Презентация к уроку на тему "Вписанный и описанный четырехугольники"

Слайд #1

Вписанный и описанный четырехугольники
Вдохновение нужно в геометрии,
как и в поэзии.

А.С. Пушкин

Слайд #2

План подготовки:
1. Определение понятия описанного (вписанного) многоугольника
2. Центр окружности, описанной около многоугольника (вписанной в многоугольник)
3. Признак описанного (вписанного) четырехугольника
4. Свойства описанного (вписанного) четырехугольника
5. Дополнительные свойства описанного (вписанного) четырехугольника

Слайд #3

Сложные геометрические узоры

Слайд #4

Вписанный многоугольник Описанный многоугольник
Определение вписанного многоугольника
Многоугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в окружность, а окружность – описанной около этого многоугольника.

Определение описанного многоугольника
Многоугольник, все стороны которого касаются окружности, называется описанным около окружности, а окружность – вписанной в этот многоугольник.

Слайд #5

2. Определение вписанного треугольника
Треугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в окружность, а окружность – описанной около этого треугольника.
3. Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения его серединных перпендикуляров.

2. Определение описанного треугольника
Треугольник, все стороны которого касаются окружности, называется описанным около окружности, а окружность – вписанной в этот треугольник.
3. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис его углов.

Слайд #6

4. Теоремы о вписанных в окружность треугольниках

Около любого треугольника можно описать окружность.

Около треугольника можно описать только одну окружность.
4. Теоремы об описанных около окружности треугольниках

В любой треугольник можно вписать окружность.

В треугольник можно вписать только одну окружность.

Слайд #7

5. Формула площади треугольника через радиус вписанной окружности

S = pr,
где p –полупериметр треугольника , r – радиус вписанной в него окружности.
5. Формула площади треугольника через радиус описанной окружности



где a, b, c – стороны треугольника, R – радиус описанной около него окружности.

Слайд #8

Вписанный четырехугольник Описанный четырехугольник
Определение вписанного четырехугольника
Четырехугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в окружность.








В отличие от треугольника около четырехугольника не всегда можно описать окружность.
Определение описанного четырехугольника
Четырехугольник, все стороны которого касаются окружности, называется описанным около окружности.








В отличие от треугольника не в любой четырехугольник можно вписать окружность.

Слайд #9

2. Центр окружности, описанной около четырехугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров, проведенных ко всем его сторонам.

3. Признак вписанного четырехугольника.
Если сумма противолежащих углов четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.

2. Центр окружности, вписанной в четырехугольник, является точкой пересечения биссектрис всех его углов.

3. Признак описанного четырехугольника.
Если в четырехугольнике сумма двух его противолежащих сторон равна сумме двух других его сторон, то в четырехугольник можно вписать окружность.

Слайд #10

Задача 1. Найдите все углы вписанного в окружность четырехугольника АВСD, если ∠ А=40°, а ∠D =90°.
B
C


A

D



∠ А + ∠ C = 180°; ∠ C = 140°.
∠ B + ∠ D = 180°; ∠ D = 90°.
Ответ: ∠ C = 140°; ∠ D = 90°.

Слайд #11

Задача 2. Противоположные стороны четырехугольника, описанного около окружности, равны 7 см и 10 см. Можно ли по этим данным найти периметр четырехугольника?











Пусть AD = 10 см, BC = 7 см. AD + BC = AB + CD, тогда P = 10 + +7 + 10 + 7 = =14(см)
Ответ: 14 см.

Слайд #12

Задача 3. Четырехугольник ABCD описан около окружности, сумма сторон AB+CD=18 м. Найти периметр четырехугольника.









Пусть AB+CD=18 м. AD + BC = AB + CD, тогда P = 18 + 18 =36(м)
Ответ: 36 м.

Слайд #13

1 вариант
1.1. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 2 см и 4 см. Найдите среднюю линию трапеции.
Ответ: 3 см
1.2. Три последовательные стороны четырехугольника, в который можно вписать окружность, равны 6 см, 8 см и 9 см. Найдите четвертую сторону и периметр этого четырехугольника.
Ответ: 7 см, 30 см.
1.3. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 84° и 57°. Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 96°

2.1. Около окружности с диаметром 15 см описана равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной 17 см. Найдите основания трапеции.


A AB = CD = 17 см, BK = 15 см.
Из треугольника AKB по теореме Пифагора AK = 8 см.
AD + BC = AB + CD;
2 BC + 16 = 34 см, BC = 9 см, AD = 25 см.






Ответ: 25 см.

Слайд #14

2 вариант
1.1. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.
Ответ: 10 ед.
1.2. В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 8, BC = 9 и CD = 14. Найдите четвертую сторону и периметр этого четырехугольника.
Ответ: 13 см, 44 см.
1.3. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 122°.

2.1. Известно, что в трапецию ABCD с основаниями AD и ВС можно вписать окружность и около неё можно описать окружность, EF – её средняя линия. Известно, что АВ + CD + EF = 18. Найдите периметр трапеции.


AB + CD + EF = 18, 3 EF = 18, EF = 6.
Если в трапецию можно вписать окружность, то
AB = CD = EF = 6, тогда P = 4 EF = 24 (ед.)






Ответ: 24 ед.

Слайд #15

4. Площадь вписанного четырехугольника











4. Площадь описанного четырехугольника

Слайд #16

5. Дополнительные свойства вписанного четырехугольника
1. Если четырехугольник со сторонами a, b, c, d вписан в окружность, то его диагонали можно найти по формулам



2. Если четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса R, то его площадь S можно вычислить по формуле

где α – угол между диагоналями четырехугольника.
3. Если четырехугольник с перпендикулярными диагоналями вписан в окружность, то сумма квадратов противолежащих сторон равна квадрату диаметра описанной окружности.


4. Теорема Птолемея. Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противолежащих сторон.





5. Дополнительные свойства описанного четырехугольника
1. Площадь выпуклого четырехугольника, в который можно вписать окружность, можно вычислить по формуле



где a, b, c, d – стороны четырехугольника, B и D - два противолежащих угла четырехугольника.

2. Площадь выпуклого четырехугольника, в который можно вписать окружность и около которого можно описать окружность, можно найти по формуле


где a, b, c, d – длины сторон четырехугольника.

Слайд #17

Задача. Дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно. Окружность, проходящая через точки B и С, пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков).
а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника MPQ, если прямая DP перпендикулярна прямой PC, AB = 25, BC = 3, CD = 28, AD = 20.
Решение.
а) Заметим, что MN — средняя линия трапеции по
определению, значит, MN AD . Пусть BAD = α, тогда
BMN = α, а CBA = 180° - α.
По свойству вписанного в окружность четырехугольника,
PQC = 180° - PBC.
Угол PQN является смежным с ним, значит, 
PQN = 180° - PQC =180° - α.  
Поскольку сумма углов PMN и PQN равна 180°, около
четырехугольника PQNM можно описать окружность.

Слайд #18

б) Требуется найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника MPQ. Эта окружность описана и вокруг четырехугольника  PQNM, а значит, и вокруг треугольника  MPN. Найдем радиус окружности, описанной вокруг треугольника MPN. Для этого воспользуемся обобщенной теоремой синусов:

Найдем PN. По условию, треугольник CDP является прямоугольным, CN = ND, значит, PN является медианой прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе. Поэтому
Найдем синус угла α. Проведём высоты трапеции BH и CK. Пусть АН = x. Поскольку высоты, проведенные из точек В и С к основанию AD равны, можно составить уравнение:




решая уравнение, имеем
Из прямоугольного треугольника AНB по теореме
Пифагора находим


Окончательно имеем:





Ответ:

Слайд #19

Домашнее задание.
Выучить по учебнику определения и формулировки, пункты 88 - 89, страницы 190 - 193.
Решить задачи:
I уровень - № 828,
II уровень - № 830.