Презентация по математике (ОГЭ) на тему "Окружность"

Слайд #1

Подготовка к ОГЭ по математике (консультация)
Афанасьева Н.А.
Учитель математики
МБОУ «Вилюйская гимназия
им.И.Л.Кондакова»

Слайд #2

Окружность
О
D
C
K
M
H
B
A
Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки (О – центр окружности)
ОН – радиус - R
AB – диаметр – D = 2R
S
P
E
CD, PS – хорды, Е – точка пересечения – CE · ED = PE · ES
MK – касательная, имеет общую точку с окружностью – Н
MK ∟ОН – радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной
C = 2ℼR – длина окружности
S = ℼR2 – площадь круга

Слайд #3

Вписанный и центральный угол
О
С
В
А
<BAC – вписанный, вершина лежит на окружности
<ВАС= ВС 2 – вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается
<BОC – центральный, вершина совпадает с центром
<ВОС= ВС – центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается
D
Вся окружность – 360о
Е
<DEA = 90o
AD - диаметр

Слайд #4

Найдите градусную меру центрального ∠MON, если известно, NP — диаметр, а градусная мера ∠MNP равна 18°.
18°
R
R
Треугольник ∆MON - равнобедренный
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны
∠М=∠𝑁=18°
18°
Сумма углов треугольника = 180о
∠М+∠𝑁+∠𝑀𝑂𝑁=180°
18°+18°+∠𝑀𝑂𝑁=180°
∠𝑀𝑂𝑁=180° −18°−18°
∠𝑀𝑂𝑁=144°
Ответ: 144

Слайд #5

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N.
Известно, что ∠NBA = 71°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.
71°
?
𝐴𝐵 = 𝐴𝑁 + 𝑁𝐵 =180°
2∠𝑁𝐵𝐴+2∠𝑁𝑀𝐵=180°
2∙71°+2∠𝑁𝑀𝐵=180°
2∠𝑁𝑀𝐵=180°−142°
2∠𝑁𝑀𝐵=38°
∠𝑁𝑀𝐵=19°
Ответ: 19

Слайд #6

На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что
Длина меньшей дуги AB равна 65. Найдите длину большей дуги.
 
 
39о
65
360°−39°=321°
39° 65 = 321° х
Х
39°∙х=321°∙65
39°∙х=20865
х=20865÷39
х=535
Ответ: 535

Слайд #7

В окружность вписан равносторонний восьмиугольник. Найдите величину угла ABC.
360°÷8=45° −дуга, стягиваемая стороной
45°∙4=180° −дуга АС
180°÷2=90° − ∠АВС
Ответ: 90

Слайд #8

Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хорду MN в её середине — точке K.
Найдите длину хорды MN, если  KB = 1 см, а радиус окружности равен 13 см.
MK=KN
1
13
R=OM=ON=OB=13
OK=OB – KB =13 – 1 =12
12
x
По Теореме Пифагора
OK2 + МК2 = ОМ2
122 + х2 = 132
144 + х2 = 169
х2 = 169 – 144
х2 = 25
х = 5 - MK
MK + KN = MN
5 + 5 = MN
MN = 10
Ответ: 10

Слайд #9

Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC,
в котором AB = BC и ∠ABC = 49°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.
49о
∠А=∠С
ВС = АВ =х
АС =2∙49°
АС =98°
ВС + АВ + АС =360°
х+х+98°=360°
х+х+98°=360°
2х+98°=360°
2х=360°−98°
2х=262°
х=262°÷2
х=131° - дуга ВС
131о
131о
Ответ: 131

Слайд #10

∠А=∠С – так как АВС равнобедренный
∠А+∠С+∠В=180°
∠А+∠А+175°=180°
2∠А=180°−175°
2∠А=5°
ВС =2∠А=5°
∠ВОС=5°
Ответ: 5

Слайд #11

Некоторые свойства окружности

Слайд #12

Замечательные свойства четырехугольников
А
В
С
D
M
N
E
F
ABCD-описанный около окружности четырехугольник

AB+CD=BC+AD

MNEF-вписанный в окружность четырехугольник:
М + Е= F+ N = 180о.

Слайд #13

Проведем радиус к точке касания В, ОВ⊥АВ (свойство касательной)
Треугольник АОВ - прямоугольный
40
85
По теореме Пифагора: АВ2 +ОВ2 =АО2
х
402 + х2 = 852
х2 = 852 – 402
х2 = (85 – 40)(85+40)
х2 = 45 · 125
х= 45∙125 = 9∙5∙5∙25 = 9∙25∙25
х=3∙5∙5=75
Ответ: 75

Слайд #14

165о
?
165°=𝜋− АВ
165°=180°− АВ
АВ =180°−165°
АВ =15° (∠АОВ)
Ответ: 15
Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 78°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.
78о
∠АОВ=180°−78°=102°
102о
х
х
х+х+102°=180°
2х=180°−102°
2х=78°
х=78°÷2=39°
ответ: 39
Сумма углов треугольника = 180о

Слайд #15

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB=7, BC=10, CD=14. Найдите AD.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK=8, DK=12, BC=6. Найдите AD.
7
10
14
х
АВ + CD = BC + AD
7 + 14 = 10 + x
21 = 10 + x
x = 21 – 10
x = 11
Ответ: 11
Так как четырехугольник вписан, то суммы противолежащих углов равны 180о
Углы АВС и КВС смежные, в сумме дают также, 180о
Значит, <D (∆КАD) = <В (∆KBC)
Аналогично, <А (∆КАD) = <С (∆KBC)
∆КАD ̴ ∆KBC (по I признаку подобия треугольников)
𝐵𝐾 𝐷𝐾 = 𝐵𝐶 𝐴𝐷
8 12 = 6 𝑥
8x = 72
x = 72 : 8 = 9
Ответ: 9

Слайд #16

Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P, BP=9, CP=15, DP=20. Найдите AP.
Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности
в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB=3, AC=27. Найдите AK.
По свойству хорд: CP · PA = DP · PB
9
15
20
x
15 · x = 20 · 9
15 · x = 180
x = 180 : 15 = 12
Ответ: 12
АК2 = АВ · АС
3
27
АК2 = 3 · 27
АК2 = 81
АК = 9
Ответ: 9

Слайд #17

На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 106°. Прямая BC касается окружности
в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Угол A четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 33°. Найдите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах
106о
∠АВС= 106° 2 =53°
Ответ: 53
33о
?
∠А+∠С=180°
33°+∠С=180°
∠С=180°−33°
∠С=147°
Ответ: 147

Слайд #18

Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 47°. Найдите угол C этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Радиус вписанной в квадрат окружности равен 20√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
47о
?
∠А+∠С=180°
47°+∠С=180°
∠С=180°−47°
∠С=133°
Ответ: 133
20 2
х
О
С
А
20 2
По теореме Пифагора: ОС2 + СА2 =ОА2
20 2 2 + 20 2 2 = х 2
800+800 =х 2
1600 =х 2
х=40
Ответ: 40