Презентация "Синус и косинус. Тангенс и котангенс" 10 класс Мордкович

Слайд #1

Синус и косинус. Тангенс и котангенс
10 класс
МБОУ СОШ №33 г. Калуги
Зилюкина Ольга Викторовна
Учитель математики

Слайд #2

Определение синуса и косинуса
Определение 1. Если точка 𝑀 числовой окружности соответствует числу 𝑡, то абсциссу точки 𝑀 называют косинусом числа 𝒕 ( 𝐜𝐨𝐬 𝒕 ), а ординату точки 𝑀 называют синусом числа 𝒕 𝐬𝐢𝐧 𝒕 .
если 𝑀 𝑡 =𝑀 𝑥;𝑦 , то
𝑥= cos 𝑡
𝑦= sin 𝑡
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑀 𝑡
𝑦
𝑥
1
1
−1
−1
𝑂
cos 𝑡
sin 𝑡
−1≤ cos 𝑡 ≤1
−1≤ sin 𝑡 ≤1
𝐼
𝐼𝐼
𝒙>𝟎
𝒚>𝟎
𝒙<𝟎
𝒚>𝟎
𝒙<𝟎
𝒚<𝟎
𝒙>𝟎
𝒚<𝟎
𝐼𝐼𝐼
𝐼𝑉
cos 2 𝑡 + sin 2 𝑡 =1

Слайд #3

Определение синуса и косинуса

Слайд #4

Определение синуса и косинуса
Пример 1. Вычислить cos 𝑡 и sin 𝑡 , если:
а) 𝑡= 45𝜋 4 ; б) 𝑡=− 37𝜋 3 ; в) 𝑡=45𝜋; г) 𝑡=−18𝜋.
Решение.
а) 45𝜋 4 =10𝜋+ 5𝜋 4 = 5𝜋 4 +2𝜋∙5, значит
cos 45𝜋 4 = cos 5𝜋 4 =− 2 2 ; sin 45𝜋 4 = sin 5𝜋 4 =− 2 2
б)− 37𝜋 3 =−12𝜋− 𝜋 3 =− 𝜋 3 +2𝜋∙(−6), значит
cos − 37𝜋 3 = 1 2 ; sin − 37𝜋 3 =− 3 2
в) 45𝜋=44π+𝜋=𝜋+2𝜋∙22, значит
cos 45𝜋 =−1; sin 45𝜋 =0
г) −18𝜋=0+2π∙(−9), значит
cos −18𝜋 =1; sin (−18𝜋 )=0

Слайд #5

Пример 2. Решить уравнение sin 𝑡 = 1 2 .
Решение. Учтём, что sin 𝑡 − ордината точки 𝑀 𝑡 числовой окружности. На числовой окружности найдём точку с ординатой 𝑦= 1 2 и запишем, каким числам 𝑡 они соответствуют:
𝑡= 𝜋 6 +2𝜋𝑘, 𝑡= 5𝜋 6 +2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
Определение синуса и косинуса
Пример 3. Решить уравнение cos 𝑡 =− 2 2 .
Решение. Учтём, что cos 𝑡 − абсцисса точки 𝑀 𝑡 числовой окружности. На числовой окружности найдём точку с абсциссой 𝑥=− 2 2 и запишем, каким числам 𝑡 они соответствуют:
𝑡= 3𝜋 4 +2𝜋𝑘, 𝑡= 5𝜋 4 +2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
или 𝑡=± 3𝜋 4 +2𝜋𝑘 .

