Презентация по геометрии на тему "Планиметрия. Полезные факты и задачи"

Слайд #1

Планиметрия.
Полезные факты и задачи
«Если хотите научиться решать задачи,
то решайте их!»
Дьёрдь Пойа
Орешкова Е.В., заместитель директора по УВР МБОУ «Лицей № 9 имени К.Э.Циолковского» города Калуги

Слайд #2

Изучаем учебник геометрии
1.Если АВ+ВС=АС, то точки А, В и С расположены так, что В лежит между А и С.
2.Смежные углы и их свойство
3.Вертикальные углы
4.Признаки равенства треугольников
5.Свойства и признаки равнобедренного треугольника
6.Неравенство треугольника и следствия
7.Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
8.Внешний угол треугольника
9.Окружность (в любой окружности можно провести бесконечное число радиусов !!!)
10.Признаки параллельности прямых (пять): через накрест лежащие углы, через соответственные углы, через односторонние углы, две прямые, параллельные третьей, параллельны, два перпендикуляра к одной прямой параллельны.
11.Свойства углов при параллельных прямых
12.Аксиома параллельности прямых
13.Сумма углов треугольника (доказывать многими способами)
14.Свойство катета, лежащего против угла в 30 градусов
15.Свойство острых углов прямоугольного треугольника
16.Признаки равенства прямоугольных треугольников

Слайд #3

1.Сумма внутренних углов многоугольника
2.Сумма внешних углов многоугольника
3.Параллелограмм и его свойства (пять): противоположные углы равны, противоположные стороны равны, диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180 градусов, биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
4.Высоты параллелограмма и свойство углов между высотами.
5.Признаки параллелограмма
6.Прямоугольник и его свойства
7.Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из прямого угла (№ 404)…И обратно
8.Признаки прямоугольника
9.Ромб и его свойства
10.Признаки ромба
11.Квадрат, свойства и признаки
12.Трапеция, виды трапеции
13.Равнобедренная трапеция, ее свойства и признаки
14.Теорема Фалеса (задача 385)

Слайд #4

Задачи



ОГЭ Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=7, CK=12. Ответ: 52

Слайд #5

Задачи
- Высоты параллелограмма, проведенные из вершины тупого угла, образуют угол 30 градусов. Они равны соответственно 6 см и 10 см. Найдите стороны параллелограмма.
Ответ: 12 см и 20 см

Слайд #6

Задачи
ОГЭ. В треугольнике ABC угол C равен 90°, M — середина стороны AB, AB=20, BC=10. Найдите CM.
Ответ: 10
ЕГЭ –
задание 6.

Ответ: 64

Слайд #7

Многоугольники
четырехугольники
параллелограмм
прямоугольник
ромб
квадрат
трапеция

Слайд #8

Понятие площади, свойства площади
Площадь параллелограмма S=ah=absinγ
Площадь треугольника S=1/2 ah=1/2 absinγ
Площадь прямоугольного треугольника S=1/2 ab
Формула Герона
Площадь ромба S=ah=a^2 sinγ=1/2 d_1 d_2
Формулы для площади треугольника S=1/2 Pr , S=abc/4R
Теорема: если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы
Площадь трапеции S=(a+b)/2 h
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (задача 474)
Площадь выпуклого четырехугольника (задача 478)
Теорема Пифагора и обратная к ней

Слайд #9

Задачи
ОГЭ На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD=3, DC=7. Площадь треугольника ABC равна 20. Найдите площадь треугольника BCD.
Ответ: 14

Слайд #10

Определение подобных треугольников (как записывать подобие)
Признаки подобия треугольников
Отношение площадей подобных треугольников
Свойство биссектрисы угла треугольника (задача 535)
Средняя линия треугольника
Свойство медиан треугольника
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла h=ab/c
Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Таблица значений
«Вертикальная бабочка»
«Горизонтальная бабочка»
Параллельный перенос при решении задач про трапецию, в которых даны основания и боковые стороны или основания и диагонали.

Слайд #11

ОГЭ.
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.

Слайд #12

Задачи
- Боковые стороны трапеции равны 9 и 12, а основания 30 и 45. Найдите угол, который образуют продолжения боковых сторон трапеции.
Ответ: 90
- Диагонали трапеции 5 и 12, основания 3 и 10. Найдите углы между диагоналями трапеции.
Ответ: 90
- Задачи 519 и 520 из учебника

Слайд #13

1. Окружность и прямая
2. Касательная к окружности и ее свойства
3. Отрезки касательных, проведенных из одной точки . . .
4. Центральные углы
5. Вписанные углы, свойство вписанных углов
6. Произведение отрезков хорд
7. Градусные меры дуг окружностей, заключенных между параллельными хордами, равны (задача 659)
8. Задача 661 – частный случай утверждения об остром угле между двумя секущими, проведенными из точки вне окружности
9. Угол между касательной и хордой (задача 664)
10.Перпендикуляр, проведенный из точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые основание перпендикуляра делит диаметр (задача 668)
11.Касательная и секущая (задача 670)
12.Две секущие (задача 672)

Слайд #14

Задачи
ОГЭ. Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P, BP=15, CP=6, DP=10. Найдите AP.
Ответ: 4
ОГЭ. Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB=2, AC=8. Найдите AK.
Ответ: 4

Слайд #15

Свойство биссектрисы угла
Свойство точек серединного перпендикуляра к отрезку
Вписанная окружность. Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис
Описанная окружность. Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров.
В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны
В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусов
Точки A,B.C, D лежат на окружности, то если равны дуги AB и CD, то равны и хорды AB и CD (задача 716)
Если в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырехугольник можно вписать окружность (задача 724)
Если в четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусов, то около этого четырехугольника можно описать окружность (задача 729)

Слайд #16

Средняя линия трапеции
Средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей (задача 797)
В любом четырехугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон – теорема Птолемея (задача 893)
Вектор, координаты вектора
Скалярное произведение векторов, перпендикулярность векторов
Простейшие задачи в координатах: координаты середины отрезка, длина вектора, расстояние между точками
Уравнение прямой
Уравнение окружности

Слайд #17

Синусы смежных углов равны
Косинусы смежных углов противоположны
Теорема синусов и задача 1033
Теорема косинусов и следствие о сумме квадратов диагоналей параллелограмма
Длина окружности
Площадь круга
Площадь сектора
Длина дуги окружности

Слайд #18

ОГЭ. В треугольнике ABC угол C равен 120°, AB=22V3 Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Ответ: 22

Слайд #19

Дополнительные факты
Если в выпуклом четырехугольнике ABCD равны углы ABD и ACD, то около этого четырехугольника можно описать окружность.
Биссектрисы смежных углов перпендикулярны
Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, перпендикулярны
Площадь выпуклого четырехугольника S=1/2 d_1 d_2 sinγ
Свойство трапеции: отрезок, соединяющий середины диагоналей, лежит на средней линии
Свойство равнобокой трапеции: проекция боковой стороны на основание равна полуразности оснований, проекция диагонали трапеции равна полусумме оснований трапеции.
Замечательное свойство трапеции: точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений ее боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам
Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности
Равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния

Слайд #20

Это признак вписанного четырехугольника
ОГЭ
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.

Слайд #21

Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны
Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами
Острый угол между двумя секущими, проведенными из точки вне окружности, равен полуразности дуг, высекаемых секущими окружности
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а и b, гипотенузой с, равен 1/2(a+b-c)
Прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним.
Теорема Чевы
Теорема Менелая

Слайд #22

Теорема Менелая
Если на сторонах АВ, ВС и продолжении АС треугольника АВС
соответственно взяты точки С1, А1 и В1, то эти точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда

Слайд #23

Теорема Чевы
Если на сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС взяты соответственно точки С1, А1 и В1, то отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

Слайд #24

Задачи-утверждения

Утверждение 1:
В треугольнике АВС проведены высоты АМ и СК.
H – точка пересечения высот треугольника (ортоцентр),
Докажите
Треугольники МВК и АВС подобны.
Четырехугольник АКМС можно вписать в окружность
Четырехугольник ВКНМ можно вписать в окружность.
Радиусы окружностей, описанных около треугольников АВС, АНС равны.

Для каких еще треугольников описанная окружность имеет такой же радиус?.

Слайд #25

Утверждение 2: Пусть луч МА пересекает окружность в точках А и В, а луч MD в точках С и D, причем МА больше МВ, MD больше МС. Доказать, что треугольники ВМС и DMA подобны
ОГЭ
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK=6, DK=10, BC=12. Найдите AD.

Слайд #26

Утверждение 3: Пусть у треугольников АВС и АМС сторона АС – общая, угол В равен углу М, причем точки В и М лежат по одну сторону от прямой АС. Тогда точки А, В, С, М лежат на одной окружности.

Утверждение 4: Пусть у треугольников АВС и АМС сторона АС – общая, углы В и М – прямые. Тогда точки А, В, С, М лежат на окружности, радиус которой равен половине АС. (следствие утверждения 3)

Слайд #27

Лемма о трезубце
Утверждение 5: Пусть дан треугольник АВС, АМ – биссектриса угла А, Р- центр вписанной окружности треугольника АВС, Q- центр его вневписанной окружности (которая касается стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС), М – точка пересечения биссектрисы угла А и описанной окружности треугольника АВС. Докажите: МР=МВ=МС

Уточнение :
трезубец состоит из отрезков МР, МВ, МС и МQ.

Слайд #28

ЗАДАЧИ огэ
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK=7, DK=14, BC=10. Найдите AD.
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1. Докажите, что углы AA1C1 и ACC1 равны.
В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что треугольники A1CB1 и ACB подобны.

Слайд #29

Задачи ЕГЭ (2016 год)

Слайд #30

Задачи ЕГЭ (2016 год)
Пусть АВ – хорда окружности с центром О, СВ – касательная к этой окружности, точки А и В лежат по разные стороны от прямой ОС. Радиус окружности ОВ равен 4, углы ОСВ и ОАВ равны.
а) Докажите, что точка О лежит на окружности Ω, описанной вокруг треугольника АВС.
б) Найдите радиус окружности Ω.

Слайд #31

ЗАДАЧИ ЕГЭ (2018 год)

Слайд #32

Задачи ЕГЭ (2019 год)
Точка О – центр вписанной в треугольник АВС окружности. Прямая ВО вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке Р.
А) Докажите, что равны углы РОС и РСО.
Б) Найдите площадь треугольника АРС, если радиус описанной около треугольника АВС окружности равен 4, а угол АВС равен 120 градусов.

Слайд #33

Литература

Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др «Геометрия 7-9», М., «Просвещение», 2014 г
А.А.Прокофьев, А.Г.Корянов «Математика ЕГЭ. Решение планиметрических задач», Легион, Ростов-на Дону, 2018 г
Uchus.onine
Геометрия. ОГЭ. Задачи с развернутым ответом. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова