Презентация по теме урока численные методы Формулы Ньютона - Котеса: метод парабол.

Слайд #1

Учитель математики МБОУ СОШ № 25 г. Крымска Е.В. Малая

Слайд #2

Формулы Ньютона-Котеса: метод трапеции

Собраться вместе – это начало. Оставаться вместе – это прогресс. Работать вместе – это успех

  Автор: Форд Генри (1863-1947) -американский инженер, промышленник, изобретатель. Один из основателей автомобильной промышленности .

Знание - это то, что наиболее существенным образом возвышает одного человека над другим.

Аддисон Джозеф

Слайд #3

Вспомнить


Узнать

Научиться

Слайд #4

ГБПОУ РД «Колледж инновационных технологий»
Тема урока:
Формулы Ньютона - Котеса: метод парабол.
Урок №22
Разработала: преподаватель математики Султаханова З.Р.

Слайд #5

Цель урока

Сформировать представление о решении с помощью формулы Ньютона-Котеса: метод трапеции.
Сформировать умения вычисления прикладных задач с использованием формулы Ньютона-Котеса: метод трапеции.
Выработать навыки применения формулы Ньютона-Котеса: метод трапеции по нескольким уже известным ее значениям.

Слайд #6

Ключевые слова
1. Интерполяция - Приближённое вычисление значения функции
2. Формула Ньютона-Котеса.
3. Геометрический смысл метода трапеции
4. Метод трапеции
5. Вторая интерполяционная формула Ньютона

Слайд #7

Интерполяция
способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Слайд #8

Ситуационная задача

Слайд #9

Метод прямоугольников
Геометрически идея способа вычисления определённого интеграла по формуле прямоугольников состоит в том, что площадь криволинейной трапеции ABCD заменяется суммой площадей прямоугольников, одна сторона которых равна , а другая -

Слайд #10

Площадь с недостатком

Слайд #11

Площадь с избытком

Слайд #12

Алгоритм вычисления
Чтобы найти приближённое значение интеграла , нужно:
разделить отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей точками х0= а, х1, х2,..., х n -1, х n = b ;
вычислить значения подынтегральной функции в точках деления, т.е. найти у 0 = f (x0), у 1 = f (x1), у 2 = f (x2), у n -1 = f (xn-1), у n = f (xn) ;
воспользоваться одной из приближённых формул.
Для того, чтобы найти погрешность вычислений, надо воспользоваться формулами:


Значения у0, у1,..., уn находят из равенств  , где
к = 0, 1..., n .Эти формулы называются формулами прямоугольников и дают приближённый результат. С увеличением n результат становится более точным.

Слайд #13

Пример:
Задание: Вычислить по формуле прямоугольников определенный интеграл  

Найти абсолютную и относительную погрешности вычислений.

Слайд #14

Решение:
Разобьём отрезок [a, b] на несколько (например, на 6) равных частей. Тогда а = 2, b = 5 , 
х k = a + k*Δх
х0 = 2 + 0*½ = 2
х1 = 2 + 1*½ = 2,5
х2 = 2 + 2*½ =3
х3 = 2 + 3*½ = 3,5
х4 = 2 + 4*½ = 4
х5 = 2 + 5 *½ = 4,5

Слайд #15

 f (x0) = 22 = 4
f (x1) = 2 ,5 2 = 6,25
f (x2) = 32 = 9
f (x3) = 3,52 = 12,25
f (x4) = 42 = 16
f (x5) = 4,52 = 20,25.

По формуле
Для того, чтобы вычислить относительную погрешность вычислений, надо найти точное значение интеграла:

Слайд #16

Слайд #17

Слайд #18

Метод трапеций
В этом методе отрезок [a;b] так же
разбивается на n-равных частей. На каждом
отрезке [xi; xi+1] кривая y = f(x) заменяется
прямой, проходящей через две известные
точки с координатами (xi ;f(xi)) и (xi+1 ;f(xi+1)),
где i=0,1,…,n и строится прямоугольная
трапеция с высотой

Слайд #19

Метод трапеций
,

Слайд #20

Алгоритм вычисления
Рассмотрим определенный интеграл , где   f(x) – функция, непрерывная на отрезке [a;b].  Проведём разбиение отрезка  на n  равных отрезков: [x0;х1], [x1;х2], [x2;х3],…, [xn-1;хn],
При этом, очевидно:  xn =a (нижний предел интегр.) и   xn =b (верхний предел интегр.). Точки   x0, х1, х2, х3,…, xn-1, хn также называют узлами. Тогда определенный интеграл можно вычислить приближенно по формуле трапеций

Слайд #21

Пример:
Задание: Вычислить приближенно определенный интеграл по формуле трапеций, разбив отрезок интегрирования на 3 части. Результаты округлить до трёх знаков после запятой.

Слайд #22

Решение:

Слайд #23

Итог урока: Что нового узнали на занятии? Чему научились? Что было главным? Что было интересным?
Желаю вам успешно справиться с домашней работой.

Слайд #24

Спасибо за внимание!
Не забывайте готовиться к урокам!
Тема урока: Формулы Ньютона - Котеса: метод прямоугольников.
План урока:
Понятие формулы Ньютона - Котеса: метод парабол.
Применение формул Ньютона - Котеса: метод парабол.
Показать на примере формул Ньютона - Котеса: метод парабол.
http://www.myshared.ru/slide/265922/
Znanium.com
Численные методы и программирование. В.Д. Колдаев, Москва. ИД «Форум» ИНФРА-М, 2022.

Слайд #25

Домашнее задание:

Вычислить предыдущий интеграл
с помощью формулы трапеций.
Проверить точность вычисления интеграла
по формуле Ньютона-Лейбница.
Что такое интерполяция?