Слайд #6

Пример 4. Решить уравнения:
а) sin 𝑡 =0; б) sin 𝑡 =1; в) sin 𝑡 =−1.
Решение. а) Найдем на числовой окружности точки с ординатой 𝑦=0 и запишем, каким числам 𝑡 они соответствуют. Ординату 0 имеют точки 𝐴 и 𝐶, они соответствуют числам 0 (точка 𝐴), 𝜋 (точка 𝐶), 2𝜋 (точка 𝐴), 3𝜋 (точка 𝐶), −𝜋 (точка 𝐶), −2𝜋 (точка 𝐴) и т.д. Точки 𝐴 и 𝐶 соответствуют числам 𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
𝑡=𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
б) Ординату 𝑦=1 имеет точка 𝐵 числовой окружности, она соответствует числу 𝜋 2 и всем числам вида 𝜋 2 +2𝜋𝑘.
𝑡= 𝜋 2 +2𝜋𝑘,𝑘∈𝑍.
в) Ординату 𝑦=−1 имеет точка 𝐷 числовой окружности, она соответствует числу − 𝜋 2 и всем числам вида − 𝜋 2 +2𝜋𝑘.
𝑡=− 𝜋 2 +2𝜋𝑘,𝑘∈𝑍.

Определение синуса и косинуса

Слайд #7

Пример 4. Решить уравнения:
а) cos 𝑡 =0; б) cos 𝑡 =1; в) cos 𝑡 =−1.
Решение. а) Найдем на числовой окружности точки с абсциссой 𝑥=0 и запишем, каким числам 𝑡 они соответствуют. Абсциссу 0 имеют точки 𝐵 и 𝐷, они соответствуют числам 𝜋 2 (точка𝐵), 3𝜋 2 (точка 𝐷), 5𝜋 2 (точка 𝐵), 7𝜋 2 (точка 𝐷), − 𝜋 2 (точка 𝐷), − 3𝜋 2 (точка 𝐵) и т.д. Точки 𝐵 и 𝐷 соответствуют числам 𝜋 2 +𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
𝑡= 𝜋 2 +𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
б) Абсциссу 𝑥=1 имеет точка 𝐴 числовой окружности, она соответствует числу 0 и всем числам вида 0+2𝜋𝑘.
𝑡=2𝜋𝑘,𝑘∈𝑍.
в) Абсциссу 𝑥=−1 имеет точка 𝐶 числовой окружности, она соответствует числу 𝜋 и всем числам вида 𝜋+2𝜋𝑘.
𝑡=𝜋+2𝜋𝑘,𝑘∈𝑍.

Определение синуса и косинуса

Слайд #8

Пример 6. Решить уравнения:
а) cos 𝑡 = 2 5 ; б) sin 𝑡 =−0,3.
Решение. а) Найдём на числовой окружности точки с абсциссой 2 5 и запишем, каким числам 𝑡 они соответствуют.
Определение синуса и косинуса
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑦
𝑥
1
1
−1
−1
𝑂
𝒙= 𝟐 𝟓
𝑀
𝑃
Абсциссу 𝑥= 2 5 имеют точки 𝑀 и 𝑃, но каким числам 𝑡 они соответствуют, мы не знаем. Решить это тригонометрическое уравнение мы пока не можем.
б) Найдём на числовой окружности точки с ординатой −0,3 и запишем, каким числам 𝑡 они соответствуют.
Ординату 𝑦=−0,3 имеют точки 𝐿 и 𝑁, но каким числам 𝑡 они соответствуют, мы не знаем. Решить это тригонометрическое уравнение мы пока не можем.
𝒚=−𝟎,𝟑
𝑁
𝐿

Слайд #9

Пример 7. Решить неравенство sin 𝑡 > 1 2 .
Решение. Учтём, что sin 𝑡 − ордината точки 𝑀 𝑡 числовой окружности. На числовой окружности найдём точку с ординатой 𝑦> 1 2 и запишем, каким числам 𝑡 они соответствуют:
Ответ: 𝜋 6 +2𝜋𝑘< 𝑡< 5𝜋 6 +2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
Определение синуса и косинуса
Пример 8. Решить неравенство cos 𝑡 ≥− 2 2 .
Решение. Учтём, что cos 𝑡 − абсцисса точки 𝑀 𝑡 числовой окружности. На числовой окружности найдём точку с абсциссой 𝑥≥− 2 2 и запишем, каким числам 𝑡 они соответствуют:
Ответ: − 3𝜋 4 +2𝜋𝑘≤ 𝑡≤ 3𝜋 4 +2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.

