Презентация к уроку вероятности и статистики по теме "Формула бинома Ньютона." (10 класс)

Слайд #1

Формула бинома Ньютона
Подготовила:
учитель математики
МБОУ Г.ГОРЛОВКИ «ШКОЛА № 42»
Рыбина М.В.

Слайд #2

«Подумаешь, бином Ньютона!» — эта фраза одного из героев романа «Мастер и Маргарита» сделала понятие бинома синонимом чего-то очень сложного и непонятного.
В рассказе «Последнее дело Холмса» о профессоре Мориарти и вовсе сказано, что «он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность».
Если в цитате из романа Булгакова сквозит ирония, то у Конан Дойла здесь явное преувеличение: вряд ли в XIX в. можно было завоевать европейскую известность таким трактатом. К этому времени формула бинома
Ньютона давно входила в программы школ и колледжей.

Слайд #3

В алгебре биномом Ньютона называется выражение вида (𝒂+𝒃) 𝑵 ,
а формулой бинома Ньютона — тождество, позволяющее раскрыть скобки в этом выражении и представить его как сумму одночленов.
Вам хорошо известны частные случаи этой формулы для N = 2 и N = 3. Это формулы квадрата суммы:
(𝒂+𝒃) 𝟐 = 𝒂 𝟐 + 2ab + 𝒃 𝟐
и куба суммы:
(𝒂+𝒃) 𝟑 = 𝒂 𝟑 + 3 𝒂 𝟐 b + 3a 𝒃 𝟐 + 𝒃 𝟑 .
Обратите внимание, что если выписать коэффициенты перед слагаемыми в правых частях этих тождеств, то получатся вторая и третья строки треугольника Паскаля:
1 2 1
1 3 3 1

Слайд #4

Проверим, сохранится ли эта закономерность для четвёртой степени:
(𝒂+𝒃) 𝟒 = ( 𝒂 𝟐 + 2ab + 𝒃 𝟐 )( 𝒂 𝟐 + 2ab + 𝒃 𝟐 ) =
= 𝒂 𝟒 + 2 𝒂 𝟑 b + 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 + 2 𝒂 𝟑 b + 4 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 + 2a 𝒃 𝟑 + 𝒃 𝟐 𝒂 𝟐 + 2a 𝒃 𝟑 + 𝒃 𝟒 =
= 𝒂 𝟒 + 4 𝒂 𝟑 b + 6 𝒂 𝟐 𝒃 𝟐 + 4a 𝒃 𝟑 + 𝒃 𝟒 .
Всё подтвердилось:
1 4 6 4 1.
Эту закономерность обнаружили многие средневековые математики в Китае, Индии и на Ближнем Востоке. В 1665 г. Исаак Ньютон (1643—1727) обобщил эту формулу для дробных и отрицательных показателей степени. Поэтому с тех пор она и носит его имя.

Слайд #5

Слайд #6

Слайд #7

Слайд #8

Следствия из формулы Ньютона:

а) показатели степени а убывают от n до 0, а показатели степени b возрастают от 0 до n. Сумма показателей при а и b в любом слагаемом разложения равняется n.
б) биноминальные коэффициенты равноудалённые от концов – равны 𝑪 𝒏 𝒎 = 𝑪 𝒏 𝒏−𝒎
в) общий член разложения имеет вид:
Тm+1 = 𝑪 𝒏 𝒎 ∙ 𝒂 𝒏−𝒎 ∙ 𝒃 𝒎 , m = 0, 1, ... n.
г) сумма биноминальных коэффициентов равна 2 𝑛 .
𝑪 𝒏 𝟎 + 𝑪 𝒏 𝟏 + …+ 𝑪 𝒏 𝒏 = 𝟐 𝒏 .

Слайд #9

Задание 1
Разложите (х – 2у)6.
Р е ш е н и е:
Пусть а = х, b = – 2у, тогда:
(х – 2у)6 = 𝐶 6 0 x6 (– 2у) 0 + 𝐶 6 1 x5(– 2у) + 𝐶 6 2 x4(– 2у)2 +
+ 𝐶 6 3 x3(– 2у)3 + 𝐶 6 4 x2(– 2у)4 + 𝐶 6 5 x(– 2у)5 + 𝐶 6 6 𝑥 0 (– 2у)6 =
=1  х6 + 6х5(– 2у) + 15х4  4у2 + 20х3(– 8y3) + 15х2  16y4 + + 6х(– 32y5) + 1  64y6 = х6 – 12х5у + 60х4y2 – 160х3y3+ +240х2y4 – 192ху5 + 64y6.

Слайд #10

Задание 2
Найдите 13 – й член разложения бинома ( 3 3 + 2 )15.
Р е ш е н и е:
Тm+1 = 𝑪 𝒏 𝒎 ∙ 𝒂 𝒏−𝒎 ∙ 𝒃 𝒎
𝑪 𝒏 𝒎 = 𝑪 𝒏 𝒏−𝒎
T13 = T12 + 1 = 𝐶 15 12 3 3 3 ∙ 2 12 = 𝐶 15 3 ∙3 ∙ 2 6 = 15 ∙14 ∙13 1 ∙2 ∙3  3  26 = 87360.
Значит, Т13 = 87360.

Слайд #11

Задание 3
Найти восьмой член разложения (х – а)12.
Р е ш е н и е:
Здесь (х – а)12 = (х + (– а))12.
По формуле общего члена разложения бинома имеем:
Т 8 = Т 7+1 = 𝐶 12 7 𝑥 12−7 (– a)7 = – 𝐶 12 7 𝑥 5 a7 = – 𝐶 12 7 𝑥 5 a7 = = – 1584а7x5.

Слайд #12

Задание 4
Найдите номер члена разложения бинома
3 𝑥 + 1 𝑥 16 , который не содержит x.
Р е ш е н и е:
Tm + 1 = 𝐶 16 𝑚 3 𝑥 16−𝑚 ∙ 1 𝑥 𝑚 = 𝐶 16 𝑚 𝑥 16−𝑚 3 𝑥 −𝑚 =
= 𝐶 16 𝑚 𝑥 16−𝑚 3 −𝑚 = 𝐶 16 𝑚 𝑥 16−4𝑚 3 .

𝑥 16−4𝑚 3 = x0.
16−4𝑚 3 = 0, m = 4.
т. е. 5 – й член не зависит от х.

Слайд #13

Задание 5
В разложении 𝑥 + 3 𝑥 2 12 найти член, содержащий после упрощения х в седьмой степени.
Р е ш е н и е:
По формуле общего члена разложения бинома
𝑇 𝑘+1 = 𝐶 12 𝑘 𝑥 12−𝑘 ∙ 3 𝑥 2 𝑘 = 𝐶 12 𝑘 𝑥 1 2 12−𝑘 ∙ 𝑥 2 3 𝑘 =

= 𝐶 12 𝑘 𝑥 6− 𝑘 2 ∙ 𝑥 2𝑘 3 = 𝐶 12 𝑘 𝑥 6− 𝑘 2 + 2𝑘 3 =𝐶 12 𝑘 𝑥 6+ 𝑘 6 . 

По условию задачи, 6 + 𝑘 6 = 7, откуда k = 6. Таким образом, искомый член будет седьмой.
Он равен Т6 + 1 = 𝐶 12 6 𝑥 7 = 12 ∙11 ∙10 ∙9 ∙8 ∙7 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5 ∙6 x7 = 924x7.

Слайд #14

Проверь себя!

Слайд #15

Проверь себя!
С 𝟔 𝟐 𝒙 𝟒 𝟑 𝟐

Слайд #16

Проверь себя!
3 – е слагаемое
С 𝟒 𝟐 (𝟑𝒏) 𝟐 𝟐 𝟐
4 – е слагаемое С 𝟓 𝟑 (𝟐𝒏) 𝟐 𝟑 𝟑

Слайд #17

Проверь себя!

Слайд #18

Проверь себя!
𝟖

Слайд #19

Домашнее задание:
1. По формуле бинома Ньютона найти разложение степеней:
a) (3x + 4y)6; б) х− 1 х 5 .
2. В разложении х 2 − 3 х 3 15 вычислить член, не содержащий х.

Слайд #20

Использованные источники:
https://www.yaklass.ru/p/algebra/11-klass/nachalnye-svedeniia-kombinatoriki-9340/treugolnik-paskalia-binom-niutona-9489/re-68cef02b-cc12-4a58-8840-b3a2004cf3dd