Презентация к уроку вероятности и статистики по теме "Перестановки и факториал." (10 класс)

Слайд #1

Перестановки. Факториал
Подготовила:
учитель математики
МБОУ Г.ГОРЛОВКИ «ШКОЛА № 42»
Рыбина М.В.

Слайд #2

Некоторые типы комбинаций играют в математике настолько важную роль и встречаются так часто, что для них введены специальные названия и выведены формулы для подсчёта. Начнём с комбинаций, которые называются перестановками.
Подсчитаем, сколько существует разных способов каждому из троих людей присво­ить номер от 1 до 3. Тот же самый вопрос можно задать иначе: сколькими способа­ми можно построить трёх человек в шеренгу?

Слайд #3

Перестановки
Перестановкой из N различных элементов называют комбинацию, в которой все эти N элементов расположены в определенном порядке.
Элементами, которые участвуют в перестановке, могут быть числа,
буквы, шары и вообще любые объекты.
Выпишем для примера все перестановки из чисел 1, 2, 3:
123, 132, 213, 231, 312, 321.
Рассмотрим все перестановки из трёх букв a, b, c:
abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Можно взять в качестве элементов перестановок три разноцветных шара

Слайд #4

Факториал
Конечно, во всех этих случаях количество перестановок будет одинаковым, ведь оно зависит только от того, сколько элементов участвует в перестановке. Мы видим, что из трёх элементов можно составить 6 разных перестановок. Понятно, что из двух элементов перестановок будет 2.
Выведем общую формулу для количества перестановок из N элементов. Будем использовать для этого правило умножения. Первый элемент перестановки можно выбрать N способами; после этого второй элемент —N – 1 способами (поскольку один элемент уже выбран); третий — N – 2 способами и т. д. до последнего элемента, который можно будет выбрать только одним способом (это единственный элемент, который ещё не был выбран). По правилу умножения общее количество комбинаций будет равно произведению N ∙ (N – 1) ∙ (N – 2) ∙ … ∙ 1.
Мы получили, что количество всех перестановок из N элементов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до N. Это произведение называется в математике факториалом числа N (от латинского factorialis — «умножающий») и обозначается N!:
N! = 1234……. N
Отметим также, что значение 0! = 1.

Слайд #5

Факториалы чисел от 0 до 10
Факториал n! быстро растёт с увеличением n. Поэтому даже для 10 предметов перестановок очень много и выписать все практически невозможно.

Слайд #6

Пример 1
Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, если в каждом числе ни одна цифра не повторяется?
Решение
Из данных пяти цифр можно образовать Р 5 = 5! пятизначных чисел. Но так как среди цифр есть 0, то необходимо исключить те числа, которые начинаются с него, то есть Р 4 = 4! (ноль стоит на первом месте, а остальные цифры переставляем).
Тогда Р 5 - Р 4 = 5! - 4! = 120 - 24 = 96
Ответ: 96

Слайд #7

Пример 2
Сколькими различными способами можно разместить 10 человек вокруг круглого стола?
Решение
Если бы это было размещение в ряд, то число способов размещения было бы равно Р 10 = 10!. Но так как они сидят за круглым столом, то сдвиг по окружности относительно центра не считается.
Тогда Р 10 10 = 10! 10 =9!= 362880
Ответ: 362880

Слайд #8

Пример 3
Десять групп учатся в десяти размещенных рядом аудиториях. Сколько существует вариантов размещения групп по аудиториям, при которых группы № 1 и № 2 будут находиться в соседних аудиториях?
Решение
Условно объединим группы № 1 и № 2 в одну. Тогда способов размещения будет Р 9 . Группы № 1 и № 2 можно поменять между собой местами Р 2 способами.
Итак, по правилу произведения:
Р 9 ∗Р 2 = 9!∗2!= 362880*2= 725760
Ответ: 725760