Слайд #10

Пример 9. Решить систему неравенств sin 𝑡 ≤ 1 2 , cos 𝑡 ≥− 2 2 .
Решение. Сначала изобразим решения заданной системы неравенств на числовой окружности. Найдём точки, координаты которых удовлетворяют условиям: 𝑦≤ 1 2 , 𝑥≥− 2 2 .
Определение синуса и косинуса
Первому неравенству удовлетворяют точки дуги 𝑁𝑀, а второму – точки дуги 𝑃𝐾.
Нас интересуют общие точки обеих дуг – это тоски дуги 𝑃𝑀:
− 3𝜋 4 +2𝜋𝑘≤𝑡≤ 𝜋 6 +2𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑦
𝑥
1
1
−1
−1
𝑂
𝒙=− 𝟐 𝟐
𝐾
𝑃
𝒚= 𝟏 𝟐
𝑀
𝑁

Слайд #11

Пример 10. Какое из двух чисел больше: sin 1 или sin 2 ?
Решение. Отметим на числовой окружности точки 1 и 2. Расстояние от точки 1 до точки 𝜋 2 (по окружности) примерно равно 0,57 (поскольку 𝜋 2 ≈1,57), а расстояние от точки 2 до точки до точки 𝜋 2 примерно равно 0,43. Точка 2 находится ближе к точке 𝜋 2 , чем точка 1, значит, её ордината больше: sin 1 > sin 2 .
Определение синуса и косинуса
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
1
𝑦
𝑥
0
1
1
−1
−1
𝑂
2

Слайд #12

Пример 11. расположить в порядке возрастания числа sin 3 , cos 4 , sin 7 , cos 7 .
Решение. Отметим на числовой окружности точки 3, 4, 7.
Определение синуса и косинуса
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
7
𝑦
𝑥
0
1
1
−1
−1
𝑂
3
4
Заметим, что sin 3 , sin 7 , cos 7 - положительные числа, а cos 4 - отрицательное число, cos 4 - наименьшее из данных чисел.
Число 7 отличается от числа 2𝜋 (точка 𝐴) примерно на 0,72 (поскольку 2𝜋≈6,28), а расстояние (по окружности) от точки 𝐴 до середины первой четверти равно 𝜋 4 , т.е. примерно 0,785. Значит точка 7 располагается чуть ниже середины первой четверти, а потому её ордината меньше её абсциссы: sin 7 < cos 7 .
Точка 3 находится по отношению к точке 𝐶(𝜋) ближе, чем точка 7 по отношению к точке 𝐴(2𝜋), а потому ордината точки 3 меньше ординаты точки 7: sin 3 < sin 7 .
cos 4 < sin 3 < sin 7 < cos 7

Слайд #13

Свойство 1. Для любого числа 𝑡 справедливы равенства:
свойство синуса и косинуса
cos (−𝑡) = cos 𝑡
sin (−𝑡) =− sin 𝑡
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑀 𝑡
𝑦
𝑥
0
1
1
−1
−1
𝑂
𝑃 −𝑡
Доказательство. Если числу 𝑡 соответствует точка 𝑀 числовой окружности, то числу −𝑡 соответствует точка 𝑃, симметричная точке 𝑀 относительно горизонтального диаметра окружности, т.е. симметричная точке 𝑀 относительно оси абсцисс.
У таких точек одна и та же абсцисса: cos (−𝑡) = cos 𝑡 . У таких точек равные по модулю, но противоположные по знаку ординаты: sin (−𝑡) =− sin 𝑡 .
sin − 𝜋 6 =− sin 𝜋 6 =− 1 2
cos − 𝜋 4 = cos 𝜋 4 = 2 2

