Презентация к уроку вероятности и статистики по теме "Правило умножения" (8 класс)

Слайд #1

Правило умножения
Подготовила:
учитель математики
МБОУ Г.ГОРЛОВКИ «ШКОЛА № 42»
Рыбина М.В.

Слайд #2

Пример 1
Предположим, у нас есть два множества. Что будет, если составить пары из элементов этих множеств? Например, на переговоры приезжают две дипломатические делегации из двух стран. В первой делегации 3 дипломата, а во второй 4 дипломата.
Каждый дипломат пожимает руки всем дипломатам из другой делегации. Сколько всего случилось рукопожатий? Изобразим оба множества и рукопожатия с помощью графа. Слева (красные вершины) - дипломаты из первой делегации, а справа (синие вершины) - из второй.
Можно считать, что каждое рукопожатие - это пара дипломатов. Таким образом, возникает множество пар. Сколько элементов в этом множестве? Очевидно, столько же, сколько рёбер в этом графе. Попробуйте, не пересчитывая, сразу сказать, сколько их.

Слайд #3

Пример 1
Каждая из 3 красных вершин связана с четырьмя синими вершинами, значит, из каждой красной вершины исходит ровно 4 ребра. Всего красных вершин 3, поэтому всего рёбер 3 • 4 = 12.
Получается, что если имеется множество А = {а, Ь, с}, в котором 3 элемента, и множество В = {r, q, s, t}, в кагором 4 элемента, то можно составить множество пар вида (а, r), (с, s) и т. п. В каждой паре сначала записан какой-то элемент множества А, а потом - какой-то элемент множества В. То есть пары упорядоченные, а всего этих пар 12.

Слайд #4

Правило умножения. Если множество А состоит из n элементов, а множество В - из k элементов, то множество упорядоченных пар (a, b), где а  А, b В, состоит из nk элементов.
Это правило иногда применяется не столь прямо, как мы это сделали в задаче о дипломатах. Иногда его приходится немного видоизменять.

Слайд #5

Пример 2
Предположим , что встречаются 6 человек, и каждый пожимает руки всем остальным. Сколько всего будет рукопожатий?
Решение
Кажется, что задача совсем другая, ведь у нас задача совсем другая, ведь у нас нет двух множеств, а есть одно множество. Тем не менее правило умножения поможет и здесь. Составим все возможные пары, используя множество из 6 человек дважды. Тогда пар будет 6 • 6 = 36. Но при этом мы посчитали и пары, которые каждый образует сам с собой, то есть 6 пар лишние.
Если их удалить, то останется 36 - 6 = 30 пар, но при этом каждое рукопожатие
посчитано дважды. Например, если в этой группе есть Иван и Дмитрий , то получаются две пары (Иван, Дмитрий) и (Дмитрий, Иван), а рукопожатие они делают только одно. Поэтому рукопожатий вдвое меньше, чем пар 30 : 2 =15.
Ответ: 15

Слайд #6

Можно было рассуждать так: каждый из n человек пожал руку каждому из n - 1 оставшихся, поэтому правило умножения даёт n(n - 1) упорядоченных пар, а неупорядоченных - вдвое меньше:
n(n – 1) 𝟐

Слайд #7

Пример 3
Сколько диагоналей у 10-угольника?
Решение.
Диагональ - это «рукопожатие двух вершин». Будем составлять пары : на один конец диагонали поставим любую из десяти вершин (синяя на рисунке), а на другой - любую из семи вершин (кроме выбранной вершины и двух её соседей).
Получается 10 • 7 упорядоченных пар. При этом каждую диагональ мы посчитали 2 раза. Значат, всего диагоналей вдвое меньше: 10∗7 𝟐 =𝟑𝟓
Ответ: 35
Попробуйте вывести формулу для определения количества диагоналей любого n - угольника?
n(n – 3) 𝟐

Слайд #8

Пример 4
Сколько существует треугольников с вершинами в вершинах правильного
пятиугольника?
Решение.
Первую точку можно выбрать пятью способами, вторую - четырьмя, третью - тремя . Получается 5 • 4 • 3 = 60 упорядоченных троек из этих пяти точек. При этом каждый треугольник мы посчитали 6 раз. Например, треугольник АВС посчитан ещё как треугольники АСВ , ВСА , ВАС, САВ и СВА. Значит, 60 нужно разделить на 6.
60 : 6 = 10
Ответ: 10.

Слайд #9

Пример 5
Сколько существует способов составить очередь из 6 человек?
Решение
На первой позиции любой из 6. Тогда за ним можно поставить любого из пяти оставшихся, за ним – одного из четырёх оставшихся, и т. д. Когда мы выберем предпоследнего (2 способа), останется кто-то один, кто и займёт последнее место. С помощью правила умножения получаем, что общее число способов составить разные очереди из шести человек равно
6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 720 .
Ответ: 720.

Слайд #10

В теории вероятностей правило умножения помогает перечислять события. Мы знаем, что общее число результатов двукратного бросания костей можно найти по правилу умножения: 6 • 6 = 36.
Если же мы бросаем три монеты, то может случиться один из 2 • 2 • 2 = 8 результатов, потому что каждый раз монета падает одной из двух сторон вверх.
ПРИМЕР 6. Сколько возможно различных результатов в случайном опыте, в котором игральный кубик бросают 3 раза; 4 раза?
Решение.
При трёхкратном бросании правило умножения даёт
6 • 6 • 6 = 6 3 = 216 вариантов,
а если шестигранную кость бросить четыре раза, то может случиться один из 6 4 = 1296 результатов.

Слайд #11

Задание 1
В группе детского сада 11 мальчиков и 8 девочек. Сколько можно составить пар «мальчик - девочка»?
ОТВЕТ: 88 пар

Слайд #12

Задание 2
Игральная кость имеет форму правильного двенадцатигранника. Грани пронумерованы числами от 1 до 12. Эту кость бросают 2 раза. Сколько существует различных результатов? Считайте, что пары выпавших чисел упорядочены: например, сначала 8, а затем 12 и сначала 12, а затем 8 – это разные результаты.
ОТВЕТ: 144

Слайд #13

Задание 3
Сколько существует натуральных трёхзначных чисел, которые начинаются не цифрой 9 и при этом делятся на 5?
ОТВЕТ: 160

Слайд #14

Задание 4
Четыре подруги отправляли друг другу новогодние открытки: каждая отправила по одной трём другим. Сколько всего открыток было отправлено?
ОТВЕТ: 12

Слайд #15

Задание 5
У Вити восемь разных учебников. Сколько существует способов поставить их в ряд на книжной полке?
ОТВЕТ: 40320

Слайд #16

Задание 6
Натуральное число называется палиндромом, если оно одинаково читается в обе стороны. Например, числа 343 и 89 398 – палиндромы. Сколько существует:
семизначных палиндромов;
Решение: первую и последнюю седьмую цифры можно выбрать 9 способами (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), вторую и шестую – 10 способами (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), третью и пятую – 10 способами, четвертую – 10 способами. Значит, всего 9*10*10*10 = 9000
б) восьмизначных палиндромов?


ОТВЕТ: 9000, 9000

Слайд #17

Домашнее задание:
В множестве А восемь элементов, а в множестве В пять элементов. Сколько можно составить пар вида (а; b), где а  А и b  В?
2. Сколько существует натуральных четырёхзначных чисел, которые составлены только из: a) чётных цифр; б) нечётных цифр?
3. Сколько диагоналей: a) у 15-угольника; б) у 20-угольника?
4. Натуральное число называется палиндромом, если оно одинаково читается в обе стороны. Например, числа 343 и 89 398 – палиндромы. Сколько существует:
a) трёхзначных чисел-палиндромов;
б) четырёхзначных чисел-палиндромов.
5. Сколько существует способов:
a) рассадить пять человек вокруг круглого стола на пять стульев;
б) поставить этих пятерых в хоровод вокруг ёлки?