Презентация по математике на тему "Комбинаторика"

Слайд #1

Комбинаторика
Преподаватель
Е.В. Дунаева

Слайд #2

Комбинаторика
- это раздел математики, в котором
изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Слайд #3

САМЫЙ ПРОСТОЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ -
ПЕРЕБОР ВСЕХ ВОЗМОЖНЫХ ВАРИАНТОВ
 В магазине продают бейсболки трех цветов: синие, красные и черные. Ваня и Андрей покупают себе по одной. Сколько существует различных вариантов покупки?
Ваняс с с к к к ч ч ч
Андрейс к ч с к ч с к ч

Слайд #4

Перебор можно осуществлять с помощью дерева вариантов
С помощью цифр 3 и 5 записать все возможные трёхзначные числа (цифры могут повторяться).

Слайд #5

Правило произведения
При большом количестве элементов полный перебор затруднителен. Правило произведения позволяет упростить подсчет числа определенных соединений. Сформулируем это правило.
Если существует n вариантов выбора первого элемента и для каждого из них имеется m вариантов выбора второго элемента, то существует nm различных пар с выбранными первым и вторым элементами.
Задача 1. Сколько различных двузначных чисел можно записать с помощью цифр 0,2,4,6,8?

Слайд #6

Основные понятия комбинаторики
Перестановки

Сочетания

Размещения

Слайд #7

Слайд #8

Перестановки
(без повторений)
Комбинации из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.
Число перестановок из n элементов можно вычислить по формуле

Задача. Сколькими способами можно расставить на одной полке 6 различных книг?

Слайд #9

Перестановки
(с повторениями)
Перестановки с повторениями — те же перестановки, однако некоторые элементы могут встречаться несколько раз.
Их возможное количество вычисляется по формуле:


Задача. Сколько существует пятизначных чисел, состоящих из цифр 7,8,9, в которых цифра 8 повторяется 3 раза, а цифры 7 и 9 по одному разу.

Слайд #10

Сочетания
(без повторений)
Комбинации из n элементов по m элементов, которые отличаются друг от друга только составом элементов, называются сочетаниями.
Число сочетаний из n элементов по m можно вычислить по формуле:
Задача. Из группы 35человек нужно выбрать троих для дежурства. Сколькими способами это можно сделать?

Слайд #11

Сочетания
(с повторениями)
Сочетания, содержащие m элементов, в которых любой элемент может присутствовать некоторое число раз, не превосходящее m, называются сочетаниями из n элементов по m с повторениями.

Задача. В кондитерской имеется 4 разных сорта пирожных. Сколькими способами можно составить набор из 5 пирожных?

Слайд #12

Размещения
(без повторений)
Комбинации из n элементов по m, которые отличаются друг от друга не только составом элементов, но и порядком их следования, называются размещениями.
Число размещений из n элементов по m можно вычислить по формуле:
Задача. Сколько существует различных вариантов выбора четырех кандидатур из 9 специалистов для поездки в 4 различных страны?

Слайд #13

Размещения
(с повторениями)
Пусть даны n различных видов предметов, которые можно разместить по k различным местам, причем выбирать предметы можно с повторениями (т.е. можно выбрать несколько предметов одного вида). Такие выборки называются размещениями с повторениями, а их количество вычисляется по формуле:
Задача. Сколько 6-значных чисел можно составить, используя цифры 3,4,5.