Презентация по математике "Ряды"

Слайд #1

Ряды
Первое знакомство с числовыми рядами состоялось в средней школе при изучении арифметической прогрессии и геометрической прогрессии.
Если u1, u2, u3, ..., un, ... (1) - бесконечная последовательность чисел, то формально записанное выражение
u1 + u2 + u3 + ... + un +…(1)  называется бесконечным числовым рядом (или просто числовым рядом). Многоточие в конце указывает, что выражение (1) не имеет последнего слагаемого, за каждым слагаемым всегда стоит следующее. Таким образом, числовой ряд есть "бесконечная" сумма чисел.
Короче (с символом "сигма") числовой ряд (1) можно записать в виде 𝑛=1 ∞ 𝑢 𝑛 ,
где индексы внизу и вверху символа суммы означают, что нужно взять сумму чисел 𝑢 𝑛  , когда n принимает целочисленные значения от 1 до ∞.
Числа u1, u2, u3, ..., un, ... называются членами числового ряда, а член ряда, стоящий на n-м месте от начала, - его общим членом.
Примерами числовых рядов могут служить:

1 1∙2 + 1 2∙3 + 1 3∙4 +… 1 𝑛∙ 𝑛+1 +… 2
𝑎+𝑎𝑞+𝑎 𝑞 2 +…+𝑎 𝑞 𝑛 +… 3
1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 𝑛 +… 4

Слайд #2

Задать числовой ряд – это значит указать правило, закон образования его членов, по которому можно найти любой его член. Чаще всего числовой ряд задаётся формулой общего члена как функция от натурального числа n. Например, если 𝑢 𝑛 = 1 𝑛 2 ,то тем самым определён следующий числовой ряд: 1+ 1 2 2 + 1 3 2 +…+ 1 𝑛 2 +..; (5)
если 𝑢 𝑛 = 1 𝑛! , то1+ 1 2! + 1 3! +…+ 1 𝑛! +… (6)
Если дан числовой ряд, то будем подразумевать, что задан его общий член.
Пример 1. Записать первые пять членов числового ряда, если дана формула его общего члена:
𝑢 𝑛 = 4𝑛−3 𝑛 2 +1 .
Решение. Подставляем в формулу вместо n последовательно числа 1, 2, 3, 4, 5. Получаем:
𝑢 𝑛 = 1 2 +1+ 9 10 + 13 17 + 17 26 +…
Пример 2. Записать формулу общего члена числового ряда, если даны пять его первых членов:
𝑢 𝑛 = 1 2 + 4 3 + 7 9 + 10 27 + 13 81 +…
Решение. Ищем закономерность образования членов ряда. Нетрудно заметить, что знаменатель является числом 3 в некоторой степени. Для первого члена ряда степень равна нулю, то есть 1 - 1, для второго члена степень равна 1, то есть 2 - 1, для пятого - 4, то есть 5 - 1. Следовательно, степень числа три равна n - 1. В свою очередь, в числителе число всегда на 2 меньше 3n. Следовательно, формула общего члена ряда:
𝑢 𝑛 = 3𝑛−2 3 𝑛−1 .
Пример 3. Записать первые 3 члена ряда 𝑛=0 ∞ 2 𝑛 +3 2𝑛+1 ! и 𝑎 𝑛+1 .
Пример 4. Определить общий член ряда 2 3 + 3 7 2 + 4 11 3 + 5 15 4 +…

