Презентация по слайдам:
Слайд #1
Дисперсия, стандартное отклонение числовых наборов.
Подготовила:
учитель математики
МБОУ Г.ГОРЛОВКИ «ШКОЛА № 42»
Рыбина М.В.
Слайд #2
Отклонения
Поставим вопрос о том, как числа набора данных расположены по отношению к своему среднему арифметическому. Зная только размах, мы не можем судить об этом. Полную информацию даёт набор отклонений.
Определение. В наборе чисел отклонением числа от среднего арифметического называется разность между этим числом и средним арифметическим набора.
ПРИМЕР 1. На рисунке 29 изображён набор чисел: 1; 4; 5; 9; 12. Среднее арифметическое равно 6,2. Отклонение числа 9 от среднего равно 9 – 6,2 = + 2,8. Знак « + » можно не писать, но мы написали его, чтобы подчеркнуть, что отклонение положительно. Число 5 на прямой расположено левее среднего арифметического. Это значит, что его отклонение отрицательно: 5 – 6,2 = – 1,2.
Слайд #3
Свойство отклонений
Основное свойство отклонений. Сумма отклонений от среднего арифметического равна нулю. Это свойство удобно использовать для самопроверки при вычислении отклонений.
ПРИМЕР 2. Отклонения чисел образуют новый числовой набор. Для примера возьмём набор: 1; 6; 7; 9; 12. Среднее арифметическое этого набора равно 7. Найдём отклонение каждого числа от среднего:
1 – 7 = – 6, 6 – 7 = – 1, 7 – 7 = 0, 9 – 7 = 2, 12 – 7 = 5.
Если число меньше среднего, то его отклонение отрицательно, если число больше среднего, то его отклонение положительно. В одном случае – для числа 7, которое совпало со средним арифметическим, – отклонение равно нулю.
Если не все числа в наборе совпадают друг с другом, то часть отклонений положительна, а часть – отрицательна. При этом сумма всех отклонений у любого набора равна 0. Убедимся в этом на нашем примере:
– 6 – 1 + 0 + 2 + 5 = 0.
Модуль отклонения называют абсолютным отклонением.
Слайд #4
Дисперсия
Определение. Среднее арифметическое квадратов отклонений чисел от их среднего арифметического называется дисперсией набора чисел.
Обычно говорят короче: дисперсия – это средний квадрат отклонений.
Дисперсию числового набора X обычно обозначают S2. Символ возведения в квадрат подчёркивает, что дисперсия является многочленом второй степени с переменными х1, х2, ..., хn. Если нужно подчеркнуть, что дисперсия относится к набору X, будем писать 𝑆 𝑥 2 . Запишем формулу дисперсии:
S2 = 𝑥 1 − 𝑥 2 + 𝑥 2 − 𝑥 2 + 𝑥 3 − 𝑥 2 + … + 𝑥 𝑛 − 𝑥 2 𝑛
Слайд #5
ПРИМЕР 3. Найдём дисперсию числового набора: 4; 3; 0; 5.
Решение.
Поместим числа в первый столбец таблицы. В нижнюю ячейку запишем их среднее арифметическое.
Во второй столбец запишем отклонения от среднего. Чтобы проверить себя, подсчитаем сумму отклонений. Она должна равняться нулю.
В третий столбец таблицы поместим квадраты отклонений. В нижней ячейке вычислим дисперсию, усреднив числа третьего столбца.
Слайд #6
Стандартное отклонение
Определение. Стандартным отклонением называется квадратный корень из дисперсии.
Формула стандартного отклонения:
S = 𝑥 1 − 𝑥 2 + 𝑥 2 − 𝑥 2 + 𝑥 3 − 𝑥 2 + … + 𝑥 𝑛 − 𝑥 2 𝑛
Стандартное отклонение – некоторое среднее отклонение чисел набора. Другая формула для стандартного отклонения:
S = 𝑥 2 − 𝑥 2
Слайд #7
Пример 4
В предыдущем параграфе мы нашли дисперсию числового набора 4; 3; 0; 5. Она равна 3,5. Следовательно, стандартное отклонение этого набора равно 3,5 1,87. Посмотрим, как расположены числа на числовой прямой, и отметим на этой же прямой их стандартное отклонение.
Числовой набор, среднее и стандартное отклонение
Слайд #8
Задание 1
Найдите отклонения от среднего арифметического чисел набора:
1; – 2; 3; 4; 1; 2;
Слайд #9
Задание 2
Найдём дисперсию числового набора 3; 3; 2; 4.
Слайд #10
Задание 3
Найдите стандартное отклонение набора данных: 1; 3; 5; 1; 3. Результат округлите до сотых.
Стандартное отклонение: S =
Слайд #11
Домашнее задание:
Прочитать Глава 9, п. 42, 43, 44
Выполнить задания
№ 305 (б) Найдите отклонения от среднего арифметического чисел набора:
б) – 2,5; 3,1; 5,3; – 1,3; 4,8.
№312 (а, в, д)
№318
