Презентация "Числовая окружность на координатной плоскости" 10 класс Мордкович

Слайд #1

Числовая окружность на координатной плоскости
10 класс
МБОУ СОШ №33 г. Калуги
Зилюкина Ольга Викторовна
Учитель математики

Слайд #2

Декартовы координаты точек числовой окружности
Для любой точки 𝑀(𝑥;𝑦) числовой окружности выполняются неравенства:
−1≤𝑥≤1;−1≤𝑦≤1.
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐴(1;0)
𝐵(0;1)
𝐶(−1;0)
𝐷(0;−1)
Уравнение числовой окружности имеет вид
𝑥 2 + 𝑦 2 =1.
𝑦
𝑥
0
1
1
−1
−1
𝐼
𝐼𝐼
𝐼𝐼𝐼
𝐼𝑉
𝒙>𝟎
𝒚>𝟎
𝒙<𝟎
𝒚>𝟎
𝒙<𝟎
𝒚<𝟎
𝒙>𝟎
𝒚<𝟎

Слайд #3

∆𝑂 𝑀 1 𝑃 – прямоугольный
∪𝐴 𝑀 1 составляет половину ∪𝐴𝐵
∠𝑃𝑂 𝑀 1 =45°
Декартовы координаты точек числовой окружности
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑀 1 𝜋 4
𝑦
𝑥
0
1
1
−1
−1
𝑂
𝑃
45°
∆𝑂 𝑀 1 𝑃 – равнобедренный прямоугольный, значит 𝑂𝑃=𝑃 𝑀 1 , т.е. у точки 𝑀 1 абсцисса и ордината равны (𝑥=𝑦).
Координаты точки 𝑀 1 𝑥;𝑦 удовлетворяют уравнению окружности 𝑥 2 + 𝑦 2 =1.
𝑥=𝑦, 𝑥 2 + 𝑦 2 =1 𝑥>0, 𝑦>0
Решением является пара чисел 2 2 ; 2 2
𝑀 1 𝜋 4 = 2 2 ; 2 2

Слайд #4

𝑀 1 𝜋 4 означает, что точка 𝑀 1 числовой окружности соответствует числу 𝜋 4 .
𝑀 1 2 2 ; 2 2 означает, что точка 𝑀 1 имеет соответствующие координаты в прямоугольной системе координат 𝑥𝑂𝑦.
𝑥;𝑦 − декартовы координаты точки 𝑀
𝑡 − «криволинейная» координата точки 𝑀 на числовой окружности.

𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑀 1 𝜋 4
𝑦
𝑥
0
1
1
−1
−1
𝑂
𝑃
45°
Декартовы координаты точек числовой окружности

Слайд #5

𝑀 2 3𝜋 4 - середина второй четверти, 𝑥<0, 𝑦>0:
𝑀 2 3𝜋 4 = − 2 2 ; 2 2
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑀 1 𝜋 4
𝑦
𝑥
0
1
1
−1
−1
𝑂
𝑃
45°
Декартовы координаты точек числовой окружности
𝑀 2 3𝜋 4
𝑀 3 5𝜋 4
𝑀 4 7𝜋 4
𝑀 3 5𝜋 4 - середина третьей четверти, 𝑥<0, 𝑦<0:
𝑀 3 5𝜋 4 = − 2 2 ;− 2 2
𝑀 4 7𝜋 4 - середина четвёртой четверти, 𝑥>0, 𝑦<0:
𝑀 4 7𝜋 4 = 2 2 ;− 2 2

Слайд #6

Декартовы координаты точек числовой окружности

Слайд #7

∆𝑂 𝑀 1 𝑃 – прямоугольный
Гипотенуза 𝑂 𝑀 1 =1
∪𝐴 𝑀 1 составляет треть ∪𝐴𝐵
∠𝑃𝑂 𝑀 1 =30°
Декартовы координаты точек числовой окружности
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑀 1 𝜋 6
𝑦
𝑥
0
1
1
−1
−1
𝑂
𝑃
30°
Известно, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.
𝑀 1 𝑃= 1 2 , ордината точки 𝑀 1 :𝑦= 1 2 (в 𝐼 четверти 𝑦>0).
Абсциссу точки 𝑀 1 найдем с помощью теоремы Пифагора:
𝑥 2 =𝑂 𝑃 2 =𝑂 𝑀 1 2 − 𝑀 1 𝑃 2 = 1 2 − 1 2 2 =1− 1 4 = 3 4
𝑥= 3 2 , (в 𝐼 четверти 𝑥>0).
𝑀 1 𝜋 6 = 𝑀 1 3 2 ; 1 2

