Презентация по слайдам:
Слайд #1
Серия независимых испытаний до первого успеха.
Подготовила:
учитель математики
МБОУ Г.ГОРЛОВКИ «ШКОЛА № 42»
Рыбина М.В.
Слайд #2
Повторим!
В теории вероятностей испытаниями Бернулли называют серию одинаковых независимых случайных опытов, каждый из которых может завершиться одним из двух исходов — успехом или неудачей.
Вероятности успеха и неудачи обозначают буквами p и q. Поскольку в каждом испытании возможны только эти два исхода, то p + q = 1.
Элементарным событием в серии испытаний Бернулли является не отдельный успех ил и неудача, а последовательность успехов и неудач. В серии из n испытаний Бернулли всего 2 𝑛 различных элементарных событий .
Вероятность получить k успехов в N испытаниях:
𝑷 𝑵 (𝒌)= 𝑪 𝑵 𝒌 * 𝒑 𝒌 𝒒 𝑵−𝒌 .
Слайд #3
Если сформулировать задачу более точно, то она будет выглядеть так.
Проводится серия испытаний Бернулли с вероятностью успеха p и вероятностью неудачи q = 1 – p. Испытания проводятся до появления первого успеха. Нужно вычислить вероятность, с которой первый успех появится на первом шаге, на втором шаге и т. д.
С одной стороны, ситуация даже проще: параметр N отсутствует, поэтому искомая вероятность зависит только от номера шага k, на котором происходит первый успех, и от вероятности успеха p. С другой — первый успех может наступить на любом шаге, поэтому этих вероятностей бесконечно много. Обозначим их по аналогии с вероятностями в формуле Бернулли P(1), P(2), … и найдём общую формулу для P(k).
Общая формула для вероятности получения первого успеха на k-м шаге, где k ≥ 1, будет выглядеть так:
P(k) = 𝒒 𝒌−𝟏 ∗ p
Слайд #4
Пример 1
Монету подбрасывают до тех пор, пока не выпадет орёл. С какой вероятностью это произойдёт на первом шаге? на втором? на k-м?
Решение
Для монеты p = q = 1 2 , поэтому P(k) = 𝒒 𝒌−𝟏 ∗ p = ( 𝟏 𝟐 ) 𝒌−𝟏 ∗ 𝟏 𝟐 = 𝟏 𝟐 𝒌−𝟏+𝟏 = 𝟏 𝟐 𝒌 . Найдём несколько первых значений P(k)
Слайд #5
Пример 2
Кубик подбрасывают до тех пор, пока не выпадет шестёрка. С какой вероятностью это произойдёт на первом шаге? на втором? на k-м?
Решение
Для кубика p = 1 6 , q = 5 6 , поэтому P(k) = ( 𝟓 𝟔 ) 𝒌−𝟏 ∗ 𝟏 𝟔 = 𝟓 𝒌−𝟏 𝟔 𝒌 . Найдём несколько первых значений P(k)
Слайд #6
Пример 3
Ученик отвечает на вопросы теста, выбирая каждый раз наугад один из
четырёх вариантов ответа. Тестирование продолжается до тех пор, пока
ученик не даст первый правильный ответ. С какой вероятностью это произойдёт на первом вопросе? на втором? на k-м?
Решение
p = 1 4 , q = 3 4 , поэтому P(k) = ( 𝟑 𝟒 ) 𝒌−𝟏 ∗ 𝟏 𝟒 = 𝟑 𝒌−𝟏 𝟒 𝒌 . Найдём несколько первых значений P(k)
Слайд #7
Во всех примерах найденные вероятности с ростом k убывают и довольно быстро. В этом нет ничего удивительного: если внимательно посмотреть на формулу, то можно увидеть, что числа P(k) образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q < 1 и первым членом, равным p.
Вспомним формулу для суммы такой прогрессии, известную вам из курса алгебры:
p + qp + 𝒒 𝟐 p + 𝒒 𝟑 p + 𝒒 𝟒 p + ... = p 1 – q = p p = 1.
Получили интересный факт: сумма всех найденных вероятностей равна 1. Это значит, что первый успех обязательно наступит на каком-то шаге и его не придётся ждать бесконечно долго.
Испытания Бернулли до первого успеха — первая модель случайного
опыта, в котором мы столкнулись с бесконечным числом не равновозможных исходов. Это приводит к тому, что при вычислении вероятностей многих случайных событий приходится вычислять суммы, содержащие бесконечное число слагаемых.
Одну из таких сумм, равную 1, мы только что нашли — она оказалась суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Рассмотрим ещё несколько примеров, которые приводят к подобным вычислениям.
Слайд #8
Пример 4
По каналу связи, в котором есть помехи, передаются сообщения. Вероятность правильной передачи сообщения составляет 0,7. Если сообщение передано с ошибками, оно повторяется. С какой вероятностью для правильной передачи понадобится более 3 попыток?
Слайд #9
Пример 5
Антон и Борис по очереди бросают монету. У кого первого выпадет орёл — тот и выиграл. Антон бросает первым. Справедлива ли такая игра?
Слайд #10
Пример 6
Ещё один пример связан с так называемой обратной задачей, когда нужно не по числу испытаний найти вероятность, а наоборот — по заданной вероятности найти, сколько потребуется испытаний.
Вероятность, что тест обнаружит ошибку, которая содержится в компьютерной программе, составляет около 0,2. Сколько тестов нужно подготовить, чтобы выявить ошибку (разумеется, если она там есть) с вероятностью, большей 0,99?