Слайд #9

Пример 4
Сколькими способами можно расставить 4 книжки по алгебре и 3 по геометрии, чтобы все книжки по геометрии стояли подряд.
Решение
Объединим книжки по геометрии условно в одну. Тогда имеем 5 книг и Р 5 перестановок. Книги по геометрии можно расставить между собой Р 3 способами. Всего по правилу произведения:
Р 5 * Р 3 = 5!*3!=120*6=720
Ответ: 720

Слайд #10

Пример 5
Сколько пятицифровых чисел можно образовать из цифр 1, 2, 3, 4, 5 (без повторения) так, чтобы четные цифры не стояли рядом?
Решение
Из этих цифр можно образовать Р 5 пятицифровых чисел. Среди них есть и такие, которые содержат 2 и 4 рядом: Р 4 ∗ Р 2 (смотреть предыдущие две задачи).
Итак, Р 5 − Р 4 ∗ Р 2 = 120 – 24*2= 72
Ответ: 72

Слайд #11

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!
Выбери правильный ответ:
Сколько различных последовательностей (необязательно осмысленных) можно составить из букв слова бирка?

Слайд #12

Задание 1
Сколькими способами можно расставить 8 участников финального забега на 8 беговых дорожках?
Решение
Р 8 = 8! = 40 320.

Слайд #13

Задание 2
Полное собрание сочинений братьев Стругацких включает в себя 33 тома.
Сколькими способами это собрание можно расставить на полке?
Решение
Р 33 = 33! = 8 683 317 618 811 886 495 518 194 401 280 000 000

Слайд #14

Задание 3
Вычислите значение дроби:
а) 5! 2! ; б) 7! 5! ; в) 10! 8! ;
г) 100! 99! ; д) 15! 13! ∙ 2! ; е) 12! 3! ∙ 9! .

Слайд #15

Задание 4
Участники лыжных соревнований стартуют с интервалом в 30 секунд. Чтобы определить порядок старта, спортсмены тянут жребий, определяющий номер старта. Сколько существует различных последовательностей выхода лыжников на старт, если в соревнованиях принимают участие:
а) 6 лыжников;
б) 8 лыжников;
в) 10 лыжников.

Слайд #16

Задание 5
Сколько различных последовательностей (не обязательно осмысленных) мож­но составить из букв слова:
а) учебник;
б) автор;
в) фонарь;
г) бабуин;
д) кокос.

Слайд #17

Задание 6
Выпишите все натуральные делители числа: 5!

Решение:
5! = 1*2*3*4*5
Однозначные: 1, 2, 3, 4, 5
Перемножаем по 2: 6, 8, 10, 12, 15, 20
Перемножаем по 3: 24, 30, 40, 60
Перемножаем 4: 120

Слайд #18

Задание 7
Ответ: 362880

Слайд #19

Задание 8

Сколько различных комбинаций у тренера, если ему необходимо раздать футболистам номера с 7 по 13?
Ответ: 5040

Слайд #20

Заполни пропуски в решении задачи
362880
5040

Слайд #21

Задание 9
Упростите выражения:





Подсказка: n!=1*2*3….*n
(n-2)! = 1*2*3…*(n-2)
(n+1)! = 1*2*3…*(n-2)*(n-1)*n*(n+1)

Слайд #22

Домашнее задание:
Выучить правила и формулу § 11 п.3
1. В автосервис одновременно приехали 4 машины для ремонта. Сколько суще­ствует способов выстроить их в очередь на обслуживание?
2. Сколько есть способов раздать спортивные номера с 1 – й по 5 – й пяти хоккеи­стам?
3. Выпишите все натуральные делители числа: 4!
4. Вычислите:
а) 12! 9! ; б) 30! 29!2! ; в) 15! 2!16! ; г) 14! 12! ; д) 36! 2!34! ; е) 25! 23!5!
5. Сколько различных последовательностей (не обязательно осмысленных) мож­но составить из букв слова:
а) книга;
б) топот