Слайд #8

∆ 𝑀 2 𝑂𝐾=∆ 𝑀 1 𝑂𝑃
𝑀 2 𝜋 3 = 𝑀 2 1 2 ; 3 2
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑀 1 𝜋 6
𝑦
𝑥
0
1
1
−1
−1
𝑂
𝑃
30°
Декартовы координаты точек числовой окружности
𝑀 2 𝜋 3
𝐾
𝑀 8 11𝜋 6
𝑀 7 5𝜋 3
𝑀 3 2𝜋 3
𝑀 4 5𝜋 6
𝑀 6 4𝜋 3
𝑀 5 7𝜋 6
𝑀 3 2𝜋 3 = 𝑀 3 − 1 2 ; 3 2
𝑀 4 5𝜋 6 = 𝑀 4 − 3 2 ; 1 2
𝑀 5 7𝜋 6 = 𝑀 5 − 3 2 ;− 1 2
𝑀 6 4𝜋 3 = 𝑀 6 − 1 2 ;− 3 2
𝑀 7 5𝜋 3 = 𝑀 7 1 2 ;− 3 2
𝑀 8 5𝜋 6 = 𝑀 8 3 2 ;− 1 2 ;

Слайд #9

Декартовы координаты точек числовой окружности

Слайд #10

Пример 1. Найти координаты точек числовой окружности:
а) 𝑃 1 45𝜋 4 ; б) 𝑃 2 − 37𝜋 3 ; в) 𝑃 3 45𝜋 ; г) 𝑃 4 −18𝜋 .
Решение. Во всех четырёх случаях воспользуемся утверждением: числам 𝑡 и 𝑡+2𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍 соответствует одна и та же точка числовой окружности.
а) 45𝜋 4 = 10+ 5 4 ∙𝜋=10𝜋+ 5𝜋 4 = 5𝜋 4 +2𝜋∙5, значит 𝑃 1 45𝜋 4 = 𝑃 1 − 2 2 ;− 2 2
б)− 37𝜋 3 =− 12+ 1 3 ∙𝜋=−12𝜋− 𝜋 3 =− 𝜋 3 +2𝜋∙(−6), значит
𝑃 2 − 37𝜋 3 = 𝑃 2 1 2 ;− 3 2
в) 45𝜋=44π+𝜋=𝜋+2𝜋∙22, значит 𝑃 3 45𝜋 = 𝑃 3 −1;0
г) −18𝜋=0+2π∙(−9), значит 𝑃 4 −18𝜋 = 𝑃 4 1;0
Декартовы координаты точек числовой окружности

Слайд #11

Отыскание на числовой окружности решений уравнения
Пример 2. Найти на числовой окружности точки с ординатой 𝑦= 1 2 и записать, каким числам 𝑡 они соответствуют.
Решение. Прямая 𝑦= 1 2 пересекает числовую окружность в точках 𝑀 и 𝑃.
𝑦
𝑥
0
1
1
−1
−1
𝑂
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
Точка 𝑀 соответствует числу 𝜋 6 , а значит, и любому числу вида 𝜋 6 +2𝜋𝑘.
Точка 𝑃 соответствует числу 5𝜋 6 , а значит, и любому числу вида 5𝜋 6 +2𝜋𝑘.
В результате получили две серии значений: 𝜋 6 +2𝜋𝑘, 5𝜋 6 +2𝜋𝑘.
Ответ: t= 𝜋 6 +2𝜋𝑘,𝑡= 5𝜋 6 +2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
𝒚= 𝟏 𝟐
𝑀
𝑃

Слайд #12

Отыскание на числовой окружности решений уравнения
Пример 3. Найти на числовой окружности точки с абсциссой 𝑥=− 2 2 и записать, каким числам 𝑡 они соответствуют.
Решение. Прямая 𝑥=− 2 2 пересекает числовую окружность в точках 𝑀 и 𝑃.
𝑦
𝑥
0
1
1
−1
−1
𝑂
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
Точка 𝑀 соответствует числу 3𝜋 4 , а значит, и любому числу вида 3𝜋 4 +2𝜋𝑘.
Точка 𝑃 соответствует числу 5𝜋 4 , а значит, и любому числу вида 5𝜋 4 +2𝜋𝑘.
В результате получили две серии значений:
3𝜋 4 +2𝜋𝑘, 5𝜋 4 +2𝜋𝑘.
Ответ: t= 3𝜋 4 +2𝜋𝑘,𝑡= 5𝜋 4 +2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
𝒙=− 𝟐 𝟐
𝑀
𝑃