Слайд #3

Сумма числового ряда
При сложении конечного числа слагаемых всегда получается определённый числовой результат, вычислить же сумму бесконечного числа слагаемых не может ни человек, ни компьюьтер, поскольку процесс сложения членов числового ряда (по самому определению) никогда не кончается.
Это означает, что выражение (1) является формальным, ведь сумма бесконечного числа слагаемых не определена. Но тем не менее в этом выражении поставлен знак суммирования и подразумевается, что члены ряда как-то складываются. Сумма любого конечного числа слагаемых будет найдена, если их складывать последовательно по одному. Это приводит к мысли поставить в соответствие числовому ряду некоторое число и назвать его суммой числового ряда. С этой целью вводят понятие частичной суммы ряда.
Приближенные суммы числового ряда (1) 𝑆 1 = 𝑢 1 ,
𝑆 2 = 𝑢 1 + 𝑢 2 ,
𝑆 𝑛 = 𝑢 1 + 𝑢 2 +…+ 𝑢 𝑛 называются частичными суммами числового ряда.
Сумма n первых членов числового ряда называется n-й частичной суммой: 𝑆 𝑛 = 𝑢 1 + 𝑢 2 +…+ 𝑢 𝑛 . (7)
Частичные суммы числового ряда имеют конечное число слагаемых, это «обычные» суммы, их можно найти, подсчитать. Для числового ряда получаем бесконечную последовательность его частичных сумм.

Слайд #4

Понятие сходимости числовых рядов
Если значения частичных сумм  𝑆 𝑛 при неограниченном возрастании n, то есть, при 𝑛→∞ стремятся к некоторому числу S, то есть имеет предел lim 𝑛→∞ 𝑆 𝑛 =S, (8) то числовой ряд называется сходящимся.
Это число S называется суммой числового ряда. В этом смысле можно записать такое равенство:

S= 𝑢 1 + 𝑢 2 +…+ 𝑢 𝑛 +…. (9) Пример сходящегося числового ряда: 3 10 + 3 100 + 3 1000 + 3 10000 +…
Не для всякого числового ряда последовательность его частичных сумм стремится к определённому пределу. Например, для ряда 1-1+1-1+… частичные суммы 𝑆 𝑛 принимают попеременно значения 1 и 0:
𝑆 1 =1; 𝑆 2 =1-1=0; 𝑆 3 =1; 𝑆 4 =0, …
Если предел последовательность частичных сумм ряда не существует, то числовой ряд называется расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет.

Слайд #5

Пример 5. Исследовать сходимость числового ряда 1 1∙2 + 1 2∙3 + 1 3∙4 +… 1 𝑛∙ 𝑛+1 +…
Решение. Составим частичные суммы ряда: 𝑆 1 = 1 1∙2 ; 𝑆 2 = 1 1∙2 + 1 2∙3 ; 𝑆 3 = 1 1∙2 + 1 2∙3 + 1 3∙4 ,…..
Представим их в виде 𝑆 1 =1− 1 2 ; 𝑆 2 = 1− 1 2 + 1 2 − 1 3 =1− 1 3 ; 𝑆 3 =(1− 1 2 )+( 1 2 − 1 3 )+( 1 3 − 1 4 )=1− 1 4 ,…
Нетрудно заметить закономерность в образовании частичных сумм: каждая представляет разность между единицей и дробью, числитель которой 1, а знаменатель n-й частичной суммы равен n + 1, т.е. 𝑆 𝑛 =1− 1 𝑛+1 .
Найдём предел последовательности частичных сумм: lim 𝑛→∞ 𝑆 𝑛 = lim 𝑛→∞ 1− 1 𝑛+1 =1.
Следовательно, числовой ряд (2) сходится, его последовательность равна 1
Необходимый признак сходимости числовых рядов имеет простую формулировку: общий член сходящегося ряда стремится к нулю. Можно записать этот признак и более формально:
Если ряд 𝑛=1 ∞ 𝑢 𝑛  сходится, то lim 𝑛→∞ 𝑢 𝑛 =0 .

Слайд #6

Признак Даламбера является достаточным признаком сходимости рядов, так как исследование ряда с помощью этого признака даёт однозначный ответ на вопрос о том, сходится ряд или расходится. Признак Даламбера предполагает найти предел отношения некоторого члена ряда к предыдущему члену того же ряда. Признак Даламбера, скорее всего, работает, если в выражение ряда входят:

число в степени, факториал, цепочки множителей один-три-пять-семь и так далее.
Теорема. Пусть для ряда с положительными членами при 𝑛→∞ существует предел отношения (n+1)-го члена к предыдущему ему n-му члену, то есть
lim 𝑛→∞ 𝑢 𝑛+1 𝑢 𝑛 =𝑙 .
Тогда:
а) если предел отношения меньше единицы (𝑙<1) ,то ряд сходится;
б) если предел отношения больше единицы (𝑙>1) ,то ряд расходится;
в) если предел отношения равен единице (𝑙=1) ,то вопрос о сходимости ряда остаётся нерешённым.
Пример 9. Исследовать сходимость ряда с общим членом 𝑢 𝑛 = 𝑛 2 𝑛 .
Решение. Найдём отношение 𝑢 𝑛+1 𝑢 𝑛 = 𝑛+1 2 𝑛+1 : 𝑛 2 𝑛 = 𝑛+1 2𝑛 = 1 2 1+ 1 𝑛 ,
следовательно lim 𝑛→∞ 𝑢 𝑛+1 𝑢 𝑛 = lim 𝑛→∞ 1 2 1+ 1 𝑛 = 1 2 <1 . По признаку Даламбера ряд сходится.

Слайд #7

Пример 10 . Исследовать сходимость ряда 4 3 + 16 16∙9 + 64 81∙27 +…+ 4 𝑛 𝑛 4 3 𝑛 +…

Решение. Общий член данного ряда 𝑢 𝑛 = 4 𝑛 𝑛 4 3 𝑛 , а следующий за ним член 𝑢 𝑛 = 4 𝑛+1 (𝑛+1) 4 3 𝑛+1 .
Находим их отношение: 𝑢 𝑛+1 𝑢 𝑛 = 4 𝑛+1 (𝑛+1) 4 3 𝑛+1 : 4 𝑛 𝑛 4 3 𝑛 = 4 𝑛 4 3 𝑛+1 4 = 4 3 𝑛 𝑛+1 4 .
Следовательно, lim 𝑛→∞ 𝑢 𝑛+1 𝑢 𝑛 = lim 𝑛→∞ 4 3 𝑛 𝑛+1 4 = 4 3 >1. По признаку Даламбера ряд расходится.
Пример 11. Исследовать сходимость ряда 𝑛=1 ∞ 3𝑛−2 7 2𝑛 .
Пример 12. Исследовать сходимость ряда 𝑛=1 ∞ 2𝑛−1 2 𝑛 .

Слайд #8

Знакочередующимися рядами называются ряды, члены которых попеременно то положительны, то отрицательны. Чаще всего рассматриваются знакочередующиеся ряды, в которых члены чередуются через один: за каждым положительным следует отрицательный, за каждым отрицательным - положительный. Но встречаются знакочередующиеся ряды, в которых члены чередуются через два, три и так далее.
Рассмотрим пример знакочередующегося ряда, начало которого выглядит так: 3-4+5-6+7-8+…
Как и в случае любых рядов, для продолжения данного ряда нужно задать функцию, определяющую общий член ряда. В нашем случае это n + 2.
Приведённый выше знакочередующийся ряд в общем виде: 𝑛=1 ∞ 𝑛+2 ∙ −1 𝑛−1 .
Для чередования знаков члена ряда степень минус единицы может быть суммой n и любого положительного или отрицательного, чётного или нечётного числа. То же самое относится к 3n, 5n, ... То есть, чередование знаков членов знакочередующегося ряда обеспечивает степень при минус единицы в виде суммы n, умноженного на любое нечётное число и любого числа.
Знакочередующиеся ряды - частный случай знакопеременных рядов. Знакопеременные ряды - это ряды с членами произвольных знаков, то есть такими, которые могут быть положительными и отрицательными в любой последовательности. Пример знакопеременного ряда: 3+4+5+6-7+8-…

Слайд #9

Сходимость знакочередующихся рядов. Признак Лейбница
Для знакочередующихся рядов имеет место следующий признак сходимости – признак Лейбница.

Теорема (признак Лейбница). Ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена, если одновременно выполняются следующие два условия:
* абсолютные величины членов знакочередующегося ряда убывают: 𝑢 1 > 𝑢 2 > 𝑢 3 >…> 𝑢 𝑛 >…;
* предел его общего члена при неограниченном возрастании n равен нулю.
Пример 13. Исследовать сходимость ряда 1− 1 2 + 1 3 − 1 4 +…+ −1 𝑛−1 1 𝑛 +…
Решение. Это знакочередующийся ряд. Абсолютные величины его членов убывают:
1> 1 2 > 1 3 > 1 4 >…> 1 𝑛 >…,а предел общего члена 𝑢 𝑛 = −1 𝑛−1 1 𝑛 равен нулю: lim 𝑛→∞ −1 𝑛−1 1 𝑛 =0.
Оба условия признака Лейбница выполнены, поэтому ряд сходится.

Слайд #10

Пример 14. Исследовать сходимость ряда 𝑛=1 ∞ −1 𝑛 2 +𝑛 2 ∙ 𝑛 2 𝑛 =− 1 2 − 2 4 + 3 8 + 4 16 −…+ −1 𝑛 2 +𝑛 2 ∙ 𝑛 2 𝑛 +…
Решение. В данном ряде за двумя отрицательными членами следуют два положительных. Данный ряд - также знакочередующийся. Выясним, выполняется ли первое условие признака Лейбница:
𝑛 2 𝑛 > 𝑛+1 2 𝑛+1 . Требование выполняется для всех n > 1. Первый признак Лейбница выполняется. Выясним, равен ли нулю предел общего члена (применяя правило Лопиталя): lim 𝑛→∞ 𝑛 2 𝑛 = ∞ ∞ = lim 𝑛→∞ 1 2 𝑛 ln 2 =0.
Получили нуль. Таким образом, оба условия признака Лейбница выполняются. Сходимость имеет место быть.

Слайд #11

Пример 16. Установить, сходится ли ряд 𝑛=1 ∞ 1 𝑛 . абсолютно, условно, или расходится.

Решение. Соответствующим данному ряду рядом с положительными членами является ряд 𝑛=1 ∞ 1 𝑛 . Это обобщённый гармонический ряд, в котором 𝑝= 1 2 <1, поэтому ряд расходится.

Проверим соблюдение условий признака Лейбница 𝑛=1 ∞ −1 𝑛 2 =−1+ 1 2 − 1 3 + 1 4 − 1 5 +…
Члены ряда по абсолютному значению убывают. Первый признак Лейбница выполняется. Выясним, равен ли нулю предел общего члена: lim 𝑛→∞ 1 𝑛 =0. Предел равен нулю. Оба условия признака Лейбница выполняются. По признаку Лейбница ряд сходится. Но соответствующий ряд с положительными членами расходится. Следовательно, получаем условную сходимость.

Слайд #12

Пример 17. Установить, сходится ли ряд 𝑛=1 ∞ −1 𝑛 𝑛 5 𝑛+1 абсолютно, условно, или расходится.
Решение. Соответствующим данному ряду рядом с положительными членами является ряд  𝑛=1 ∞ 𝑛 5 𝑛+1 . Проверим его сходимость с помощью признака Даламбера:
lim 𝑛→∞ 𝑢 𝑛+1 𝑢 𝑛 = lim 𝑛→∞ 𝑛+1 5 𝑛+2 : 𝑛 5 𝑛+1 = 1 5 lim 𝑛→∞ 𝑛+1 𝑛 = 1 5 <1. Ряд сходится, поэтому он сходится абсолютно. Необходимости в проверке соблюдения условий признака Лейбница нет.

Слайд #13

Среди функциональных рядов наиболее важное место занимают степенные ряды.
Степенным рядом называют ряд 𝑐 0 + 𝑐 1 𝑥+ 𝑐 2 𝑥 2 +…+ 𝑐 𝑛 𝑥 𝑛 +…= 𝑛=0 ∞ 𝑐 𝑛 𝑥 𝑛 ,
члены которого – степенные функции, расположенные по возрастающим целым неотрицательным степеням x, а  𝑐 0 ,  𝑐 1 ,  𝑐 2 ,  𝑐 𝑛  - постоянные величины. Числа 𝑐 0 ,  𝑐 1 ,  𝑐 2 ,  𝑐 𝑛   - коэффициенты членов ряда,  𝑐 0  - свободный член.

