Презентация по математике "Дифференциальные уравнения"

Слайд #1

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и её производные или дифференциалы.
Символически дифференциальное уравнение записывается так: F(x,y,y’)=0, F(x,y,y’’)=0 .
Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.

Слайд #2

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.
Общим решением (или общим интегралом) дифференциального уравнения называется такое решение , в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.
Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определённых начальных значениях аргумента и функции (задача Коши)

Слайд #3

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.
Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида .
Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные , а затем

проинтегрировать обе части полученного равенства:

Слайд #4

Найти общее решение уравнения

Разделив переменные, имеем

Интегрируем обе части полученного уравнения



Так как произвольная постоянная С может принимать любые числовые значения, то вместо С написали

Общее решение данного уравнения имеет вид

Слайд #5

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение вида

где и - функции от x, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. В частном случае и могут быть постоянными величинами.
Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки y = uz , где u и z – новые переменные от x.

Слайд #6

Найти общее решение уравнения

Это линейное уравнение: здесь ,
.
Положим y = uz и продифференцируем это равенство по x: .

Подставив теперь выражения для y и в данное уравнение, получим

или

Слайд #7

Так как одну из вспомогательных функций u или z можно выбрать произвольно, то в качестве u возьмём одно из частных решений уравнения 𝑑𝑢 𝑑𝑥 − 2𝑢 𝑥+1 =0. Разделив в этом уравнении переменные и интегрируя, имеем
𝑑𝑢 𝑢 − 2𝑑𝑥 𝑥+1 =0, 𝑑𝑢 𝑢 =2 𝑑𝑥 𝑥+1 ; ln 𝑢 = 2ln 𝑥+1 ,𝑢= 𝑥+1 2 (произвольную постоянную С принимаем равной 0, так как находим одно из частных решений).
Подставив теперь выражение для u в уравнение

; тогда получим

уравнение 𝑥+1 2 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 𝑥+1 3 , или 𝑑𝑧 𝑑𝑥 =𝑥+1.

Отсюда находим 𝑑𝑧= 𝑥+1 𝑑𝑥; 𝑧= 𝑥+1 2 2 +𝐶.
Зная u и z, теперь получаем общее решение данного уравнения:
𝑦=𝑢𝑧= 𝑥+1 2 𝑥+1 2 2 +𝐶 = 𝑥+1 4 2 +𝐶 𝑥+1 2 .

Слайд #8

Неполные дифференциальные уравнения второго порядка.
Уравнение, содержащее производные (или дифференциалы) не выше второго порядка, называется дифференциальным уравнением второго порядка.
Общий вид уравнение второго порядка 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 =𝑓 𝑥,𝑦, 𝑑𝑦 𝑑𝑥 .
Общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные.

Слайд #9

Найти общее решение уравнения 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 = sin 𝑥.
Это неполное дифференциальное уравнение второго порядка вида 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 =𝑓 𝑥 . Полагаем 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑧; тогда данное уравнение можно записать в виде 𝑑 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = sin 𝑥, т.е. 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = sin 𝑥, откуда 𝑑𝑧= sin 𝑥 𝑑𝑥.
Интегрируя последнее равенство, получим 𝑑𝑧= sin 𝑥 𝑑𝑥, т.е. 𝑧=− cos 𝑥+ 𝐶 1 .
Следовательно,
𝑑𝑦 𝑑𝑥 =− cos 𝑥+ 𝐶 1 , т.е. 𝑑𝑦= − cos 𝑥+ 𝐶 1 𝑑𝑥.
Снова интегрируя, находим
𝑑𝑦= − cos 𝑥+ 𝐶 1 𝑑𝑥, или 𝑦=− sin 𝑥+ 𝐶 1 𝑥+ 𝐶 2 .
Это и есть общее решение данного уравнения.

Слайд #10

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 +𝑝 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +𝑞𝑦=0, где 𝑝 и 𝑞 −постоянные величины.
Для отыскания общего решения уравнения составляется характеристическое уравнения 𝑟 2 +𝑝𝑟+𝑞=0, которое получается из уравнения 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 +𝑝 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +𝑞𝑦=0 заменой 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 , 𝑑𝑦 𝑑𝑥 и y на соответствующие степени r, причём сама функция y заменяется единицей.

Слайд #11

𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 2 +𝑝 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +𝑞𝑦=0
Тогда общее решение дифференциального уравнения


строится в зависимости от корней 𝑟 1 и 𝑟 2 характеристического уравнения 𝑟 2 +𝑝𝑟+𝑞=0.
Здесь возможны два случая: