Несовместные события. Формула сложения вероятностей

Слайд #1

Несовместные события. Формула сложения вероятностей
Цель урока: научиться определять вероятность объединения несовместных событий.

Слайд #2

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
На диаграмме Эйлера изображены два события А и В. Нарисуйте диаграмму в тетради и укажите на ней событие С, которое состоит в том, что:
событие А наступило, а событие В нет;
не наступило ни одно из событий А и В;
наступило хотя бы одно из событий;
наступили оба события.
Какое из этих событий является событием А ∩ В ?
Какое из этих событий является событием А U В ?
Какое из этих событий является событием А U В ?

А
В

Слайд #3

САМОПРОВЕРКА
А
В
А
В
А
В

Слайд #4

НЕСОВМЕСТНЫЕ СОБЫТИЯ
Если события А и В не имеют общих благоприятствующих элементарных событий, то они не могут наступить одновременно в одном и том же опыте.
Такие события называют несовместными.

Пересечение А и В называют невозможным, или пустым, событием: А ∩ В = Ø.

Вероятность пересечения
несовместных событий равна 0:
P(А ∩ В) = P(Ø) = 0.


А
В

Слайд #5

ОТЛИЧИЕ НЕСОВМЕСТНЫХ СОБЫТИЙ ОТ ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ
А
В
А
В
С
Простейшим примером несовместных событий является пара противоположных событий.

Слайд #6

ФОРМУЛА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ НЕСОВМЕСТНЫХ СОБЫТИЙ
Упражнение 1
Бросают одну игральную кость.
Событие А – «выпало чётное число очков».
Событие В – «выпало число очков, кратное пяти».
а) Являются ли события А и В несовместными?
б) Используя правило сложения вероятностей, найдите P(А U В).
Решение:
а) А = {2, 4, 6}, B = {5}, А ∩ В = Ø, значит они несовместные.
Ответ: да.
б) P(А) = 3 6 и P(B) = 1 6
P(А U В) = P (А) + P (В) = 3 6 + 1 6 = 4 6 = 2 3 .

Слайд #7

ФОРМУЛА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ НЕСОВМЕСТНЫХ СОБЫТИЙ
Упражнение 2
События X и Y несовместны. Найдите вероятность их объединения, если:
а) P(X) = 0,2, P(Y) = 0,4;
б) P(X) = 0,5, P(Y) = 0,2.
Решение:
События X и Y несовместны. P(X U Y) = P (X) + P (Y).
а) P(X U Y) = 0,2 + 0,4 = 0,6;
б) P(X U Y) = 0,5 + 0,2 = 0,7.

Слайд #8

ФОРМУЛА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛЯ НЕСОВМЕСТНЫХ СОБЫТИЙ
Упражнение 3
Могут ли события А и В быть несовместными, если:
а) P(А) = 0,6, P(В) = 0,5;в) P(А) = a, P(В) = 1,2 – a;
б) P(А) = 0,1, P(В) = 0,7;г) P(А) = P(В) = 0,5.
Решение:
а) P(А U В)= 0,6 + 0,5 = 1,1 > 1. Ответ: не могут.
б) P(А U В)= 0,1 + 0,7 = 0,8 < 1. Ответ: могут.
в) P(А U В)= a + 1,2 – a = 1,2 > 1. Ответ: не могут.
г) P(А U В) = 0,5 + 0,5 = 1. Ответ: могут (противоположные события).

Слайд #9

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
Какие события называют несовместными?
Чему равна вероятность пересечения несовместных событий?
Как несовместные события изображаются на диаграммах Эйлера?
Как найти вероятность объединения несовместных событий?

Слайд #10

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
Математика. Вероятность и статистика : 7-9 классы : базовый уровень : учебник : в 2 частях / И. Р. Высоцкий, И. В. Ященко; под ред. И. В. Ященко. – Москва : Просвещение, 2023. – Ч. 2. – 112 с.
Совместные и несовместные события. Противоположные события. Полная группа событий/ https://mathter.pro/teorver/1_2_2_sovmestnye_i_nesovmestnye_sobytiya_polnaya_gruppa.html
Совместные и несовместные события в анализе данных/https://practicum.yandex.ru/blog/sovmestnye-i-nesovmestnye-sobytiya-v-analize-dannyh/#nesovmestnye-sobytiya