Слайд #14

Свойство 2. Для любого значения 𝑡 справедливы равенства:
свойство синуса и косинуса
cos (𝑡+2𝜋𝑘) = cos 𝑡
sin (𝑡+2𝜋𝑘) = sin 𝑡
Свойство 3. Для любого значения 𝑡 справедливы равенства:
cos (𝑡+𝜋) =− cos 𝑡
sin (𝑡+𝜋) =− sin 𝑡
sin 7𝜋 6 = sin 𝜋 6 +𝜋 =− sin 𝜋 6 == 1 2
cos 5𝜋 4 = cos 𝜋 4 +𝜋 =− cos 𝜋 4 =− 2 2

Слайд #15

Доказательство. Если числу 𝑡 соответствует точка 𝑀 числовой окружности, то числу 𝑡+𝜋 соответствует точка 𝑃, симметричная точке 𝑀 относительно центра окружности – начала координат.
свойство синуса и косинуса
Свойство 3. Для любого значения 𝑡 справедливы равенства:
cos (𝑡+𝜋) =− cos 𝑡
sin (𝑡+𝜋) =− sin 𝑡
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑀 𝑡
𝑦
𝑥
0
1
1
−1
−1
𝑂
𝑃 𝑡+𝜋
У таких точек абсциссы и ординаты равны по модулю, но противоположны по знаку:
cos (𝑡+𝜋) =− cos 𝑡
sin (𝑡+𝜋) =− sin 𝑡

Слайд #16

Определение 2. Отношение синуса числа 𝑡 к косинусу того же числа называют тангенсом числа 𝒕 ( 𝐭𝐠 𝒕 ). Отношение косинуса числа 𝑡 к синусу того же числа называют котангенсом числа 𝒕 ( 𝐜𝒕𝒈 𝒕 ):
Определение тангенса и котангенса
tg 𝑡 = sin 𝑡 cos 𝑡 , где 𝑡≠ 𝜋 2 +𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍
ctg 𝑡 = cos 𝑡 sin 𝑡 , где 𝑡≠𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍

Слайд #17

Пример 12. Вычислить:
а) tg 𝜋 4 ; б) tg 5𝜋 4 ; в) ctg 𝜋 2 ; г) ctg 5𝜋 6 .
Решение. а) sin 𝜋 4 = 2 2 ; cos 𝜋 4 = 2 2 ; tg 𝜋 4 = sin 𝜋 4 cos 𝜋 4 = 2 2 : 2 2 =1
б) sin 5𝜋 3 =− 3 2 , cos 5𝜋 3 = 1 2 ; tg 5𝜋 3 =− 3 2 : 1 2 =− 3
в) sin 𝜋 2 = 1 2 , cos 𝜋 2 =0; ctg 𝜋 2 =0:1=0
г) sin 5𝜋 6 = 1 2 , cos 5𝜋 6 =− 3 2 ; ctg 5𝜋 6 = − 3 2 : 1 2 =− 3
Определение тангенса и котангенса

Слайд #18

Определение тангенса и котангенса

Слайд #19

Пример 13. расположить в порядке возрастания числа 1, sin 1 , cos 1 , tg 1 .
Решение. Отметим на числовой окружности точку 1: она расположена между точками 𝜋 4 и 𝜋 3 , ближе к точке 𝜋 3 .
Определение тангенса и котангенса
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝜋 3
𝑦
𝑥
0
1
1
−1
−1
𝑂
𝜋 4
У этой точки абсцисса и ордината положительны, причем абсцисса меньше ординаты: cos 1 < sin 1 , оба эти числа меньше 1.
Что касается tg 1 : ордината точки 1 больше ординаты точки 𝜋 4 , а абсцисса точки 1 меньше абсциссы точки 𝜋 4 : sin 𝜋 4 < sin 1 , cos 𝜋 4 > cos 1 .
tg 1 = sin 1 cos 1 > sin 𝜋 4 cos 1 > sin 𝜋 4 cos 𝜋 4 = tg 𝜋 4 =1
cos 1 < sin 1 <1< tg 1
1

