Презентация по инженерной графике на тему "Геометрические построения"

Слайд #1

Приемы вычерчивания технических деталей
Геометрические построения на плоскости

Слайд #2

Деление отрезков прямых и углов. Перпендикуляр к прямой
Деление отрезка пополам

Отрезок АВ прямой m делится на две равные части перпендикуляром n, проведенным через точки пересечения C и D дуг окружностей радиуса R > 0,5AB с центрами соответственно в точках A и B. Точка E – середина отрезка AB.

Слайд #3

Деление отрезка на заданное число частей
Отрезок АВ прямой m разделен на семь частей посредством вспомогательного луча t, проведенного под острым углом к заданной прямой т через точку А. На луче t от точки А отложить заданное число (n = 7) равных произвольной длины отрезков (отмеченных точками 1, 2, ..., 7). Последнюю точку 7соединить с точкой В и последовательно из каждой точки деления луча t провести ряд прямых параллельно прямой В7 до пересечения с прямой т. Полученные точки 1', 2', ... делят отрезок АВ в искомом отношении.
Деление отрезка прямой на пропорциональные части
Выполняется по аналогии с построением выше с тем лишь отличием, что на вспомогательном луче t откладывают сумму отрезков, составляющих заданное отношение, например АЗ':3'В = 3:4 или А5':5'В = 5:2.

Слайд #4

Построение перпендикуляра к прямой т, проходящего через точку О, лежащую вне этой прямой

Засечкой произвольного радиуса R из точки О отметить на прямой т точки А и В. Используя эти точки как центры, провести равными радиусами дуги окружностей до их взаимного пересечения в точке О'. Получим искомое 00' ⊥ т.

Слайд #5

Построение перпендикуляра к прямой т в точке А, принадлежащей данной прямой

Провести из произвольно выбранного центра О, расположенного вне данной прямой, дугу окружности радиусом R= ОА и отметить на прямой т точку В ее пересечения с дугой.
Провести диаметр ВМ и прямую MA, MA ⊥ АВ, так как вписанный в окружность и опирающийся на ее диаметр угол МАВ — прямой.

Слайд #6

Построение заданного угла

Любой угол можно построить с помощью транспортира или с использованием тригонометрических функций угла (в частности, тангенсов и котангенсов), приближенные значения которых приведены в таблице далее. Например, для угла α = 25° tg α = 0,466. В выбранном масштабе построить прямоугольный треугольник ABC, в котором ∟CAB = arctg 0,466, или АВ = 100 мм, СВ = 46,6 мм. Для углов α > 45° удобно пользоваться значениями котангенсов углов.

Слайд #7

Слайд #8

Построение угла 30°

Построить прямой угол АОВ. Из точки О провести дугу радиусом R, из точки А тем же радиусом R сделать засечку на дуге АВ в точке М. Угол MOB — искомый.

Слайд #9

Построение угла 60°

Из точки О на прямой т провести дугу 1 окружности произвольного радиуса R. Из точки А на той же прямой тем же радиусом провести дугу 2 до пересечения с дугой 1 в точке В. Угол АО В — искомый.

Слайд #10

Деление угла пополам


Из вершины заданного угла провести дугу произвольного радиуса R до пересечения со сторонами угла в точках А и В. Из полученных точек, как из центров, провести две дуги равных радиусов до их взаимного пересечения в точке М. Биссектриса ОМ делит заданный угол пополам.

Слайд #11

Построение угла 75°

Повторить построение для угла 60° и дополнить построением биссектрисы угла АОМ. Угол СОВ — искомый.

Слайд #12

Построение углов 15, 30, 45, 60, 75 и 90° возможно с помощью чертежных треугольников

Слайд #13

Деление прямого угла на семь равных частей
Из вершины прямого угла произвольным радиусом описать дугу АВ. Тем же радиусом из точки В провести дугу 1 до пересечения с дугой АВ в точке С. Провести из точки С перпендикуляр CD к прямой ОВ и разделить его пополам в точке К. Через точку деления К провести перпендикуляр к прямой CD и отметить точку М его пересечения с дугой АВ. Из точки М, как из центра, провести дугу радиусом MB и отметить на дуге АВ точку их пересечения 3. Тем же радиусом MB отметить на дуге АВ (центр в точке 3) точку 2. Угол АО2 — искомый, равный 1/7 прямого угла.

Слайд #14

Деление окружности на равные части. Построение правильных многоугольников
Определение центра дуги
Наметить на дуге окружности три произвольно расположенные точки А, В и С. Соединить точки прямыми АВ и ВС для получения хорд данной дуги. Точка пересечения перпендикуляров, проведенных через середины хорд определяет положение центра исходной дуги.

Слайд #15

Определение центра окружности

В заданной окружности провести две не параллельные между собой хорды АВ и CD. Через середины хорд провести перпендикуляры, пересечение которых определит положение центра исходной окружности.

Слайд #16

Деление окружности на 3, 6 и 12 частей
В окружности заданного радиуса R провести через центр О взаимно перпендикулярные оси АВ и CD. Из любой точки конца диаметра (например, А) провести радиусом R дугу до пересечения с окружностью в точках 1 и 2. Отрезок 1—2 искомая сторона правильного вписанного треугольника 1В2. В свою очередь, отрезки А1 = А2 и C1 = D2 соответственно равны сторонам правильных вписанных шестиугольника и двенадцатиугольника. Для построения недостающих точек (вершин углов) достаточно провести из точки В противоположного конца диаметра окружности дугу того же радиуса R до пересечения с окружностью или измерителем последовательно отложить соответствующие отрезки на основной окружности.

Слайд #17

Деление окружности на 4 и 8 частей
Провести два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD. Отрезки АС = СВ = BD, соединяющие концы диаметров, являются искомыми сторонами правильного четырехугольника, вписанного в окружность. Для деления окружности на восемь частей построить из центра О перпендикуляр к одной из сторон (например, АС) и продолжить его до пересечения с окружностью в точке М. Отрезок AM — искомая сторона правильного восьмиугольника, вписанного в окружность.

Слайд #18

Деление окружности на 5 и 10 частей
Провести два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD и разделить радиус ОВ пополам в точке М. Из точки М, как из центра, провести дугу радиусом МА до пересечения ее с диаметром АВ в точке К. Отрезок СК равен стороне правильного вписанного пятиугольника, отре­зок ОК— десятиугольника. Для деления окружности на пять частей достаточно дугой радиуса СК сделать засечки на исходной окружности в точках 1, 2 и далее; используя точки 1 и 2 как центры, тем же радиусом отметить точки 3 и 4. Точки С, 1, 3, 4, 2 — вершины правильного вписанного пятиугольника.

Слайд #19

Деление окружности на 7 частей
Из точек А и В концов горизонтального диаметра АВ провести дуги окружности радиусом R = АО = ВО и отметить точки их пересечения 1 и 2 с исходной окружностью. На пересечении хорды 1—2 с радиусом OD отметить точку М. Отрезок ОМ равен стороне правильного вписанного семиугольника. Для его построения последовательно отметить на исходной окружности точки 3, 4, 5, 6, 7, 8 радиусом R = ОМ.

Слайд #20

Деление окружности на n равных частей

Провести в окружности заданного радиуса R диаметр АВ и разделить его на заданное число равных частей (на рис. n = 9). Из точек A и В, как из центров, провести дуги окружности радиуса 2R до их пересечения в точках К и М. Используя полученные точки К и М в качестве центров, провести семейство лучей через четные или нечетные точки деления диаметра АВ до пересечения с заданной окружностью. Полученные на окружности точки 1, 2, ..., 9 — искомые точки деления окружности на заданное число частей.
Погрешность построения описанным способом — в пределах 0,01R, что достаточно для практических целей.

Слайд #21

Деление окружности на n равных частей можно также выполнить, используя данные таблицы, где приведены длины сторон правильных многоугольников, вписанных в окружность единичного диаметра. Для получения номинального размера стороны n-угольника достаточно табличное значение длины стороны при выбранном n умножить на числовое значение диаметра окружности.

Слайд #22

Построение правильных многоугольников по заданной длине одной стороны

Сторону АВ разделить точкой О пополам и восстановить в этой точке перпендикуляр к АВ. Из точек А и В радиусом R = АВ провести дуги до их пересечения в точке 1. Тре­угольник А1В — искомый.
Для построения квадрата надо восставить в точках А и В пер­пендикуляры к АВ и продолжить их до пересечения в точках Си D с дугами R = АВ. Квадрат ACDB — искомый.
В квадрате ACDB провести диагонали и отметить точку 2 их пересечения. Разделить расстояние между точками 1 и 2 пополам точкой 3, которая будет служить центром окружности для вписанного в нее правильного пятиугольника со стороной АВ.

