Проект по математике " Формула Пика"

Слайд #1

Формула Пика
Выполнил : Боргояков Павел Дмитриевич, обучающийся 8 класса
Руководитель работы : Старикова Наталья Валерьевна
учитель математики
Имек 2023г.
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
« Имекская средняя общеобразовательная школа»

Слайд #2

Цель проекта: изучить формулу Пика для вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге.
 Задачи:
1.Подобрать необходимую литературу.
2. Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию.
3. Проанализировать и систематизировать полученную информацию.
4. Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге.
5. Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам.

Слайд #3

Увидев задачи в контрольно – измерительных материалах ОГЭ на нахождение площади многоугольника на клетчатой бумаге, я решил их исследовать. Возникли вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге.
Гипотеза: Площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика
равна площади фигуры, вычисленной по формуле планиметрии

Объект проекта: задачи на клетчатой бумаге.
Предмет проекта: задачи на вычисление площади многоугольника
на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.
Методы проекта:
Теоретические: анализ и синтез.
Эмпирические: сравнение.
Индуктивный метод – получение выводов из конкретных примеров.




.

Слайд #4

1.1 Решетки. Узлы. Формула Пика.
S = В +Г/2 - 1
где S– площадь многоугольника,
 В – число узлов решетки, расположенных строго внутри многоугольника,
Г – число узлов решетки, расположенных на его границе, включая вершины.

Слайд #5

А если бы многоугольник выглядел более причудливо,
как на следующих рисунках?

Слайд #6

Пусть В – число узлов решетки, расположенных
строго внутри многоугольника,
Г – число узлов решетки, расположенных
на его границе, включая вершины,  
 
Пример 1. Вычислить площадь многоугольника,
изображенного на клетчатой бумаге по формуле Пика.
S = В + Г/ 2 – 1
В = 14, Г = 8, S = 14 + 8/2 -1= 17 ( кв.ед.)

1.2. Доказательство формулы Пика.
— его площадь. Тогда справедлива формула Пика:

Слайд #7

Покажу справедливость формулы Пика.
Сначала заметим, что формула Пика верна для единичного квадрата.
Действительно, в этом случае имеем:
В=0, Г=4 и
S=0+4/2-1=1.

Слайд #8

2.1.Исследование площадей многоугольников,
изображенных на клетчатой бумаге.
По формуле геометрии
S1 = 1*5: 2 = 2,5.
S2=5*5:2 = 12,5
S = 2,5 + 12,5 = 15(см2)
По формуле Пика
Г=12,B=10 .

S=10+
-1=15(см2)

Слайд #9

Задача №2
По формуле геометрии
По формуле Пика
 
S1 = 1/2 ∙ 3 ∙ 1 = 1,5
S2 = 1/2 ∙ 2 ∙ 1 = 1 см2
S = 1,5 – 1 = 0,5(см2)
В=0, Г=3,
S=0+3/2-1=0,5(см2)
Найти SАВС=?

Слайд #10

Задача №3
По формуле геометрии
По формуле Пика
Sкв.KMEN=7 7=49
Sтр.AKB=1/2 KB* AK=1/2 *4* 4=8
Sтр.DCE=1/2∙ DE∙CE = ½ ∙ 4 ∙ 4 =8
Sтр.AND= 1/2 ND AN=1/2 *3* 3=4,5
Sтр.BMC=1/2∙BМ*СМ=1/2*3*3=4,5
SАВСD= 49-8-8-4,5-4,5=24см
В=18, Г=14
S=18+ 14/2 -1=24 см2
Найти АВСД=?

Слайд #11

Задача №4

Слайд #12

Задача №5

Слайд #13

Задача №6

Слайд #14

Вывод: Таким образом, рассматривая задачи на нахождение площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге, по формулам геометрии и по формуле Пика и сравнивая результаты в таблицах, я показал справедливость формулы Пика и пришел к выводу, что площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по формуле геометрии.
Итак, моя гипотеза оказалась верной.

Слайд #15

2.2.Геометрические задачи с практическим содержанием.

Слайд #16

Слайд #17

Заключение
В процессе исследования я изучил справочную, научно-популярную литературу. Узнал, что задача на нахождение площади многоугольника с вершинами в узлах сетки сподвигла австрийского математика Пик Георга Александрова ( 1859-1942гг) в 1899 году доказал замечательную формулу Пика.
В результате моей работы я расширил свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определил для себя классификацию исследуемых задач, убедился в их многообразии.
Я научился вычислять площади многоугольников, изображенных на клетчатом листке. Рассмотренные задания имеют различный уровень трудности – от простых до олимпиадных. Каждый может найти среди них задачи посильного уровня сложности, отталкиваясь от которых, можно будет переходить к решению более трудных. Такой способ нахождения площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге, буду использовать на ОГЭ для решения задач.

Слайд #18

Литература.
1. Васильев Н.Б. Вокруг формулы Пика, журнал «Квант» №12,1974 г.
2. Кушниренко А. Целые точки в многоугольниках и многогранниках, журнал «Квант» №4, 1977г.
3. Математический энциклопедический словарь. – Москва «Советская энциклопедия» 1988г.
4. Смирнов В. А. ЕГЭ. Математика. Задача В6. Планиметрия. Р/т. – М.: МЦНМО, 2011.
5. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия на клетчатой бумаге. – М.: Чистые пруды, 2009.
6. Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика, журнал « Математика», 2009, № 17
Интернет-ресурсы:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Формула_Пика

Слайд #19

Спасибо за внимание!