Решение
Испытания Бернулли состоят в последовательном запуске программы на различных тестах. Успехом считается обнаружение ошибки, поэтому p = 0,2; q = 0,8.
Получается, что нам нужно найти такое наименьшее значение k, при котором
p + qp + 𝒒 𝟐 p + 𝒒 𝟑 p + 𝒒 𝟒 p + … + 𝒒 𝒌−𝟏 p > 0,99. Сумму в левой части неравенства можно найти либо как сумму конечной геометрической прогрессии, либо вычитанием из 1 суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Слайд #11
Пример 6 (продолжение)
1 – 𝒒 𝒌 > 0,99
– 𝒒 𝒌 > 0,99 -1
– 𝒒 𝒌 > - 0,01
𝒒 𝒌 < 0,01.
Поскольку 𝒒 𝒌 с ростом k приближается к нулю, то нужное значение k можно найти простым перебором, последовательно возводя 0,8 во 2, 3 и т. д. степени:
0,8 2 = 0,64 …
0,8 20 > 0,011
0,8 21 < 0,0093.
Получилось, что нужно проверить программу на 21-м тесте.
Слайд #12
Задание 1
0,1024
Слайд #13
Задание 2
Монету бросают до тех пор, пока не появится орёл. С какой вероятностью придётся сделать:
а) больше 3 бросков;
б) меньше 5 бросков;
в) от 3 до 5 бросков?
Решение
а) 𝒒 𝟑 p + 𝒒 𝟒 p + … = 𝒒 𝟑 p 1−𝑞 = 𝒒 𝟑 p 𝑝 = 𝒒 𝟑 = 𝟏 𝟐 𝟑 = 𝟏 𝟖
б) p + qp + 𝒒 𝟐 p + 𝒒 𝟑 p = 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 * 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 𝟐 ∗ 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 𝟑 * 𝟏 𝟐 = 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟒 + 𝟏 𝟖 + 𝟏 𝟏𝟔 = 𝟏𝟓 𝟏𝟔
в) 𝒒 𝟐 p + 𝒒 𝟑 p + 𝒒 𝟒 p = 𝟏 𝟐 𝟐 ∗ 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 𝟑 * 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐 𝟒 * 𝟏 𝟐 = 𝟏 𝟖 + 𝟏 𝟏𝟔 + 𝟏 𝟑𝟐 = 𝟕 𝟑𝟐
Слайд #14
Задание 3
Телефон передаёт СМС-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность безошибочной передачи сообщения в каждой попытке равна 0,6. С какой вероятностью для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток?
ОТВЕТ: 0,84
Слайд #15
Задание 4
Максим заходит на сайт музея, чтобы купить билеты на престижную выставку. Из-за большого числа обращений вероятность успешного оформления билета составляет 0,4. После четырёх неудачных попыток сайт блокируется. С какой вероятностью Максиму удастся купить билет?
ОТВЕТ: 0,8704
Слайд #16
Задание 5
Баскетболист на тренировке бросает мяч со штрафного до тех пор, пока не попадёт в корзину. Вероятность попадания одного броска равна 0,3. С какой вероятностью ему придётся сделать:
а) меньше 3 бросков;
б) больше 3 бросков;
в) чётное число бросков?
ОТВЕТ:0,51
ОТВЕТ:0,343
ОТВЕТ:qp + 𝒒 𝟑 p + 𝒒 𝟓 p…0,4
Слайд #17
Задание 6
Какое минимальное число раз надо бросить монету наудачу, чтобы решка выпала хотя бы один раз с вероятностью, не меньшей, чем 0,99?
ОТВЕТ: 7
Слайд #18
Задание 7
Сколько раз нужно бросить кубик, чтобы вероятность появления хотя бы одной единицы была больше 0,99?
Решение
Р(среди n бросков хотя бы 1 единица) = 1 - Р(среди n бросков нет 1) =
= 1 - ( 5 6 ) 𝑛 0,99
- ( 5 6 ) 𝑛 0,99 – 1
- ( 5 6 ) 𝑛 - 0,01
( 5 6 ) 𝑛 1 100
n = 2 25 36 > 1 100 n = 3 125 216 > 1 100 n = 4 625 1296 > 1 100
n = 5 3125 7776 > 1 100 n = 6 15625 46656 > 1 100 n = 7 78125 279936 > 1 100
…….
n = 26 ( 5 6 ) 21 1 100
Ответ: 26
Слайд #19
Домашнее задание:
Кубик бросают до тех пор, пока не выпадет 5 очков. С какой вероятностью придётся сделать: а) больше 3 бросков; б) меньше 5 бросков; в) от 3 до 5 бросков?
2. Маша коллекционирует принцесс из шоколадных яиц. Всего в коллекции 10 разных принцесс. У Маши уже есть две разные принцессы из коллекции. Какова вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придётся купить ещё: а) 1 яйцо; б) больше 1 яйца; в) больше 2 яиц?
3. Сколько раз нужно бросить монету, чтобы вероятность появления хотя бы одного орла стала больше 0,9?
Слайд #20
Использованные источники:
https://www.yaklass.ru/p/veroyatnost-i-statistika/9-klass/ispytaniia-bernulli-7365901/ispytanie-uspekh-i-neudacha-seriia-ispytanii-do-pervogo-uspekha-7332392/re-89c9347b-1012-4b57-8791-2ab9ae92f6b7
