Презентация по информатике на тему "Моделирование движения в поле силы тяжести"

Слайд #1

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 4»

ИНФОРМАЦИОННЫЙ ПРОЕКТ  
«Моделирование движения в поле силы тяжести»
 

Автор проекта:
Б…….. Е……. А…………
Ученица 11 б класса
 
Руководитель проекта:
Гудкова Елена Павловна
 
 

Слайд #2

План ….
Цель: изучить проникающую способность пулей на аналоге тканей человека
Задачи:
Изучить баллистическое движение;
Изучить природу выстрела и влияющие на него факторы
Провести эксперимент на способность пневматики оказывать останавливающий эффект
Рассмотреть пробивную способность пуль с различными характеристиками
Сделать определенные выводы
Гипотеза: Имеют ли большую проникающую способность остроконечные пули чем другие, при стрельбе из
пневматической винтовки МР-532.
Объект исследования: : проникающая способность пули
Предмет исследования: баллистика пули
Методы исследования:
Теоретические (изучение, анализ, обобщение литературы).
Эмпирические (наблюдения, измерения).
Практический (эксперимент).
Интерпретационные (количественная и качественная обработка результатов).

Слайд #3

Математическая модель свободного падения тела

Слайд #4

Вы часто наблюдали   падение тел, то есть движения тяжелого тела, падающего с некоторой высоты. Над закономерностями свободного падения размышляли многие великие   умы -   Аристотель, Галилео Галилей, Исаак   Ньютон.
Свободное падение — движение, при котором на тело не действуют никакие силы (силы сопротивления, реактивные силы, и т. п.), кроме силы тяжести. В частности парашютист, в течении прыжка, до раскрытия парашюта, находится практически в свободном падении. Под действием силы, тело движется с ускорением.

Слайд #5

Аристотель (384-22 до н.э.) – древнегреческий философ и ученый. Родился в Стагире. В 367-347 до н.э. учился в академии Платона в Афинах, в 343-335 у царя Македонии Филиппа был воспитателем его сына Александра. В 335 возвратился в Афины, где основал свою философскую школу – перипатептиков.
Аристотель утверждал, что в реальных условиях движение конечно и тела падают с разной скоростью. Он полагал, что чем тяжелее тело, тем быстрее оно падает.

Слайд #6

Будучи в Пизе, Галилей опроверг учение о пропорциональности скорости падения тела силе тяжести. Он наблюдал за колебаниями маятника в Пизанском соборе, изучал скатывания шаров по наклонной плоскости (с разной амплитудой). Сбрасывал шары со знаменитой Пизанской башни (деревянный и чугунный, одинакового размера упали практически одновременно). Галилео Галилей в результате тщательно проведенных опытов и размышлений сделал вывод о том, что ускорения всех свободно падающих тел одинаковы и постоянны, если пренебречь сопротивлением воздуха.
Галилео Галилей (1564-1642) – выдающийся итальянский физик и астроном, один из основателей точного естествознания, член Академии деи Линчеи. Родился в Пизе. В 1581 поступил в Пизанский университет, где изучал медицину. Но, увлекся геометрией и механикой, оставил университет и вернулся во Флоренцию, где четыре года самостоятельно изучал математику. С 1589 – профессор Пизанского университета, в 1592-1610 – Падуанского, а в дальнейшем – придворный философ герцога Козимо II Медичи.

Слайд #7

Ньютон Исаак (1643-1727) – выдающийся английский ученый, заложивший основы современного естествознания, создатель классической физики, член Лондонского королевского общества (16720, президент ( с 1703). Родился в Вулсторпе. Окончил Кембриджский университет. В 1669-1701возглавлял в нем кафедру. С 1695 – смотритель, с 1699 – директор Монетного двора.
Вскоре после Галилея были созданы воздушные насосы, позволяющие проводить опыты со свободным падением в вакууме. С этой целью Ньютон откачал из длинной стеклянной трубки воздух и бросал сверху одновременно птичье перо и монету. Оба тела падали с одной скоростью. Именно этот опыт дал решающую проверку предположению Галилея.

Слайд #8

2 закон Ньютона

Слайд #9

Движение в воздухе

Слайд #10

Движение в безвоздушном пространстве

Слайд #11

Трубка Ньютона

Слайд #12

УСКОРЕНИИЕ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ
g = 9,8 ≈ 10м/с²
1) Направлено всегда вниз
2) Величина ускорения зависит:
а) от географической широты (9,78÷9,83)
б) от высоты над поверхностью Земли
3) g > 0, если тело движется вниз
g < 0, если тело движется вверх

Слайд #13

Ускорение свободного падения
13
На полюсе g=9,832 м/с2
На экваторе g=9,780 м/с2
На высоте 100км
над полюсом g=9,53 м/с2
На Луне g=1,623 м/с2

Слайд #14

Слайд #15

Анализ объекта
Архимедова сила
FА < mg
(плотность газа много меньше плотности тела, но плотность воды следует учесть)
Сила сопротивления среды
Зависит от плотности среды и зависит от скорости, но…
Если движение происходит в газе, плотность которого много меньше плотности тела, вязкость невелика и высота падения небольшая, то Fс можно пренебречь

Слайд #16

Математическая формализация
Уравнение закона Ньютона
ma = mg + FА + Fс

Проектируем данное векторное уравнение на ось Y
FА + Fс - mg
a =
m

Слайд #17

Задача
На высоте Н над поверхностью Земли находится тело массой m. В момент времени t=0 начинается свободное падение тела на Землю.
Требуется определить время падения и скорость, которую будет иметь тело в момент удара о Землю

Слайд #18

Анализ параметров
Неизменные параметры
m – масса тела
H – высота, с которой началось движение
g – ускорение свободного падения
Переменные параметры
t – время движения
v – скорость падения
Y - координата

Слайд #19

Свободное падение без учета сил противодействия
Пример: падение свинцового шарика в воздухе
FА =0
Fс =0
a = - g
Движение равноускоренное.

Слайд #20

ФОРМУЛЫ
a = -g

Слайд #21

Графики
Изменение скорости
Изменение координаты

Слайд #22

Задача 1
Какую скорость и координату (высоту над землей) будет иметь тело через 1 сек после начала падения?
Решение:

Слайд #23

Задача 2
Через сколько времени и с какой скоростью тело упадет на Землю?
Решение:
Выразим t из формулы при y=0



Подставим в формулу

Слайд #24

Математическая модель
Глава 3.2 §3.2.2
11 класс
Свободное падение с учетом сопротивления среды

Слайд #25

Действующие силы
FА – архимедова сила, направленная вертикально вверх
mg – сила тяжести, направленная вертикально вниз
Fс - сила сопротивления движению, направленная против движения

Слайд #26

Анализ объекта
Архимедова сила
FА < mg
(плотность газа много меньше плотности тела, но плотность воды следует учесть)
Сила сопротивления среды
Зависит от плотности среды и зависит от скорости, но…
Очевидно, что на предмет, падающий с большой высоты, действует Fс увеличивающаяся по мере роста скорости v
пренебрегаем

Слайд #27

Сила сопротивления F
V – малая – преобладает вязкое трение жидкости или газа
F пропорциональна V
С ростом V – возрастает лобовое сопротивление (парусный эффект)
F пропорциональна V

F = k ∙ v + k ∙ v

c
c
c
2
c
1
2
2

Слайд #28

Математическая формализация
Из уравнения закона Ньютона
ma = mg + FА + Fс

Проектируем данное векторное уравнение на ось Y
Fс (t)- mg k1 v(t) + k2 v(t) - mg
a(t) = =
m m
Ф1*
2

Слайд #29

Численный подход к моделированию процессов
vi+1 – vi
t


vi+1 = vi + ai t Из Ф1* выразим ai
k1 v(t) + k2 v(t) – mg
m
Δ
Δ
t – малый шаг изменения времени
a =
Δ
Δ
t
vi+1 = vi +
2

Слайд #30

Численный подход к моделированию процессов
yi+1 = yi + vi t - координата y,
где i = 0,1,2,…
По условию задачи падение происходит с высоты Н с нулевой начальной скоростью =>
v(0) = v0 = 0 y(0) = y0 = Н

Δ

Слайд #31

Математическая модель
Исходные данные
v(0) = v0 = 0 y(0) = y0 = Н
Рекуррентные формулы
k1 v(t) + k2 v(t) – mg
m

yi+1 = yi + vi t
vi+1 = vi +
Δ
t
Δ
2

Слайд #32

у
H
g
v0=0
Свободное падение тела с высоты H
С учетом силы сопротивления
Без учета
силы сопротивления
vi+1=v1+
k1 –коэффициент вязкого трения
k1vi+k2 vi2-mg
m
k2 – коэффициент лобового сопротивления
yi+1=yi + vi t

а = -g
v
y=y0-gt2/2
v =-gt
y=H-gt2/2
0
y0
Δ
a(t)=
k1vi+k2 vi2-mg
m
Δ
t

Слайд #33

Предельная скорость свободного падения
С возрастанием скорости падения v возрастает сила сопротивления Fc =>
Fc – mg уменьшается.
Когда Fc = mg, скорость выйдет на постоянное предельное значение v*.
Находим из уравнения
k1 v + k2 v – mg = 0
2

Слайд #34

Параметры модели
Определим k1 для конкретных ситуаций.
k1 – пропорциональная динамической вязкости среды (μ)
k1 = с1 ∙μ∙ b
с1 – определяется формой тела
b – характерный размер тела в направлении,
│ потоку, обтекающего газа или жидкости.
Для тела сферической формы k1 = 6π ∙ μ ∙ r

Слайд #35

Параметры модели
Определим k2 для конкретных ситуаций
k2 пропорциональна площади поперечного сечения тела δ, плотности среды ρ, и зависит от формы тела.
k2 = 𝟏 𝟐 с2 ∙ δ ∙ ρ
Для шара с2 = 0,4
Для диска с2 = 1,1
Для полусферы с2 = 0,55

Слайд #36

Коэффициенты лобового сопротивления
Шар с2 = 0,4


Полусфера с2 = 1,1

Диск с2 = 0,55

Слайд #37

Полный набор параметров
Масса тела m
Начальная высота H
Динамическая вязкость среды μ
Плотность среды ρ
Начальная скорость движения тела v0
Характерный размер тела b в направлении перпендикулярном потоку ( δ )
Параметры с1 и с2 (отражающие форму тела)

Слайд #38

ФОРМУЛЫ
a(t)=
k1vi+k2 vi2-mg
m
yi+1=yi + vi t

k1vi+k2 vi2-mg
m
vi+1=vi+
Δ
Δ
t

Слайд #39

Задача 1
Определите при какой скорости падения в воздухе железного шара радиусом 10 см сравняются силы вязкого трения и лобового сопротивления.

Слайд #40

Задача 2
Определите максимальную скорость падения железного шара радиусом 10 см
в воде (μ = 1,002 н∙с/м ρ= 1000 кг/м );
в глицерине (μ = 1480 н∙с/м ρ= 1260 кг/м ).

2
3
3
2

Слайд #41

Задача 3
Постройте численную модель падения твердого шара в воде с учетом архимедовой силы.

Слайд #42

Задача 5
Парашютист массой 90 кг разгоняется в свободном падении до скорости 10 м/с и на высоте 50 м раскрывает парашют, площадь которого 55 м2. Коэффициент сопротивления парашюта равен 0,9. Выполните следующие задания:
постройте графики изменения скорости и высоты полета в течение первых 4 секунд;
определите, с какой скоростью приземлится парашютист?
сравните результаты моделирования с установившимся значением скорости, вычисленным теоретически.

Слайд #43

Компьютерное моделирование свободного падения
Гл 3.2 §3.2.3
11 класс

Слайд #44

Задача 1
Сопоставить процессы падения твердого шара радиуса r с одной и той же высоты в разных средах:
в пустоте (без сопротивления)
в воздухе
в воде

Слайд #45

Физический эксперимент


Вакуум
Воздух при нормальном атмосферном давлении
Вода
3 одинаковых металлических шарика начинают падать одновременно

Слайд #46

Математическая модель на ПК
Для тела сферической формы
k1 = 6π ∙ μ ∙ r
k2 = 𝟏 𝟐 с2 ∙ δ ∙ ρ = 𝟏 𝟐 0,4 ∙π∙ r ∙ ρс
m = 𝟒 𝟑 ∙π∙ r ∙ρжел

2
3
3

Слайд #47

Физические параметры веществ

Слайд #48

ФОРМУЛЫ
a(t)=
k1vi+k2 vi2-mg
m
yi+1=yi + vi t

k1vi+k2 vi2-mg
m
vi+1=vi+
Δ
Δ
t

Слайд #49

Заполняем
таблицу в Excel
Учебник
стр.185-186

Слайд #50

Формулы
в Excel
E20 =E19+($G$10*E19 +$G$11*E19^2-$G$9*$I$5) *$D$15/$G$9 -v1

F20 =F19+E19*$D$15 -yi

Слайд #51

Графики
Изменение высоты
Изменение скорости
(воздух)

Слайд #52

Задача 2
Рассчитать время падения шара в воде с точностью до 0,01 сек.
Метод:
приближенные численные вычисления с точностью 0,001 (dt)
Число шагов вычислений n = 100
Результат округлить до 0,01
Программа на Pascal

Слайд #53

Программа
Const Ro_shar=7800;
Ro_sreda=1000;
Mju=1.02; h=10; v0=0; r=0.05; g=9.8;
Var i,n: integer;
t, y, dt, m, V, k1, k2:real;
Begin
k1:=6*Pi*Mju*r; k2:=0.2*Pi*r*r*Ro_sreda;
m:=4/3*Pi*r*r*r*Ro_shar;
Write (‘шаг по времени:’);readln (dt);
Write (‘Число шагов’);readln (n);

Слайд #54

Программа
продолжение
i:=0; t:=0; v:=v0; y:=h+v*dt;
While y>0 do
Begin
i:=i+1; t:=t+dt;
v:=v+(k1*V+k2*v*v-m*g)/m*dt;
If I mad n=0 then writeln (t:7:4,abs(V):7:4,y:7:4);
y:=y+V*dt;
End;
writeln (‘Tmax=‘,t:7:4,’Vmax=‘,abs(V):7:4)
End.

Слайд #55

Результаты
При t=0,001
Tmax = 2,23 сек
Vmax = 5,355 м\с
Δ

Слайд #56

Погрешности
Основное правило:
Точность результата не может быть выше точности исходных данных.
Абсолютная погрешность Х ± ΔХ
Относительная погрешность δХ = ΔХ/Х

Слайд #57

пример
Если g = 9,8 ± 0,01, то Δg = 0,01/9,8 ≈ 0,1%
Следовательно
ΔTmax = 2,23 ∙ 0,001 ≈ 0,003
Δ Vmax = 5,355 ∙ 0,001 ≈ 0,006
ИТОГО:
Tmax = 2,23 ±0,003 сек
Vmax = 5,355 ±0,006 м\с

Слайд #58

Математическая модель
задачи
баллистики

Слайд #59

«Баллистика»
Термин происходит от греческого слова, обозначающее «бросать».
Баллистикой называется раздел классической механики, изучающий движение тел, брошенных в пространстве.
Баллистика занимается главным образом исследованием движения снарядов, выпущенных из огнестрельного оружия, и баллистических ракет.

Слайд #60

«Баллистика»
Внутренняя - движение снаряда внутри ствола оружия;
Внешняя - движение вне орудийного ствола.

Слайд #61

Задача
из ствола пушки, направленного под углом α0 к горизонту, со скоростью ν0 вылетает снаряд. Требуется рассчитать траекторию движения снаряда.

Слайд #62

Математическая модель

Слайд #63

Уравнение второго закона Ньютона в векторной форме имеет вид:


Запишем проекции этого уравнения на оси X и У:

Слайд #64

Сила сопротивления вычисляется
следующей формуле:


где k1 — коэффициент вязкого трения, k2 — коэффициент лобового сопротивления, ν — величина скорости.
Из теоремы Пифагора:

Слайд #65

Тригонометрические функции угла а можно также выразить через проекции скорости:



Подставив в формулы

выполнив тождественные преобразования и выразив проекции ускорения, получим:

Слайд #66

Для выполнения расчётов траектории движения снаряда используем
методику численного (дискретного) моделированиями.
Задаём ∆ t — малый шаг изменения времени. Допускаем, что скорость и ускорение движения на каждом шаге по времени не изменяются, а при переходе к следующему шагу изменяются скачком. Отсюда следует:

Слайд #67

Слайд #68

Координаты вычисляются по формулам:



Начальные значения:


Дискретная математическая
модель задачи баллистики

Слайд #69

Задача баллистики при отсутствии силы сопротивления




Используя формулы, выразим t через х и подставим полученное выражение в формулу для у. Получим траекторию движения:

Слайд #70

Обозначим
В - максимальную высоту подъёма снаряда,
А - максимальную дальность полёта по горизонтали и
Т - полное время движения от выстрела до падения на Землю.

При отсутствии сопротивления среды ветви траектории полёта на участках подъёма и спуска симметричны относительно верхней точки траектории. В этой точке вертикальная Т составляющая скорости равна нулю:

откуда находим Т, а затем B,A

Слайд #71

Слайд #72

Расчёт стрельбы по цели в пустоте

Слайд #73

Имеется цель, в которую необходимо попасть снарядом, выпущенным из пушки.









Постановка задачи

Слайд #74

ДАНО:
Цель имеет форму шара с диаметром 𝑑;
Координаты центра цели: 𝑥=𝐿, 𝑦=𝐻;
Начальная скорость 𝑣 0 .

НАЙТИ:
Вектор начальной скорости к оси Х (угол прицела) - 𝛼 0 .



Постановка задачи

Слайд #75

Этапы разработки компьютерной информационной модели

Постановка цели
Теоретическая информационная модель
Компьютерная информационная модель
Системный анализ
Перевод в компьютерную форму

Слайд #76

При каких условиях можно поразить снарядом, выпущенным с начальной скоростью 𝑣 0 под углом 𝛼 0 к горизонту, мишень, находящуюся в точке с координатами 𝑥=𝐿, 𝑦=𝐻?

Какая должна быть связь между величинами 𝑣 0 и 𝛼 0 ?
Постановка цели

Слайд #77

В приближении без учёта сопротивления данную задачу решают точно, используя аналитическую модель.

Системный анализ

Слайд #78

Поскольку траектория полета снаряда должна проходить через указанную мишень,




из уравнение траектории движения снаряда для модели без учёта сопротивления воздуха 𝑦=𝑡𝑔 𝛼 0 ∙𝑥− 𝑔 2 𝑣 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎 0 𝑥 2 получаем:
𝐻=𝑡𝑔 𝛼 0 ∙𝐿− 𝑔 2 𝑣 0 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 0 ∙ 𝐿 2 .

Это и есть искомое соотношение между значениями 𝑣 0 и 𝛼 0 , заданное в неявной форме.
Теоретическая информационная модель

Слайд #79

Из 𝐻=𝑡𝑔 𝛼 0 ∙𝐿− 𝑔 2 𝑣 0 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 0 ∙ 𝐿 2 можно получить формулу для вычисления значения начальной скорости при заданном угле прицела:

𝑣 0 = 𝐿 𝑐𝑜𝑠 𝛼 0 𝑔 2(𝐿∙𝑡𝑔 𝛼 0 −𝐻) .
Из данной формулы вытекает важное ограничение на угол прицела: 𝐿∙𝑡𝑔 𝛼 0 −𝐻>0.
Минимальное значение угла прицела равно:
𝛼 0𝑚𝑖𝑛 =𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝐻 𝐿 .


Теоретическая информационная модель

Слайд #80

Величина угла прицела должна удовлетворять условию:
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝐻 𝐿 < 𝛼 0 <90°.








Минимальный угол прицеливания


Теоретическая информационная модель

Слайд #81

Выразим из 𝐻=𝑡𝑔 𝛼 0 ∙𝐿− 𝑔 2 𝑣 0 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 0 ∙ 𝐿 2 величину 𝛼 0 .
Воспользуемся тригонометрической формулой 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥= 1 1+ 𝑡𝑔 2 𝑥 .

𝑡𝑔 𝛼 0 = 𝑣 0 2 𝑔𝐿 ± 𝑣 0 2 𝑔𝐿 2 − 2 𝑣 0 2 𝐻 𝑔 𝐿 2 −1 .
Из данной формулы следует, что задача имеет решение лишь при выполнении условия 𝑣 0 2 𝑔𝐿 2 − 2 𝑣 0 2 𝐻 𝑔 𝐿 2 −1>0 и что при этом для попадания в мишень можно стрелять по двум разным углам: получаем навесную и настильную стрельбу.
Теоретическая информационная модель

Слайд #82

Большее значение угла (навесная стрельба) равно:
𝛼 01 =𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑣 0 2 𝑔𝐿 + 𝑣 0 2 𝑔𝐿 2 − 2 𝑣 0 2 𝐻 𝑔 𝐿 2 −1 .








Навесная стрельба

Теоретическая информационная модель

Слайд #83

Меньшее значение угла (настильная стрельба) равно:
𝛼 02 =𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑣 0 2 𝑔𝐿 − 𝑣 0 2 𝑔𝐿 2 − 2 𝑣 0 2 𝐻 𝑔 𝐿 2 −1 .







Настильная стрельба







Теоретическая информационная модель

Слайд #84

Перевод в компьютерную форму
=(D2/COS(B3*ПИ()/180))*(КОРЕНЬ(F2/(2*(D2*TAN(B3*ПИ()/180)-B2))))

Слайд #85

Компьютерная информационная модель
=ATAN((($B$5*$B$5)/($F$2*$D$2)) + (КОРЕНЬ(((($B$5*$B$5)/($F$2*$D$2))^2)– ((2*$B$5*$B$5*$B$2)/($F$2*$D$2*$D$2))-1)))*180/ПИ()

Слайд #86

Задача 1. Пусть 𝐿=700 м, 𝐻=200 м. Ограничения на угол прицела приводит к условию 𝑡𝑔𝛼>0,2857, или 𝛼>15°56′ . При стрельбе под любым углом, большим этого (но меньшим 90°), можно подобрать начальную скорость, при которой цель будет поражена.





В результате получим: 𝑣 0 =125,23 м/с.
Компьютерная информационная модель

Слайд #87

Задача 2. Пусть 𝐿=700 м, 𝐻=200 м, начальная скорость равна 𝑣 0 =125,23 м/с. Определить, под какими углами прицела можно попасть в цель.






Помимо известного результата 𝛼=30°, получили ещё одно значение угла прицела, при котором цель будет поражена: 𝛼=75,95°.
Компьютерная информационная модель

Слайд #88

Эксперимент в учебной программе. Стрельба по цели в пустоте
Компьютерная информационная модель

Слайд #89

Поиск начальной скорости снаряда средствами PascalABC:
Компьютерная информационная модель

Слайд #90

Поиск углов прицела средствами PascalABC:

Компьютерная информационная модель

Слайд #91

Спасибо за внимание!