Слайд #23

Последовательно откладывая расстояние 1—3 от точки 1 вверх по перпендикуляру, отметить точки 4, 5, 6, ..., которые будут служить центрами окружностей для построения соответственно семи-, восьми-, девятиугольника и т.д. с заданной стороной АВ. Радиусами проводимых при этом окружностей являются расстояния от точки А до соответствующих центров.
Для определения с достаточной для практики точностью длина стороны аn (n — число сторон многоугольника) может быть вычислена в зависимости от заданной высоты Н фигуры по соотношениям а3 = 1,115H; а4 = 0,707H; а5 = 0,650 H; а6 = 0,577Н; а8 = 0,414 H.

Слайд #24

По данным таблицы можно по заданной длине а стороны определить радиус R описанной окружности.

Слайд #25

Сопряжения
Сопряжением принято называть плавный переход прямой линии в дугу окружности или одной дуги в другую. Общая для этих линий точка называется точкой сопряжения.

В основе алгоритма решения задач на построение сопряжений лежат следующие правила.
Правило 1. Прямая, касательная к окружности, составляет прямой угол с радиусом, проведенным в точку касания.
Правило 2. Геометрическим местом центров окружностей, касательных к данной прямой, является прямая, параллельная заданной прямой и отстоящая от нее на величину радиуса окружности.
Правило 3. Точка касания двух окружностей (точка сопряжения) находится на линии, соединяющей их центры.

Слайд #26

В общем случае построение сопряжения двух линий при заданном радиусе сопряжения состоит из следующих этапов:

Построение множества точек, находящихся на расстоянии радиуса сопряжения от первой из сопрягаемых линий.
Построение множества точек, находящихся на расстоянии радиуса сопряжения от второй из сопрягаемых линий.
Определение на пересечении множества точек центра дуги сопряжения.
Определение точки сопряжения на первой (или второй) из сопрягаемых линий.
Проведение дуги сопряжения в зоне между точками сопряжения.

Слайд #27

Построение прямой, касательной к окружности

Для построения прямой t, касающейся окружности в заданной точке А, достаточно в соответствии с правилом 1 провести искомую прямую перпендикулярно радиусу ОА.
Для проведения касательной к окружности, параллельной заданной прямой b, достаточно найти точку сопряжения М на пересечении заданной окружности с перпендикуляром к прямой из центра О: b  ОВ; k  ОВ; k || b.

Слайд #28

Сопряжение пересекающихся прямых дугой окружности данного радиуса

В соответствии с правилом 2 для нахождения центра О сопрягающей окружности провести вспомогательные прямые, параллельные заданным т и n, на расстоянии, равном радиусу R. Точка О пересечения вспомогательных прямых — центр дуги сопряжения. Точки сопряжения А и B лежат в основаниях перпендикуляров к исходным прямым и ограничивают угловой размер дуги сопряжения.
Если положение одной из точек сопряжения задано (точка А на рис.2), а радиус сопряжения не указан, то искомый центр О находится на пересечении перпендикуляра из точки А с биссектрисой угла, образованного заданными прямыми.

Слайд #29

Сопряжение трех пересекающихся прямых
Положение центра сопрягаемой окружности определяется точкой пересечения биссектрис углов. Радиус окружности (дуги сопряжения) равен длине перпендикуляра, опущенного из центра О на любую из заданных прямых.

Слайд #30

Сопряжение дуги окружности и прямой линии дугой заданного радиуса

Внешнее касание (а). Центр О1 дуги сопряжения находится на пересечении вспомогательной прямой, отстоящей от заданной прямой на величину радиуса R1 и дуги радиуса R + R1 из центра О. Точки сопряжения К и М находятся соответственно в основании перпендикуляра О1К и на пересечении прямой ОО1 с основной окружностью.
Внутреннее касание (б). Центр О1 дуги сопряжения находится на пересечении вспомогательной прямой, отстоящей от заданной прямой на величину радиуса R, и дуги радиуса R— R1 центра О. Точки сопряжения — соответственно в основании перпендикуляра О1К и на пересечении продолжения луча ОО1 с основной окружностью.