Слайд #20

Свойство 4. Для любого допустимого значения 𝑡 справедливы равенства:
свойства тангенса и котангенса
tg −𝑡 =− tg 𝑡
ctg −𝑡 =− ctg 𝑡
Доказательство. Воспользуемся тем, что cos −𝑡 = cos 𝑡 , а sin −𝑡 =− sin 𝑡 :
tg −𝑡 = sin −𝑡 cos −𝑡 = − sin 𝑡 cos 𝑡 =− sin 𝑡 cos 𝑡 =− tg 𝑡
ctg −𝑡 = cos −𝑡 sin −𝑡 = cos 𝑡 − sin 𝑡 =− cos 𝑡 sin 𝑡 =− ctg 𝑡

Слайд #21

Свойство 5. Для любого допустимого значения 𝑡 справедливы равенства:
свойства тангенса и котангенса
tg 𝑡+𝜋 = tg 𝑡
ctg 𝑡+𝜋 = ctg 𝑡
Доказательство. Воспользуемся тем, что cos 𝑡+𝜋 =− cos 𝑡 , а sin 𝑡+𝜋 =− sin 𝑡 :
tg 𝑡+𝜋 = sin 𝑡+𝜋 cos 𝑡+𝜋 = − sin 𝑡 − cos 𝑡 = sin 𝑡 cos 𝑡 = tg 𝑡
ctg 𝑡+𝜋 = cos 𝑡+𝜋 sin 𝑡+𝜋 = − cos 𝑡 − sin 𝑡 = cos 𝑡 sin 𝑡 = ctg 𝑡
tg 𝑡+𝜋𝑘 = tg 𝑡 ;
ctg 𝑡+𝜋𝑘 = ctg 𝑡 , где 𝑘∈𝑍.

Слайд #22

Пример 14. Вычислить:
а) tg − 7𝜋 3 ; б) ctg 5𝜋 4 .
Решение. а) по свойству 4 выполняется равенство tg − 7𝜋 3 =− tg 7𝜋 3 ; так как 7𝜋 3 =2𝜋+ 𝜋 3 , то
− tg 7𝜋 3 =− tg 2𝜋+ 𝜋 3 =− tg 𝜋 3 =− 3
tg − 7𝜋 3 =− 3
б) ctg 5𝜋 4 = ctg 𝜋+ 𝜋 4 = ctg 𝜋 4 =1.
свойства тангенса и котангенса

Слайд #23

На координатной плоскости проведём касательную к числовой окружности в точке 𝐴 и будем считать это касательную числовой прямой, ориентированной так же как ось 𝑦 и с началом в точке 𝐴.
линии тангенсов и котангенсов
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑦
𝑥
0
1
1
−1
−1
𝑂
𝑀 𝑡
𝑃
𝐾
𝑀 1
𝑙
tg 𝑡
Пусть числу 𝑡 соответствует точка 𝑀 числовой окружности, принадлежащая первой четверти.
∆𝑂𝑀𝐾∾∆𝑂𝑃𝐴: 𝑀𝐾 𝑂𝐾 = 𝑃𝐴 𝑂𝐴 .
𝑀𝐾= sin 𝑡 , 𝑂𝐾= cos 𝑡 , 𝑂𝐴=1: sin 𝑡 cos 𝑡 = 𝑃𝐴 1 ,т.е. 𝑃𝐴= tg 𝑡
tg 𝑡 можно трактовать как координату точки 𝑃 на числовой прямой 𝑙. Та же точка 𝑃 характеризует значение тангенса для точки 𝑀 1 , диаметрально противоположной точке 𝑀.

Слайд #24

Пусть числу 𝑡 соответствует точка 𝑀 числовой окружности, принадлежащая второй четверти.
∆𝑂𝑀𝐾∾∆𝑂𝑃𝐴: 𝑀𝐾 𝑂𝐾 = 𝑃𝐴 𝑂𝐴 .


линии тангенсов и котангенсов
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑦
𝑥
0
1
1
−1
−1
𝑂
𝑀 𝑡
𝑃
𝐾
𝑙
tg 𝑡
𝑀 1
𝑀𝐾= sin 𝑡 , 𝑂𝐾=− cos 𝑡 , 𝑂𝐴=1: sin 𝑡 −cos 𝑡 = 𝑃𝐴 1 ,т.е.
𝑃𝐴=− tg 𝑡
Длина отрезка 𝑃𝐴=− tg 𝑡 - положительное число. Касательную 𝑙 рассматриваем как числовую прямую 𝑃 соответствует отрицательному числу, противоположному длине отрезка 𝑃𝐴. Точка 𝑃 на числовой прямой имеет координату tg 𝑡 . Точка 𝑃 характеризует значение тангенса для точки 𝑀 1 , диаметрально противоположной точке 𝑀.

Слайд #25

Если числу 𝑡 соответствует на числовой окружности точка 𝑀, то проведя прямую 𝑂𝑀, получим в пересечении её с числовой прямой 𝑙 точку 𝑃, которая имеет на числовой прямой 𝑙 координату tg 𝑡 . Числовую прямую 𝑙 называют линией тангенсов.
Аналогично вводится линия котангенсов.
линии тангенсов и котангенсов
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑦
𝑥
0
1
1
−1
−1
𝑂
𝑀 𝑡
𝑃
𝑙
ctg 𝑡

Слайд #26

Пример 15. Решить уравнение:
а) tg 𝑡 = 3 ; б) tg 𝑡 =−1; в) ctg 𝑡 =− 3 .
Решение. а) Отметим на линии тангенсов точку 𝑃=𝑃 3 .
линии тангенсов и котангенсов
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑦
𝑥
0
1
1
−1
−1
𝑂
𝑀 1
𝑃
𝐾
𝑀 2
Прямая 𝑂𝑃 пересекает числовую окружность в двух точках 𝑀 1 и 𝑀 2 , соответствующие тем значениям 𝑡, для которых tg 𝑡 = 3 .
Точка 𝑀 1 соответствует значениям 𝑡= 𝜋 2 +2𝜋𝑘, точка 𝑀 2 - значениям 𝑡= 4𝜋 3 +2𝜋𝑘. Эти две серии решений можно объединить: 𝑡= 𝜋 3 +𝜋𝑛.

Слайд #27

линии тангенсов и котангенсов
Пример 15. Решить уравнение:
б) tg 𝑡 =−1; в) ctg 𝑡 =− 3 .
Решение. б) Отметим на линии тангенсов точку 𝑃=𝑃 −1 .
Прямая 𝑂𝑃 пересекает числовую окружность в двух точках 𝑀 1 и 𝑀 2 , соответствующие тем значениям 𝑡, для которых tg 𝑡 =−1.
Точка 𝑀 1 соответствует значениям 𝑡=− 𝜋 4 +2𝜋𝑘, точка 𝑀 2 - значениям 𝑡= 3𝜋 4 +2𝜋𝑘. Эти две серии решений можно объединить: 𝑡=− 𝜋 4 +𝜋𝑛.
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑦
𝑥
0
1
1
−1
−1
𝑂
𝑀 1
𝑃
𝐾
𝑀 2

Слайд #28

Пример 15. Решить уравнение:
в) ctg 𝑡 =− 3 .
Решение. в) Отметим на линии котангенсов точку 𝑃=𝑃 − 3 .
Прямая 𝑂𝑃 пересекает числовую окружность в двух точках 𝑀 1 и 𝑀 2 , соответствующие тем значениям 𝑡, для которых tg 𝑡 = 3 .
Точка 𝑀 1 соответствует значениям 𝑡= 5𝜋 6 +2𝜋𝑘, точка 𝑀 2 - значениям 𝑡= 11𝜋 6 +2𝜋𝑘. Эти две серии решений можно объединить: 𝑡= 5𝜋 6 +𝜋𝑛.
линии тангенсов и котангенсов
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑃
𝑦
𝑥
0
1
1
−1
−1
𝑂
𝑀 1
𝑀 2