Члены степенного ряда определены на всей числовой прямой.
Вместо x могут быть различные числа



При некоторых значениях x степенные ряды могут быть сходящимися, при других значениях x - расходящимися. Обозначим через  𝑥 0  некоторое значение x, при котором ряд сходится, а через  𝑥 1  - значение, при котором ряд расходится. На рисунке слева показано, что интервал от − 𝑥 0  до  𝑥 0  является интервалом сходимости ряда, а вне этого интервала наблюдается расходимость.
Но как определить эти граничные значения x? Для этого существует вполне определённый способ. Обозначим эти граничные значения через −R и R. Находим по следующей формуле: 𝑅= lim 𝑛→∞ 𝑐 𝑛 𝑐 𝑛+1 1 .

Слайд #14

Область сходимости, интервал сходимости и радиус сходимости степенного ряда
Множество значений переменной x, для которых ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.. Для действительных значений переменной x область сходимости состоит либо из одной точки, либо является некоторым интервалом (интервалом сходимости), либо совпадает со всей осью Ox.

При подстановке в степенной ряд значения x=0 получится числовой ряд 𝑐 0 +0+0+0+….+0+…, который сходится.
Следовательно, при x=0 сходится любой степенной ряд и, значит, область его сходимости не может быть пустым множеством. Есть степенные ряды, которые сходятся только при x=0 и расходятся при остальных значениях х.
Для любого степенного ряда имеется интервал −𝑅;𝑅 , симметричный относительно начала координат, называемый интервалом сходимости, в каждой точке которого ряд сходится, на границах может сходиться, а может и расходиться. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.
В частных случаях интервал сходимости степенного ряда может вырождаться в точку (тогда ряд сходится только при x=0 и считается, что R=0) или представлять собой всю числовую прямую (тогда ряд сходится во всех точках числовой прямой и считается, что 𝑅=+∞.
Таким образом, определение области сходимости степенного ряда заключается в определении его радиуса сходимости R и исследовании сходимости ряда на границах интервала сходимости (при 𝑥=±𝑅).

Слайд #15

Теорема . Если все коэффициенты степенного ряда, начиная с некоторого, отличны от нуля, то его радиус сходимости равен пределу при 𝑛→∞ отношения абсолютных величин коэффициентов общего следующего за ним членов ряда, то есть 𝑅= lim 𝑛→∞ 𝑐 𝑛 𝑐 𝑛+1 .
Пример 18. Найти область сходимости степенного ряда 𝒙 𝟏 − 𝒙 𝟐 𝟐 + 𝒙 𝟑 𝟑 − 𝒙 𝟒 𝟒 +…+ −𝟏 𝒏 𝒙 𝒏 𝒏 +…

Решение. Здесь 𝑐 𝑛 = 1 𝑛 ; 𝑐 𝑛+1 = 1 𝑛+1 , т.е. 𝑐 𝑛 𝑐 𝑛+1 = 𝑛+1 𝑛 =1+ 1 𝑛 .
Используя формулу (1), найдём радиус сходимости данного ряда: 𝑅= lim 𝑛→∞ 1+ 1 𝑛 =1. Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости −1;1 . Данный ряд сходится при x=1 и расходится при x=-1. Следовательно, областью сходимости служит полуинтервал −1;1 .

Слайд #16

Пример 19. Найти область сходимости степенного ряда 𝟏+ 𝒙 𝟐 + 𝒙 𝟐 𝟐 𝟐 +…+ 𝒙 𝒏 𝟐 𝒏 +…
Решение. Здесь 𝑐 𝑛 = 1 2 𝑛 ; 𝑐 𝑛+1 = 1 2 𝑛+1 .
По формуле (1) находим радиус сходимости ряда: 𝑅= lim 𝑛→∞ 1 2 𝑛 : 1 2 𝑛+1 = lim 𝑛→∞ 2 𝑛+1 2 𝑛 = 2.
Исследуем сходимость ряда при значениях 𝑥=±2.Подставив их в данный ряд, соответственно получим
1+1+1+…+1+…;
1-1+1-…+ −1 𝑛 +…
Оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимое условие сходимости (их общие члены не стремятся к нулю при 𝑛→∞).Итак, на обоих концах интервала сходимости данный ряд расходится, а область его сходимости – интервал −2;2

Слайд #17

Разложение функций в степенные ряды
Пусть дана функция f(x), которую требуется разложить в степенной ряд, т.е. представить в виде :

f(x)=𝑐 0 + 𝑐 1 𝑥+ 𝑐 2 𝑥 2 +…+ 𝑐 𝑛 𝑥 𝑛 +…
Задача состоит в определении коэффициентов 𝑐 𝑛 (𝑛=1;2;3…) ряда 𝑐 0 + 𝑐 1 𝑥+ 𝑐 2 𝑥 2 +…+ 𝑐 𝑛 𝑥 𝑛 +…
Для этого, дифференцируя равенство f(x)=𝑐 0 + 𝑐 1 𝑥+ 𝑐 2 𝑥 2 +…+ 𝑐 𝑛 𝑥 𝑛 +… почленно, последовательно найдём:
𝑓 ′ 𝑥 =1∙ 𝑐 1 +2∙ 𝑐 2 𝑥+…+𝑛 𝑐 𝑛 𝑥 𝑛−1 +…
𝑓 " 𝑥 =1∙2∙ 𝑐 2 +2∙ 𝑐 3 𝑥+… 𝑛−1 𝑛 𝑐 𝑛 𝑥 𝑛−2 +…
𝑓 "′ 𝑥 =1∙2∙3 𝑐 3 +…+(𝑛−2)(𝑛−1)𝑛 𝑐 𝑛 𝑥 𝑛−3 +…
………………………………………………………
𝑓 𝑛 𝑥 =1∙2∙3… (𝑛−2)(𝑛−1)𝑛 𝑐 𝑛 +…

Слайд #18

Полагая, что  х = 0, находим 𝑓 0 = 𝑐 0 , 𝑓 ′ 0 = 𝑐 1 , 𝑓 " 0 =1∙2∙ 𝑐 2 =2! 𝑐 2 , 𝑓 ′" 0 =1∙2∙3 𝑐 3 =3! 𝑐 3 , …,
𝑓 𝑛 0 =1∙2∙3… (𝑛−2)(𝑛−1)𝑛 𝑐 𝑛 =n! 𝑐 𝑛 .
Тогда 𝑐 0 =𝑓 0 , 𝑐 1 = 𝑓 ′ 0 1! , 𝑐 2 = 𝑓 " 0 2! , 𝑐 3 = 𝑓 ′" 0 3! ,…, 𝑐 𝑛 = 𝑓 𝑛 0 𝑛! ….
Подставляя найденные выражения в равенство f(x)=𝑐 0 + 𝑐 1 𝑥+ 𝑐 2 𝑥 2 +…+ 𝑐 𝑛 𝑥 𝑛 +… , получим
𝑓 𝑥 =𝑓 0 + 𝑓 ′ 0 1! x+ 𝑓 " 0 2! 𝑥 2 + 𝑓 ′" 0 3! 𝑥 3 +…+ 𝑓 𝑛 0 𝑛! 𝑥 𝑛 +…
Это разложение функции f(x) в ряд называется рядом Маклорена – частный случай ряда Тейлора.