Слайд #31

Внутреннее касание (б). Центр О3 искомой дуги радиуса R1 находится на пересечении вспомогательных окружностей, описанных из центров О1 и О2 соответствующими радиусами R3—R1 и R3 — R2.
Смешанное касание (в). Центр искомой дуги радиуса R3 находится на пересечении вспомогательных дуг, проведенных из центров О1 и О2 соответствующими радиусами R3 — R1 и R3 + R2. Для всех случаев точки сопряжения окружностей К и М по правилу 3 лежат на лучах, соединяющих центры окружностей.
Сопряжение двух окружностей дугой заданного радиуса R3

Внешнее касание (а). Центр О3 искомой дуги радиуса R3 находится на пересечении вспомогательных окружностей, описанных из центров О1 и О2 соответствующими радиусами R1 + R3 и R2 + R3.

Слайд #32

Построение касательной к окружности через заданную внешнюю точку А

Точки сопряжения К и К1 расположены на окружности при ее пересечении со вспомогательной дугой, проведенной через центр исходной окружности О радиусом, равным половине расстояния ОА.

Слайд #33

Построение касательной к двум окружностям

Внешнее касание (а). Из центра О1 большей окружности построить вспомогательную окружность радиусом R1 — R2. Разделить отрезок О1О2 пополам в точке К и провести вторую вспомогательную окружность с центром в точке К радиусом R = КО1. Точка В пересечения вспомогательных окружностей определяет направление радиуса О1К1, где К1— искомая точка сопряжения для окружности радиусом R1. Для построения точки К2 сопряжения для R2 достаточно из центра О2 провести радиус О2К2 параллельно радиусу О1К1.
Внутреннее касание (б). Из центра О1 большей окружности построить вспомогательную окружность радиусом R1 + R2. Далее воспроизвести построение по рис. а.

Слайд #34

Сопряжение окружности и прямой при условии, что дуга сопряжения проходит через заданную точку А на окружности
Центр дуги сопряжения определяется точкой пересечения луча ОА, проведенного через точку сопряжения А и центр О заданной окружности, и биссектрисы угла АВК, образованного касательной АВ в точке сопряжения и заданной прямой t. Радиус сопрягающей дуги равен расстоянию О1А; 01К  t, где К — точка сопряжения на прямой t.

Слайд #35

Построение окружности, проходящей через данную точку А и касающейся данной окружности с центром О в заданной точке В

Центр О1 дуги сопряжения определяется точкой пересечения луча, проведенного через центр О и заданную точку сопряжения В, с перпендикуляром, восставленным из середины хорды АВ; О1В — радиус искомой окружности.

Слайд #36

Сопряжение окружности данного радиуса и прямой при условии, что дуга сопряжения должна проходить через точку А на прямой t
В данной точке А на прямой восставить перпендикуляр т и отложить на нем отрезок АВ, равный радиусу R заданной окружности. Полученную точку В соединить с центром О окружности и из середины отрезка ОВ восставить к нему перпендикуляр n. В точке пересечения перпендикуляров т и n отметить точку О1 — центр искомой дуги сопряжения. По правилу 3 точка К — точка сопряжения; О1К — радиус дуги сопряжения.

Слайд #37

Сопряжение двух неконцентрических дуг окружностей третьей дугой заданного радиуса
Центр О3 дуги R3 находится на пересечении двух вспомогательных дуг, построенных соответственно из центров O1 и О2 радиусами R1 + R3 и R2 – R3. Точки сопряжения К и М определяются по правилу 3.

Слайд #38

Сопряжение двух параллельных прямых двумя дугами при заданных точках сопряжения
Для построения центров сопряжения О1 и О2 соединить заданные точки сопряжения А и В отрезком АВ. Отметив на АВ произвольную точку М, восставить срединные перпендикуляры к отрезкам AM и MB. Искомые центры О1 и О2 находятся в точках пересечения срединных перпендикуляров с соответствующими перпендикулярами из точек А и В сопряжения. Радиусы сопрягаемых дуг: R1 = O1A; R2 = О2В. Если AM = MB, то R1 = R2.