Слайд #29

Пример 15. Решить неравенство:
а) tg 𝑡 > 3 ; б) tg 𝑡 <−1; в) ctg 𝑡 ≥− 3 .
Решение. а) Отметим на линии тангенсов точку 𝑃=𝑃 3 . Неравенство tg 𝑡 > 3 означает, что нас интересуют на этой прямой точки, лежащие выше точки 𝑃.
линии тангенсов и котангенсов
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑦
𝑥
0
1
1
−1
−1
𝑂
𝑀 1
𝑃
𝐾
𝑀 2
Прямая 𝑂𝑃 пересекает числовую окружность точках 𝑀 1 , 𝑀 2 , точкам, расположенным выше точки 𝑃, соответствуют точки открытых дуг 𝑀 1 𝐵, 𝑀 2 𝐷.
𝑀 1 𝐵: 𝜋 3 +2𝜋𝑘<𝑡< 𝜋 2 +2𝜋𝑘, 𝑀 2 𝐷: 4𝜋 3 +2𝜋𝑘<𝑡< 3𝜋 2 +2𝜋𝑘. Эти две серии решений можно объединить: 𝜋 3 +𝜋𝑛<𝑡< 𝜋 2 +𝜋𝑛.

Слайд #30

линии тангенсов и котангенсов
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑦
𝑥
0
1
1
−1
−1
𝑂
𝑀 1
𝑃
𝐾
𝑀 2
Пример 15. Решить неравенство:
б) tg 𝑡 <−1; в) ctg 𝑡 ≥− 3 .
Решение. б) Отметим на линии тангенсов точку 𝑃=𝑃 −1 . Неравенство tg 𝑡 <−1 означает, что нас интересуют на этой прямой точки, лежащие ниже точки 𝑃.
Прямая 𝑂𝑃 пересекает числовую окружность точках 𝑀 1 , 𝑀 2 , точкам, расположенным ниже точки 𝑃, соответствуют точки открытых дуг 𝐷 𝑀 1 , 𝐵 𝑀 2 .
𝐷 𝑀 1 : − 𝜋 2 +2𝜋𝑘<𝑡<− 𝜋 4 +2𝜋𝑘, 𝐵 𝑀 2 :− 𝜋 2 +2𝜋𝑘<𝑡< 3𝜋 4 +2𝜋𝑘. Эти две серии решений можно объединить: − 𝜋 2 +𝜋𝑛<𝑡<− 𝜋 4 +𝜋𝑛.

Слайд #31

Пример 15. Решить неравенство:
в) ctg 𝑡 ≥− 3 .
Решение. в) Отметим на линии котангенсов точку 𝑃=𝑃 − 3 . Неравенство ctg 𝑡 ≥− 3 означает, что нас интересуют на этой прямой точки, лежащие правее точки 𝑃, и сама точка 𝑃.
линии тангенсов и котангенсов
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝑃
𝑦
𝑥
0
1
1
−1
−1
𝑂
𝑀 2
𝑀 1
Прямая 𝑂𝑃 пересекает числовую окружность точках 𝑀 1 , 𝑀 2 , точкам, расположенным правее точки 𝑃, соответствуют точки открытых дуг 𝐴 𝑀 1 , 𝐶 𝑀 2 .
𝐴 𝑀 1 : 2𝜋𝑘<𝑡< 5𝜋 6 +2𝜋𝑘, 𝐶 𝑀 2 :𝜋+2𝜋𝑘<𝑡< 11𝜋 6 +2𝜋𝑘. Эти две серии решений можно объединить: 𝜋𝑛<𝑡< 5𝜋 6 +𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍.