Презентация к уроку вероятности и статистики по теме "Бинарный случайный опыт (испытание), успех и неудача. Серия независимых испытаний Бернулли. " (10 класс)

Слайд #1

Бинарный случайный опыт (испытание), успех и неудача. Серия независи­мых испытаний Бернулли.
Подготовила:
учитель математики
МБОУ Г.ГОРЛОВКИ «ШКОЛА № 42»
Рыбина М.В.

Слайд #2

В этой главе мы будем изучать испытания Бернулли. Это одна из наиболее важных вероятностных моделей, которая используется для решения многих практических задач. Впервые её рассмотрел в своих работах швейцарский математик Якоб Бернулли (1655—1705), один из представителей многочисленного математического семейства Бернулли.
Мы уже не раз сталкивались с испытаниями Бернулли, сами того не подозревая. Подбрасывание монеты или кубика, стрельба в мишень, проверка деталей на соответствие стандарту и многие другие серии случайных опытов — всё это примеры таких испытаний. Разберёмся, что объединяет все эти примеры и почему для их изучения можно рассматривать одну и ту же вероятностную модель.

Слайд #3

В теории вероятностей испытаниями Бернулли называют серию одинаковых независимых случайных опытов, каждый из которых может завершиться одним из двух исходов — успехом или неудачей.
Вероятности успеха и неудачи обозначают буквами p и q. Поскольку в каждом испытании возможны только эти два исхода, то p + q = 1.
Важным требованием к испытаниям Бернулли является то, что вероятности p и q остаются постоянными и не изменяются в процессе проведения испытаний.
Второе важное требование — независимость испытаний. Это означает, что результаты предыдущих испытаний никак не влияют на вероятности появления успеха и неудачи в последующих испытаниях. Понятно, что с монетой дело обстоит именно так. Но если речь идёт о стрельбе в мишень на каких-то важных соревнованиях, то в независимость может вмешаться психологический фактор: не исключено, что, совершив промах, спортсмен занервничает, и вероятность успеха в следующем выстреле может уменьшиться. Может быть и наоборот — он соберётся, и тогда вероятность успеха увеличится. Здесь, как всегда при построении математической модели, мы сами должны решить: существенна эта зависимость или ею можно пренебречь.

Слайд #4

Испытания до первого успеха
Рассмотрим опыт, в котором одинаковые испытания проводятся до наступления первого успеха. Как только успех случился, испытания прекращаются.
ПРИМЕР 1. Монету бросают до тех пор, пока не выпадет орёл.
ПРИМЕР 2. Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не собьёт её.
ПРИМЕР 3. Мобильный телефон в условиях слабой связи пытается отправить СМС. Если попытка неудачная, телефон предпринимает следующую . Так продолжается до тех пор, пока очередная попытка не окажется удачной, либо пока не кончится время, отведенное на попытки.
ПРИМЕР 4. Фрагмент файла загружается из Интернета в компьютер. Загрузка идёт до тех пор, пока не пройдёт без ошибок.
ПРИМЕР 5. Самолёт осматривают перед каждым рейсом и допускают к полёту, пока не обнаружено отклонение от нормы в работе жизненно важных систем.

Слайд #5

Мы будем предполагать, что в каждом испытании вероятность успеха неизменно равна р и что все испытания независимы. Исследуем такой случайный опыт.
Обозначим неудачу буквой Н, а успехами являются последовательности буквой У. Тогда элементарными события - У, НУ, ННУ, НННУ, ННННУ и т. д.
Будем считать, что попытки могут продолжаться сколь угодно долго. Значит, теоретически в этом опыте бесконечно много элементарных событий. Несложно нарисовать начальный фрагмент дерева такого опыта

Слайд #6

Элементарные события изображаются цепочками, ведущими из точки S к конечным вершинам. Например, элементарное событие НННУ (три неудачи и затем успех) изображается в этом дереве цепочкой SHHHY (выделена красным цветом).




Пользуясь правилом умножения, несложно найти вероятность каждого элементарного события:

Слайд #7

Слайд #8

Пример 6
Стрелок стреляет по мишени до первого попадания. Вероятность попадания
при каждом отдельном выстреле равна р = 0,2. Какова вероятность того, что
стрелку потребуется:
а) ровно два выстрела; б) не больше пяти выстрелов?

Слайд #9

Испытания Бернулли
Рассмотрим элементарные события в последовательности из трёх испытаний. Каждое испытание оканчивается либо успехом ( У) , либо неудачей (Н). После трёх испытаний мы можем получить одно из восьми элементарных событий:
УУУ, УУН, УНУ, НУУ, ННУ, УНН, НУН, ННН.
Отдельные испытания Бернулли независимы , поэтому вероятность каждого элементарного события можно найти с помощью правила умножения вероятностей.

Слайд #10

Для трёх испытаний мы получили 8 = 2 3 элементарных событий, для четырёх испытаний их будет уже 16 = 2 4 , для пяти испытаний их будет 32 = 2 5 и т. д., для n испытаний мы получим 2 𝑛 элементарных событий.
Элементарным событием в серии испытаний Бернулли является не отдельный успех ил и неудача, а последовательность успехов и неудач. В серии из n испытаний Бернулли всего 𝟐 𝒏 различных элементарных событий .
Пример 7. Простейшая серия испытаний Бернулли - бросание симметричной монеты.
В этом опыте вероятности успеха (орла) и неудачи (решки) одинаковы и равны 0,5. Поэтому вероятности всех элементарных событий одинаковы.
Если монету бросают дважды, то всего 𝟐 𝟐 =𝟒 элементарных событий и вероятности всех событий 00, ОР, РО и РР равны 0,25.
Если монету бросают 10 раз, то всего 𝟐 𝟏𝟎 = 1024 элементарных события, и вероятность каждого равна 1024.

Слайд #11

Рассмотрим серии испытаний, где вероятности успеха и неудачи неодинаковы.
Пример 8. Биатлонист делает по очереди 5 выстрелов по пяти мишеням. Известно, что он попадает в мишень в среднем 8 раз из 10. Какова вероятность того, что будут поражены первая, третья и четвёртая мишени, а вторая и пятая нет.
Такое событие в наших обозначениях имеет вид УНУУН. И вероятность его равна pqppq = 𝑝 3 𝑞 2 . Из условия следует, что р = 0,8, а q = 0,2. Подставляя эти значения, получаем:
𝑝 3 𝑞 2 = 0,8 3 • 0,2 2 = 0,512 • 0,04 = 0,02048  0,02
ВЫВОД. В серии из n испытаний Бернулли вероятность элементарного события, в котором произвольным образом чередуются k успехов и n - k неудач, равна 𝑝 𝑘 𝑞 𝑛−𝑘

Слайд #12

Мы видим, что вероятность каждой серии зависит только от того, сколько в ней успехов и неудач, а не от того, как они между собой чередуются. В общем случае, если серия содержит k успехов и (N – k) неудач, то её вероятность будет равна 𝑝 𝑘 𝑞 𝑁−𝑘 . Чтобы получить вероятность 𝑃 𝑁 (𝑘), остаётся сделать последний шаг: посчитать, сколько всего серий, которые содержат ровно k успехов. Другими словами, нам нужно найти количество вариантов, которые содержат ровно k единиц.
Для формирования такого варианта нужно выбрать k из N мест, на которых будут стоять У, а на оставшиеся места поставить Н. Выбрать k из N мест можно 𝐶 𝑁 𝑘 способами. Значит, всего серий, в которых ровно k успехов, будет 𝐶 𝑁 𝑘 . Поскольку вероятность каждой такой серии одна и та же и равна 𝑝 𝑘 𝑞 𝑁−𝑘 , то получаем следующее выражение для вероятности получить k успехов в N испытаниях:
𝑷 𝑵 (𝒌)= 𝑪 𝑵 𝒌 * 𝒑 𝒌 𝒒 𝑵−𝒌 .
Полученная формула носит название формулы Бернулли и была доказана швейцарским математиком Якобом Бернулли более 300 лет тому назад.

Слайд #13

Слайд #14

Задание 1
Проведена серия из n испытаний Бернулли. Найдите n, если общее число элементарных событий равно:
а) 16; б) 64; в) 256; г) 2048.