Слайд #19

Рядом Тейлора для функции f(x) называется степенной ряд вида 𝑓 𝑥 =𝑓 𝑎 + 𝑓 ′ (𝑎)(x-a)+ 𝑓 " 𝑎 2! (𝑥−𝑎) 2 +…+ 𝑓 𝑛 𝑎 𝑛! (𝑥−𝑎) 𝑛 +…
Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.
𝒆 𝒙 =𝟏+ 𝒙 𝟏! + 𝒙 𝟐 𝟐! + 𝒙 𝟑 𝟑! +….+ 𝒙 𝒏 𝒏! +…= 𝒏=𝟏 ∞ 𝒙 𝒏 𝒏! ; 𝒙 <∞
𝒔𝒊𝒏 𝒙 = 𝒙 𝟏! − 𝒙 𝟑 𝟑! + 𝒙 𝟓 𝟓! −….+ −𝟏 𝒏+𝟏 𝒙 𝟐𝒏−𝟏 𝟐𝒏−𝟏 ! +…= 𝒏=𝟏 ∞ −𝟏 𝒏+𝟏 𝒙 𝟐𝒏−𝟏 𝟐𝒏−𝟏 ! ; 𝒙 <∞
𝒄𝒐𝒔 𝒙 =𝟏− 𝒙 𝟐 𝟐! + 𝒙 𝟒 𝟒! −….+ −𝟏 𝒏 𝒙 𝟐𝒏 𝟐𝒏 ! +…= 𝒏=𝟎 ∞ −𝟏 𝒏 𝒙 𝟐𝒏 𝟐𝒏 ! ; 𝒙 <∞
𝒍𝒏 𝟏+𝒙 = 𝒙 𝟏! − 𝒙 𝟐 𝟐! + 𝒙 𝟑 𝟑! −….+ −𝟏 𝒏+𝟏 𝒙 𝒏 𝒏! +…= 𝒏=𝟏 ∞ −𝟏 𝒏+𝟏 𝒙 𝒏 𝒏! ; 𝒙 <𝟏
𝟏+𝒙 𝒎 =𝟏+ 𝒎 𝟏! ∙𝒙+ 𝒎 𝒎−𝟏 𝟐! ∙ 𝒙 𝟐 + 𝒎 𝒎−𝟏 𝒎−𝟐 𝟑! ∙ 𝒙 𝟑 +…+ 𝒎 𝒎−𝟏 … 𝒎−𝒏+𝟏 𝒏! ∙ 𝒙 𝒏 +…= 𝒏=𝟎 ∞ 𝒎 𝒎−𝟏 … 𝒎−𝒏+𝟏 𝒏! ∙ 𝒙 𝒏 ; 𝒙 <𝟏

𝟏 𝟏−𝒙 =𝟏+𝒙+ 𝒙 𝟐 +…+ 𝒙 𝒏 +..= 𝒏=𝟎 ∞ 𝒙 𝒏 ; 𝒙 <𝟏
𝟏 𝟏+𝒙 =𝟏−𝒙+ 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟑 …+ −𝟏 𝒏 𝒙 𝒏 +..= 𝒏=𝟎 ∞ −𝟏 𝒏 𝒙 𝒏 ; 𝒙 <𝟏
 
𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 𝒙 =𝒙− 𝒙 𝟑 𝟑 + 𝒙 𝟓 𝟓 −….+ −𝟏 𝒏 𝒙 𝟐𝒏+𝟏 𝟐𝒏+𝟏 +…=; 𝒙 ≤𝟏

Слайд #20

Пример 20. Разложить в ряд Маклорена функцию 𝑓 𝑥 = 𝑒 4𝑥 ;𝑥=0.
Решение: Для разложения функции f(x) в ряд Маклорена необходимо:
1. вычислить значения функции и её последовательных производных в точке x=0, т.е. 𝑓 0 , 𝑓 ′ 0 , 𝑓 " 0 ,…, 𝑓 𝑛 0 ;
2. составить ряд Маклорена, подставляя значения функции и её последовательных производных в формулу
𝑓 𝑥 =𝑓 0 + 𝑓 ′ 0 1! x+ 𝑓 " 0 2! 𝑥 2 + 𝑓 ′" 0 3! 𝑥 3 +…+ 𝑓 𝑛 0 𝑛! +…;
3. найти промежуток сходимости полученного ряда.
1. 𝑓 0 = 𝑒 4∙0 =1;
𝑓 ′ 𝑥 =4 𝑒 4𝑥 ; 𝑓 ′ 0 =4;
𝑓 " 𝑥 = 16 𝑒 4𝑥 ; 𝑓 " 0 =16= 4 2 ;
𝑓 ′′′ 𝑥 =64 𝑒 4𝑥 ; 𝑓 ′′′ 0 =46= 4 3 .
2. 𝑓 𝑥 =1+4x+ 4 2 2! 𝑥 2 + 4 3 3! 𝑥 3 +…+ 4 𝑛 𝑛! 𝑥 𝑛 +…;
3. 𝑅= lim 𝑛→∞ 4 𝑛 ∙ 𝑛+1 ∙𝑛! 𝑛!∙ 4 𝑛+1 = lim 𝑛→∞ 𝑛+1 4 =∞; −∞<𝑥<∞ .

