200 м, 400 м, 800 м, 1500 м? Где надо провести финишную черту, если он бежит марафонскую дистанцию 42 км 195 м?

Слайд #4

Понятие числовой окружности
Где он будет через 200 м?
Через 200 м бегун окажется в точке 𝐶, диаметрально противоположной точке 𝐴 (200 м – это длина половины беговой дорожки, т.е. длина половины окружности)

Слайд #5

Понятие числовой окружности
Где он будет через 400 м?
Через 400 м и 800 м бегун окажется в точке 𝐴 (400 м – это длина беговой дорожки, т.е. длина окружности)

Слайд #6

Понятие числовой окружности
Где он будет через 1500 м?
Через 1500м бегун окажется в точке 𝐷 (1500 м – это три «круга» (1200 м) + еще 300м, т.е. 3 4 беговой дорожки).

Слайд #7

Понятие числовой окружности
Где находится финиш марафонской дистанции 42 км 195 м?
Спортсмен преодолеет путь 42 км, пробежав 105 кругов и до финиша останется 195 м, это на 5 м меньше длины половины окружности. Финиш марафонской дистанции будет в точке 𝑀, расположенной около точки 𝐶.
𝑀

Слайд #8

Понятие числовой окружности
По беговой дорожке стадиона можно пробежать путь любой длины.
+
−
Любому положительному числу соответствует какая-то точка – «финиш дистанции».
Любому отрицательному числу можно поставить в соответствие точку на окружности: просто надо заставить спортсмена бежать в противоположном направлении, т.е. стартовать из точки 𝐴 в направлении по часовой стрелке.

Слайд #9

Понятие числовой окружности
Единичная или тригонометрическая окружность – окружность радиуса, равному 1 единичному отрезку, в прямоугольной системе координат хОу с центром в начале координат.
𝐿=2𝜋𝑅,
𝑅=1
𝐿=2𝜋
∪𝐴𝐵 - 𝐼 четверть
∪𝐵𝐶 - 𝐼𝐼 четверть
∪𝐶𝐷 - 𝐼𝐼𝐼 четверть
∪𝐷𝐴 - 𝐼𝑉 четверть
Длина половины окружности равна 𝜋, а длина четверти окружности равна 𝜋 2
𝐼
𝐼𝐼
𝐼𝐼𝐼
𝐼𝑉

Слайд #10

1) Если 𝑡>0, то двигаясь из точки 𝐴 в направлении против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной 𝑡; конечная точка 𝑀 этого пути и будет искомой точкой 𝑀=𝑀(𝑡);

Понятие числовой окружности
𝑀
𝑡>0
𝑡<0
2) Если 𝑡<0, то двигаясь из точки 𝐴 в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной 𝑡 ; конечная точка 𝑀 этого пути и будет искомой точкой 𝑀=𝑀(𝑡);
3) Если 𝑡=0 поставим в соответствие точку 𝐴: 𝐴=𝐴(0).
Поставим в соответствие каждому действительному числу 𝑡 точку 𝑀 по следующему правилу:

Слайд #11

Отыскание точек на числовой окружности
Пример 1. Найти на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу: 𝜋 2 , 𝜋, 3𝜋 2 , 2𝜋, 7𝜋 2 , 9𝜋, − 3𝜋 2 .
𝜋 2
𝜋
3𝜋 2
2𝜋
7𝜋 2 =2𝜋+ 3𝜋 2
7𝜋 2
9𝜋=4∙2𝜋+𝜋
− 3𝜋 2
9𝜋

Слайд #12

Пример 2. Найти на числовой окружности точки, соответствующие числам: 𝜋 6 , 𝜋 4 , 𝜋 3 .
Отыскание точек на числовой окружности
𝑃
𝐾
𝐾=𝐾 𝜋 6
𝑃=𝑃 𝜋 3
𝑀=𝑀 𝜋 4
𝑀
𝜋 6
𝜋 3
𝜋 4

Слайд #13

Пример 3. Найти на числовой окружности точки, соответствующие числам: − 5𝜋 4 , 7𝜋 6 , 5𝜋 3
Отыскание точек на числовой окружности
𝑀
− 5𝜋 4
𝐾
7𝜋 6
𝑃
𝐿
𝑁
5𝜋 3
𝑆
𝐿 − 5𝜋 4
𝑁 7𝜋 6
𝑆 5𝜋 3

Слайд #14

Макеты числовых окружностей

Слайд #15

«нехорошие» числа
1
2
3

Слайд #16

Макеты числовой окружности
𝑴 𝒕 =𝑴 𝒕+𝟐𝝅𝒌 ,𝒌∈𝒁

Слайд #17

Дуги числовой окружности
Промежутки на числовой прямой можно записывать аналитически с помощью двойных неравенств.
𝟑;𝟓
(−𝟒;𝟎)
𝟑≤𝒙≤𝟓
−𝟒<𝒙<𝟎
или
или
На окружности роль отрезков или интервалов играют дуги. Их тоже можно записывать аналитически с помощью двойных неравенств, но при этом, естественно, следует учитывать, что в отличие от числовой прямой, где каждая точка имеет одно числовое имя, на числовой окружности у точки бесконечно много имён. Мы будем рассматривать, как составляется аналитическая запись дуги числовой окружности.

Слайд #18

Пример 4. найти все числа 𝑡, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие заданной дуге:
а) 𝐴𝐵; б) 𝐵𝐴; в) 𝐵𝐷; г) 𝐷𝐵; д) 𝐾𝑀; е) 𝑀𝐾.
(𝐾 и 𝑀 – середины 𝐼 и 𝐼𝐼𝐼 четвертей)
Дуги числовой окружности
а) 0≤𝑡≤ 𝜋 2 ,
2𝜋𝑘≤𝑡≤ 𝜋 2 +2𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍
б) π 2 ≤𝑡≤2𝜋,
𝜋 2 +2𝜋𝑘≤𝑡≤2𝜋+2𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍

Слайд #19

Пример 4. найти все числа 𝑡, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие заданной дуге:
а) 𝐴𝐵; б) 𝐵𝐴; в) 𝐵𝐷; г) 𝐷𝐵; д) 𝐾𝑀; е) 𝑀𝐾.
(𝐾 и 𝑀 – середины 𝐼 и 𝐼𝐼𝐼 четвертей)
Дуги числовой окружности
в) 𝜋 2 ≤𝑡≤ 3𝜋 2 ,
𝜋 2 +2𝜋𝑘≤𝑡≤ 3𝜋 2 +2𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍
г) − π 2 ≤𝑡≤ 𝜋 2 ,
− 𝜋 2 +2𝜋𝑘≤𝑡≤ 𝜋 2 +2𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍

Слайд #20

Пример 4. найти все числа 𝑡, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие заданной дуге:
а) 𝐴𝐵; б) 𝐵𝐴; в) 𝐵𝐷; г) 𝐷𝐵; д) 𝐾𝑀; е) 𝑀𝐾.
(𝐾 и 𝑀 – середины 𝐼 и 𝐼𝐼𝐼 четвертей)
Дуги числовой окружности
в) 𝜋 4 ≤𝑡≤ 5𝜋 4 ,
𝜋 4 +2𝜋𝑘≤𝑡≤ 5𝜋 4 +2𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍
г) − 3π 4 ≤𝑡≤ 𝜋 4 ,
− 3𝜋 4 +2𝜋𝑘≤𝑡≤ 𝜋 4 +2𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍
𝐾
𝑀