Слайд #15

Задание 2
Стрелок в тире пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. С какой вероятностью он:
а) все пять раз попадёт в мишень;

б) первые четыре раза попадёт, а последний — промахнётся;

в) первые три раза промахнётся, а последние два — попадёт?
C 5 5 ∗0,6 5 ∗ 0,4 0 =0,077760,08
C 5 4 ∗0,6 4 ∗ 0,4 1 =5∗0,1296∗0,4=0,25920,26
C 5 2 ∗0,4 3 ∗0,6 2 =10∗0,064∗0,36=0,23040,23

Слайд #16

Задание 3
У вас в кармане 7 орехов. Вероятность, что орех будет пустым, равна 0,4. Какова вероятность того, что у вас по крайней мере 3 полных ореха?
Решение
Вероятность того, что орех будет полным 1 – 0,4 = 0,6
Вероятность того, что 3 ореха будут полными:
𝑪 𝟕 𝟑 ∗0,6 3 ∗ 0,4 4 =35∗ 0,216∗0,0256=0,193536
Вероятность того, что 4 ореха будут полными:
𝑪 𝟕 𝟒 * 0,6 4 ∗ 0,4 3 =35∗ 0,1296∗0,064=0,290304
Вероятность того, что 5 ореха будут полными:
𝑪 𝟕 𝟓 * 0,6 5 ∗ 0,4 2 =21∗ 0,07776∗0,16=0,2612736
Вероятность того, что 6 ореха будут полными:
𝑪 𝟕 𝟔 * 0,6 6 ∗ 0,4 1 =7∗ 0,046656∗0,4=0,1306368
Вероятность того, что 7 ореха будут полными:
𝑪 𝟕 𝟕 ∗ 0,6 7 ∗ 0,4 0 =0,0279936
Всего:0,193536 +0,290304 +0,2612736 +0,1306368 + 0,0279936 = 0,903744

Слайд #17

Задание 3 (2 способ)
Вероятность того, что орех будет полным 1 – 0,4 = 0,6
Нам не подходят три события: когда вообще не будет полных орехов, когда будет один полный орех, когда будет два полных ореха.
Вероятность того, что 2 ореха будут полными:
𝑪 𝟕 𝟐 ∗0,6 2 ∗ 0,4 5 =21∗ 0,36∗0,01024= 0,0774144
Вероятность того, что 1 орех будет полным:
𝑪 𝟕 𝟏 ∗ 0,6 1 ∗ 0,4 6 =7∗0,6∗0,004096= 0,0172032
Вероятность того, что вообще не будет полных орехов :
𝑪 𝟕 𝟎 ∗ 0,6 0 ∗ 0,4 7 =0,0016384
1 – 0,0774144 - 0,0172032 - 0,0016384 = 0,903744

Слайд #18

Задание 4
В подъезде горят 5 лампочек. Вероятность, что любая лампочка не перегорит в течение ближайшего месяца, равна 0,2. Какова вероятность того, что в течение месяца:
а) сгорят все лампочки;
б) сгорит ровно одна лампочка;
в) останутся гореть по крайней мере 3 лампочки?

Слайд #19

Задание 5
В гараже имеется 12 автомобилей. Вероятность выхода на линию каждого из них равна 0,9. Найдите вероятность нормальной работы гаража в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 10 автомобилей.

Слайд #20

Задание 6
Два игральных кубика бросают 5 раз. Найдите вероятности событий:
а) сумма 7 выпадет по крайней мере дважды;
Подсказка: когда бросают два игральных кубика, то всего 36 элементарных событий. Благоприятные для нас, когда в сумме 7 ((1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;2)) – 6 штук. Тогда вероятность этого события 6 36 = 1 6 ,
а вероятность, что оно не произойдет 1 - 1 6 = 5 6
б) сумма 6 выпадет 3 раза.

Слайд #21

Задание 7
С какой вероятностью орлов выпадет больше, чем решек, если монету бросают 4 раза?

Слайд #22

Домашнее задание:
1. На склад поступают детали, из которых около 5% бракованных. Найдите вероятность того, что среди 10 наугад взятых деталей:
а) не будет бракованных;
б) будет 2 бракованных;
в) будет не больше 2 бракованных.
2. Два игральных кубика бросают 5 раз. Найдите вероятности событий:
б) сумма 12 выпадет по крайней мере дважды.
в) сумма 5 выпадет 3 раза.
3. С какой вероятностью орлов выпадет больше, чем решек, если монету бросают 5 раз.

Слайд #23

Использованные источники:
https://www.yaklass.ru/p/veroyatnost-i-statistika/9-klass/ispytaniia-bernulli-7365901/ispytaniia-bernulli-veroiatnosti-sobytii-v-serii-ispytanii-7338265/re-87fc196e-6e9b-4914-b452-c8f93216b4d6
https://resh.edu.ru/subject/lesson/4929/conspect/38411/