Слайд #21

Пример 21. Разложить в ряд Маклорена функцию 𝑓 𝑥 = ln (1+ 𝑥 3 ) .
Решение. Заменим в разложении в ряд Маклорена элементарной функции

ln 1+𝑥 = 𝑥 1! − 𝑥 2 2! + 𝑥 3 3! −….+ −1 𝑛+1 𝑥 𝑛 𝑛! +… 𝑥 на 𝑥 3 :

ln 1+ 𝑥 3 = 𝑥 3 − 𝑥 2 3 2 2! + 𝑥 3 3 3 3! −….+ −1 𝑛+1 𝑥 𝑛 3 𝑛 𝑛! +…
Найдём промежуток сходимости полученного ряда:
𝑅= lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛+1 = lim 𝑛→∞ 3 𝑛+1 𝑛+1 ! 3 𝑛 𝑛! = lim 𝑛→∞ 3∙ 1+ 1 𝑛 =3.
−3<𝑥<3.

Слайд #22

Применение степенных рядов к приближённым вычислениям значений функций.
Пример 22. Выполнить вычисления с заданной точностью до 0, 0001: sin 26 0 .
Решение. Разложим функцию sin 𝑥 в ряд Маклорена: sin 𝑥 = 𝑥 1! − 𝑥 3 3! + 𝑥 5 5! −….+ −1 𝑛+1 𝑥 2𝑛−1 2𝑛−1 ! +…

Так как 𝑥= 26 0 ≈0,45378 рад (𝜋≈3,14159), то
sin 26 0 =0,45378− 0,45378 3 1∙2∙3 + 0,45378 5 1∙2∙3∙4∙5 −…=0,45378− 0,09344 6 + 0,00082 120 −…=0,45378−0,01557+0,00068≈0,4389.
Сравним результат с таблицей Брадиса.

Слайд #23

Вычисление определённых интегралов с помощью степенных рядов.
Если функция не интегрируется в конечном виде или её интегрирование приводит к громоздким вычислениям, то определённый интеграл от такой функции вычисляется с помощью рядов.
Пример 23. Вычислить интеграл 0 1 sin 𝑥 4 𝑥 с точностью до 00001.
Решение. Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции sin 𝑥.
0 1 sin 𝑥 4 𝑥 = 0 1 𝑥 1!4 − 𝑥 3 3!64 + 𝑥 5 5!1024 𝑥 𝑑𝑥= 0 1 1 4 − 𝑥 2 3!64 + 𝑥 4 5!1024 𝑑𝑥= 1 4 − 𝑥 3 3!192 + 𝑥 5 5!5120 1 0 = 1 4 − 1 3!192 + 1 5!5120 = 1 4 −0,00087≈0,2451.
Пример 24. Вычислить интеграл 0 0,5 𝑑𝑥 1+ 𝑥 3 с точностью до 00001.
Решение. Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции 1+𝑥 𝑚 .
0 0,5 𝑑𝑥 1+ 𝑥 3 = 0 0,5 1+ 𝑥 3 − 1 2 𝑑𝑥= 0 0,5 1− 𝑥 3 1!2 + 3 𝑥 6 3!64 − 15𝑥 9 3!8 𝑑𝑥=𝑥− 𝑥 4 1!8 + 3𝑥 7 2!28 −15 𝑥 10 3!80 =0,5−0,0078≈0,4922.