Презентация по слайдам:
Слайд #1
Приращение функции и аргумента. Производные простейших функций
Слайд #2
Основные вопросы:
Введение понятий «приращение аргумента» и «приращение функций».
Определение производной.
Касательная и секущая к графику функции. Геометрический и физический смысл производной.
2
Слайд #3
х
y
0
A
B
С
Введение понятий «приращение аргумента» и «приращение функций».
3
Слайд #4
Определение 1: Пусть функция определена в точках х и . Разность х - x0 называют приращением аргумента.
Определение 2: Разность y - y0 называют приращением функции.
Итак, , значит, .
4
Слайд #5
Предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что - называется производной данной функции и имеет вид:
Определение.
5
Слайд #6
Операция вычисления производной называется дифференци-рованием.
Функция называется дифференци-руемой в данной точке, если в этой точке существует её производная.
6
Слайд #7
Алгоритм отыскания производной для функции y=f(x)
1. Даем аргументу Х приращение : Х +
2. Найдем наращенное значение функции, т.е. : у (х + ).
3. Вычисляем приращение функции:
4. Составляем отношение приращения функции к приращению аргумента:
5. Находим предел отношения при :
.
7
Слайд #8
Пример вычисления производной
Решение
8
Слайд #9
9
Касательная и секущая к графику функции. Геометрический и физический смысл производной.
Слайд #10
х
y
0
A
B
Секущая
С
Итак,
k – угловой коэффициент прямой(секущей)
10
Слайд #11
Геометрический смысл отношения при
х
y
0
k – угловой коэффициент прямой(секущей)
Секущая стремится занять положение касательной. То есть, касательная есть предельное положение секущей.
Касательная
Секущая
Автоматический показ. Щелкните 1 раз.
11
Слайд #12
х
y
0
k – угловой коэффициент прямой(касательной)
Касательная
Геометрический смысл производной
Производная от функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
12
Слайд #13
Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x)
1. Обозначить буквой a абсциссу точки касания.
2. Найти f(a).
3. Найти f '(x) и f '(a).
4. Подставить найденные числа a, f(a), f '(a) в общее уравнение касательной
y = f(a) + f '(a)(x – a).
13
Слайд #14
Рассмотрим возможные типы задач на касательную
14
Слайд #15
Ключевая задача 1. Составьте уравнение касательной к графику функции у=х2–2х–3 в точке с абсциссой х0=2.
Решение. 1. Обозначим абсциссу точки касания а, тогда а=2.
2. Найдем f(a): f(a)=22–2·2–3, f(a)=-3.
3. Найдем f’ (x) и f’(a): f’(x)=2x–2, f’(a)=2.
4. Подставим найденные числа а, f(a), в общее уравнение касательной у=f(a)+f’(a)(x–a): у=-3+2(х–2),
у=-3+2х–4, у=2х–7 – уравнение касательной.
Ответ: у = 2х –7.
15
Слайд #16
Задача 2 . Составьте уравнение касательной к графику функции
в точке M(3; – 2).
Решение. Точка M(3; – 2) является точкой касания, так как
1. a = 3 – абсцисса точки касания.
2. f(3) = – 2.
3. f '(x) = x2 – 4, f '(3) = 5.
4. y = – 2 + 5(x – 3),
y = 5x – 17 – уравнение касательной.
16
Слайд #17
Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется по закону x(t), то скорость ее движения v(t) в момент времени t равна производной т.е. производная от координаты по времени есть скорость
Производная от скорости по времени есть ускорение:
Ускорение движения есть скорость изменения скорости, поэтому ускорение движения в момент времени t равно производной
Физический смысл производной функции в данной точке
17
Слайд #18
Точка движется прямолинейно по закону
Вычислите скорость движения точки:
а) в момент времени t;
б) в момент времени t=2с.
Решение.
а)
б)
Задача 1
Слайд #19
Найдите скорость и ускорение для точки, движущейся по закону
а) в момент времени t;
б) в момент времени t=3с.
Решение.
Задача 2
Слайд #20
Проблемная задача
Две материальные точки движутся прямолинейно по законам
В какой момент времени скорости их равны, т.е.
Слайд #21
Решение проблемной задачи
Слайд #22
Домашнее задание:
22
1. конспект лекции
2. Дадаян. гл.9,§9.1-9.4, №9.3, 9.5, 9.7
3. Колмогоров. гл.2,§4 п.12-14,19, №178(б,в),193 (в,г), 194 (б,в) 195(б,г), 196 (б) №268
4. СВР: Подготовить реферат на тему «Производная и ее применения»
