Тригонометрия СПО 1 курс (теория, задания)

Слайд #1

ТРИГОНОМЕТРИЯ
ГБПОУ
«ВЕРЕЩАГИНСКИЙ
МНОГОПРОФЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ»

Слайд #2

ТРИГОНОМЕТРИЯ
Одним из основоположников тригонометрии считается древнегреческий астроном Гиппарх, живший во 2 веке до нашей эры. Гиппарх (Hípparchos) (около 180—190 до н. э., Никея, — 125 до н. э., Родос), древнегреческий учёный
Гиппарх является автором первых тригонометрических таблиц и одним из основоположников астрономии.

Слайд #3

ТРИГОНОМЕТ-РИЯ
Это раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии.
В переводе с греческого слово «тригонометрия» означает «измерение треугольников» (стороны и углы треугольника)

Слайд #4

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Это элементарные функции, которые выражали зависимости длин сторон прямоугольных треугольников от острых углов при гипотенузе.
Сам угол называют аргументом тригонометрической функции

Слайд #5

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Sin(α) (синус)– это отношение противолежащего катета к гипотенузе
Cos(α) (косинус) – это отношение прилежащего катета к гипотенузе
Прямые тригонометрические функции:
Производные тригонометрические функции:
Tg(α) (Тангенс)- это отношение противолежащего катета к прилежащему

Ctg(α) (Котангенс )- отношение прилежащего катета к противолежащему

Слайд #6

ЕДИНИЧНАЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ОКРУЖНОСТЬ
это окружность с единичным радиусом, изображенную так, что ее центр находится в начале координат декартовой плоскости.
Принято за луч отсчета углов принимать положительное направление оси абсцисс, т.е. оси X. 

Направлением отложения углов принято считать направление против часовой стрелки.

Слайд #7

Обозначение:

ЕДИНИЧНАЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ОКРУЖНОСТЬ
— это общепринятые единицы измерения плоских углов.
Градус

Слайд #8

ЕДИНИЧНАЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ОКРУЖНОСТЬ
— это угол, соответствующий дуге, длина которой равна её радиусу. Единица измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ)
Радиан

Перевод из градусов в радианы
Перевод из радиан в градусы
Пример:

Слайд #9

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Выразите в радианах:
1) 1;4) 10;7) 15;10) 30;
2) 45;5) 60;8) 70;11) 90;
3) 225;6) 240;9) 320;12) 330.

Слайд #10

Перевести в радианы и обозначить на единичной окружности:
30, 60 , 90 , 120 , 150 , 180 , 210 , 240 , 270 , 300 ,
330 , 360 

Слайд #11

Значения синуса и косинуса острого угла α  являются координатами точки М  пересечения стороны этого угла с единичной окружностью:



Это можно записывать в таком виде: M(cos(α);sin(α))


ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРИГОН. ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ЕД. ОКРУЖНОСТИ
с помощью изображенной окружности также можно вычислять тригонометрические функции, только более удобно.
Sin(α)=YM
Cos(α)=XM

Слайд #12

Для того чтобы ввести функции тангенса и котангенса на тригонометрической окружности, необходимо изобразить дополнительные элементы: касательную к окружности в точке A – по ней определяется значение тангенса угла , и касательную к в точке B – по ней определяется значение котангенса угла .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРИГОН. ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ЕД. ОКРУЖНОСТИ

Слайд #13

Задание: С помощью единичной окружности вычислить
sin (37  ); cos (37 ); sin (-37  ); cos (-37 )
Ответ:
Y=Sin(37 )=0.6
X=cos(37 )=0.8
Y=Sin(-37 )=-0.6
X=cos(-37 )=0.8
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРИГОН. ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ЕД. ОКРУЖНОСТИ

Слайд #14

30, 45, 60,
90, 120, 135,
150, 180, 210,
225, 240, 270,
300, 315, 330,

-30, -45, -60,
-90, -120, -135,
-150, -180, -210,
-225, -240, -270,
-300, -315, -330,
-360, 360, 0

С помощью единичной окружности вычислить sin и cos следующих углов:

Слайд #15

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Вычислить, используя тригонометрическую окружность

Слайд #16

ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
Это формулы, сводящие значения тригонометрической

функции аргумента вида к функции аргумента α

Слайд #17

ОСНОВНОЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО

Слайд #18

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Зная значение одной функции угла α, найдите значение остальных тригонометрических функций этого угла

Слайд #19

Преобразование выражений с помощью ОТТ
Пример:
1) 4cos23x + 4sin23x=4 (cos23x + sin23x)=4*1=4
2) 1 – sin23x= cos23x
3) cos23t – 1=-1*(-cos23t +1)=-(1-cos23t)=-sin23t
1) tg 3x ctg 3x; 10) ctg 1,1 * tg 1,1;
2) tg x cos x; 11) sin 2t ctg 2t;
3) ctg2x sin2x; 12) tg2t cos2t;
4) tg x cos x sin x; 13) sin 2t cos 2t ctg 2t;
5) (1 – cos 3x)(1 + cos 3x); 14) (1 – sin 2t)(1 + sin 2t);
6 (sin t + 1) (sin t – 1); 15) (cos 5 –1)(1 + cos 5t);
7) sin2x cos2x + cos4x; 16) sin4t + sin2t cos2t;
8) (sin x – cos x)2 + (sin x + cos x)2;
9) (3sin t + 4 cos t)2 + (4sin t – 3 cos t)2.
Преобразовать:

Слайд #20

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Преобразовать выражения

Слайд #21

ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ

Слайд #22

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Вычислите:
1) sin 17 cos 13 + cos 17 sin 13;
2) sin 20 cos 50 – cos 20 sin 50;
3) sin 9 cos 99 – sin 99 cos 9;
4)
.
Упростите выражения:
2)

3)

4)

Слайд #23

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №7

Слайд #24

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
— это математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям.
Арксинус (arcsin(x))
арккосинус (arccos(x))
арктангенс  (arctg(x))
арккотангенс (arcctg(x))

По тригонометрической таблице
По тригонометрической окружности
Методы нахождения:

Слайд #25

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ПО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ТАБЛИЦЕ
Задание: Найти arcsin (1)
Решение: Находим строку sin(x) и значение 1 в данной строке. Поднимаемся вертикально вверх и определяем угол x (sin(x)=1)
Ответ: arcsin (1)=90=/2+2n

Слайд #26

Задание:
Найти arcsin (0) arcsin ( ) Arccos( ) Arccos( )Arctg( )
Arcctg(1) Arccos( )




ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ПО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ТАБЛИЦЕ

Слайд #27

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ПО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ОКРУЖНОСТИ
Задание: Найти arcsin (1)
Решение: так как ось y определяет sin(x), то находим на оси y=1. Определяем угол разворота луча до нашей точки (90 ).
Ответ: arcsin (1)=90=/2 +2n

Слайд #28

Задание: Найти
arcsin (-1)
arcsin ( )

Arccos(- )

Arccos(- )

Arctg( )

Arcctg(1)

Arccos( )




ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ПО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ОКРУЖНОСТИ

Слайд #29

Учебник «Алгебра. Задачник, часть 2» А. Г. Мордкович
№15.1-15.3
№16.1-16.4
№17.1-17.4
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ПО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ОКРУЖНОСТИ

Слайд #30

ГРАФИК ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Графиком функции f называют множество всех точек (х; у) координатной плоскости, где у=f(х), а х «пробегает» всю область определения функции f.
Числовые функции, заданные формулами y=sin x и y=cos x, называют соответственно СИНУСОИДА и КОСИНУСОИДА.
Область определения этих функций – множество всех действительных чисел (значение любого угла)
Областью значений функций синус и косинус является отрезок [-1; 1] (значение sin(x) и cos(x) не превышает 1 и -1)

Слайд #31

ГРАФИК ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Синусоида «y=sin(x)»
Построим график функции синус на отрезке [- 2π; 2π]:
- Отметим на оси ординат точки (0;0), (0; -1) и (0; 1)
- На оси абсцисс точки: -2π(6 кл), -3/2π(4,5 кл), -π(3 кл), -π/2(1,5 кл), 0, π/2(1,5 кл), π(3 кл), 3/2π(4,5 кл), 2π(6 кл).
Рисунок - График функции y=sin x
- Далее пользуясь вычисленными значениями синуса (по тригонометрической окружности) построим график функции на отрезке [- 2π; 2π].

Слайд #32

СВОЙСТВА
ФУНКЦИИ «Y=SIN(X)»

Слайд #33

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Косинусоида «y=cos(x)»
Построить график функции косинус на отрезке [- 2π; 2π]
- Отметить на оси ординат точки (0;0), (0; -1) и (0; 1)
На оси абсцисс точки:
-2π(6 кл), -3/2π(4,5 кл),
-π(3 кл), -π/2(1,5 кл), 0,
π/2(1,5 кл), π(3 кл),
3/2π(4,5 кл), 2π(6 кл).
Используя единичную окружность проставить точки cos(x)=y, соединить полученные координаты

Слайд #34

Ответ:
ГРАФИК ФУНКЦИИ Y=COS X

Слайд #35

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Косинусоида «y=cos(x)»
Определить свойства функции y=cos(x)

Слайд #36

Ответ:
СВОЙСТВА ФУНКЦИИ Y=COS X

Слайд #37

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №8

Слайд #38

ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ
Уравнение — это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти. Это значение должно быть таким, чтобы при его подстановке в исходное уравнение получалось верное числовое равенство.
Простейшими тригонометрическими уравнениями называются
уравнения вида:
sinx = т
cosх = т
tgх = т
ctgх = m
где т - любое действительное число.
Решить простейшее тригонометрическое уравнение - значит найти множество всех углов (дуг), имеющих данное значение тригонометрической функции.

Слайд #39

ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ

Слайд #40

ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ
Решить тригонометрические уравнения:

Слайд #41

Учебник «Алгебра. Задачник, часть 2» А. Г. Мордкович
№
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Слайд #42

С помощью сети интернет подготовить доклад/плакат/кроссворд/сообщение/презентацию/реферат на ваш выбор по теме:

«ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ В ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ СФЕРЕ»

(описать, где применяется тригонометрия в разных областях науки и проф. Деятельности)

Слайд #43

ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
НЕРАВЕНСТВА
sin(x)>a,
sin(x)≥a,
sin(x)<a,
sin(x)≤a,
cos(x)>a,
cos(x)≥a,
cos(x)<a,
cos(x)≤a,
fg(x)>a,
fg(x)≥a,
fg(x)<a,
fg(x)≤a,
ctg(x)>a,
ctg(x)≥a,
ctg(x)<a,
ctg(x)≤a.
Тригонометрическим неравенством называется неравенство, в котором неизвестное входит под знак тригонометрических функций непосредственно или в виде линейной функции неизвестного
К простейшим тригонометрическим неравенствам относятся следующие 16 неравенств, где x является неизвестной переменной, a может быть любым действительным числом.

Слайд #44

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
НЕРАВЕНСТВ С ПОМОЩЬЮ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Решить тригонометрическое неравенство:
Построим график функции и проведем прямую
Решить неравенство — значит найти все значения x, при которых соответствующие точки графика функции y=cos (x) лежат ниже прямой y=1/2 и на этой прямой.

Слайд #45

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
НЕРАВЕНСТВ С ПОМОЩЬЮ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

Слайд #46

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
НЕРАВЕНСТВ С ПОМОЩЬЮ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Ответ:
Либо

Слайд #47

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
НЕРАВЕНСТВ С ПОМОЩЬЮ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Решить тригонометрическое неравенство:

Слайд #48

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
НЕРАВЕНСТВ С ПОМОЩЬЮ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Ответ:
Либо

Слайд #49

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
НЕРАВЕНСТВ С ПОМОЩЬЮ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Решить тригонометрическое неравенство:

Слайд #50

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
НЕРАВЕНСТВ С ПОМОЩЬЮ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Ответ:

Слайд #51

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №9

Слайд #52

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:
Дайте определение термину «тригонометрия»
Что изучает тригонометрия
Перечислите основные тригонометрические функции
На примере прямоугольного треугольника напишите формулы определения основных тригонометрических функций.
Дайте определение градусов и радиан. Напишите формулы перевода из одной единицы в другую и обратно.
Дайте определение тригонометрической единичной окружности. Нарисуйте ее, обозначьте основные углы и четверти окружности. Опишите метод нахождения по ней функций sin(x) и cos(x).
Перечислите основное тригонометрическое тождество и следствия от него.
Перечислите все известные вам формулы тригонометрического преобразования.
Дайте определение обратным тригонометрическим функциям. Опишите метод их нахождения.
Дайте определение термину «тригонометрическое уравнение». Опишите метод решения уравнений в тригонометрии.
Дайте определение функции «синусоида» и «косинусоида». Опишите их свойства.
Дайте определение термину «тригонометрическое неравенство». Опишите метод решения неравенств в тригонометрии.