Слайд #13

Отыскание на числовой окружности решений уравнения
Пример 3. Найти на числовой окружности точки с абсциссой 𝑥=− 2 2 и записать, каким числам 𝑡 они соответствуют.
Решение. Прямая 𝑥=− 2 2 пересекает числовую окружность в точках 𝑀 и 𝑃.
𝑦
𝑥
0
1
1
−1
−1
𝑂
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
Точка 𝑀 соответствует числу 3𝜋 4 , а значит, и любому числу вида 3𝜋 4 +2𝜋𝑘.
Точка 𝑃 соответствует числу − 3𝜋 4 , а значит, и любому числу вида − 3𝜋 4 +2𝜋𝑘.
В результате получили две серии значений:
− 3𝜋 4 +2𝜋𝑘, 3𝜋 4 +2𝜋𝑘.
Ответ: t=± 3𝜋 4 +2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
𝒙=− 𝟐 𝟐
𝑀
𝑃

Слайд #14

Отыскание на числовой окружности решений неравенства
Пример 4. Найти на числовой окружности точки с ординатой 𝑦> 1 2 и записать, каким числам 𝑡 они соответствуют.
Решение. Прямая 𝑦= 1 2 пересекает числовую окружность в точках 𝑀 и 𝑃.
Неравенству 𝑦> 1 2 соответствует точки открытой дуги 𝑀𝑃, т.е. дуги без концов 𝑀 и 𝑃.
Дуга 𝑀𝑃 – дуга с началом в точке 𝑀 и концом в точке 𝑃 при движении по окружности против часовой стрелки.
𝑦
𝑥
0
1
1
−1
−1
𝑂
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝒚= 𝟏 𝟐
𝑀
𝑃
Главные имена точек 𝑀 и 𝑃 соответственно 𝜋 6 и 5𝜋 6 .
Значит, аналитическая запись дуги 𝑀𝑃 имеет вид
𝜋 6 +2𝜋𝑘<𝑡< 5𝜋 6 +2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.

Слайд #15

Отыскание на числовой окружности решений неравенства
Пример 5. Найти на числовой окружности точки с ординатой 𝑦< 1 2 и записать, каким числам 𝑡 они соответствуют.
Решение. Прямая 𝑦= 1 2 пересекает числовую окружность в точках 𝑀 и 𝑃.
Неравенству 𝑦> 1 2 соответствует точки открытой дуги 𝑃𝑀, т.е. дуги без концов 𝑀 и 𝑃.
Дуга 𝑃𝑀 – дуга с началом в точке 𝑃 и концом в точке 𝑀 при движении по окружности против часовой стрелки.
𝑦
𝑥
0
1
1
−1
−1
𝑂
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝒚= 𝟏 𝟐
𝑀
𝑃
Главные имена точек 𝑃 и 𝑀 соответственно − 7𝜋 6 и 𝜋 6 .
Значит, аналитическая запись дуги 𝑃𝑀 имеет вид
− 7𝜋 6 +2𝜋𝑘<𝑡< 𝜋 6 +2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.

Слайд #16

Отыскание на числовой окружности решений неравенства
Пример 5. Найти на числовой окружности точки с абсциссой𝑥≥− 2 2 и записать, каким числам 𝑡 они соответствуют.
Решение. Прямая 𝑥=− 2 2 пересекает числовую окружность в точках 𝑀 и 𝑃.
Неравенству 𝑥≥− 2 2 соответствует точки открытой дуги 𝑃𝑀.
Дуга 𝑃𝑀 – дуга с началом в точке 𝑃 и концом в точке 𝑀 при движении по окружности против часовой стрелки.
𝑦
𝑥
0
1
1
−1
−1
𝑂
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
Главные имена точек 𝑃 и 𝑀 соответственно − 3𝜋 4 и 3𝜋 4 .
Значит, аналитическая запись дуги 𝑃𝑀 имеет вид
− 3𝜋 4 +2𝜋𝑘≤𝑡≤ 3𝜋 4 +2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
𝒙=− 𝟐 𝟐
𝑀
𝑃

Слайд #17

Отыскание на числовой окружности решений неравенства
Пример 5. Найти на числовой окружности точки с абсциссой 𝑥<− 2 2 и записать, каким числам 𝑡 они соответствуют.
Решение. Прямая 𝑥=− 2 2 пересекает числовую окружность в точках 𝑀 и 𝑃.
Неравенству 𝑥<− 2 2 соответствует точки открытой дуги 𝑀𝑃.
Дуга 𝑀𝑃 – дуга с началом в точке 𝑀 и концом в точке 𝑃 при движении по окружности против часовой стрелки.
𝑦
𝑥
0
1
1
−1
−1
𝑂
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
Главные имена точек 𝑀 и 𝑃 соответственно 3𝜋 4 и 5𝜋 4 .
Значит, аналитическая запись дуги 𝑀𝑃 имеет вид
3𝜋 4 +2𝜋𝑘<𝑡< 5𝜋 4 +2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
𝒙=− 𝟐 𝟐
𝑀
𝑃