Презентация "Задание 23. Треугольник.ОГЭ по математике" (9 класс)

Слайд #1

Задание 23. Задачи на вычисления.

ОГЭ по математике. 9 класс. 2022 год.

Слайд #2

Треугольник.
Задание 23. Задачи на вычисление.

Слайд #3

Теорема о сумме углов треугольника:
Сумма углов треугольника равна 180⁰
Теорема синусов:
Стороны треугольника пропорциональны
синусам противолежащих углов:
𝑎 𝑠𝑖𝑛𝐴 = 𝑏 𝑠𝑖𝑛𝐵 = 𝑐 𝑠𝑖𝑛𝐶
𝑨
C
𝑩
=2𝑅
Теория к задаче:

Слайд #4

1. Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 71° и 79°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 8.
71°
79°
Дано: ∆АВС, ∟В=71⁰, ∟С=79⁰,
окружность описана около ∆АВС, R=8
Найти: ВС
Решение:
По теореме о сумме углов треугольника:
∟А = 180⁰ - (∟В+∟С) =
= 180⁰ - (71⁰+79⁰) = 180⁰ - 150⁰ = 30⁰
Сумма углов треугольника равна 180⁰
2) Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов: 𝑩𝑪 𝒔𝒊𝒏𝑨 = 𝑨𝑪 𝒔𝒊𝒏𝑩 = 𝑨𝑩 𝒔𝒊𝒏𝑪 =𝟐𝑹
2) По теореме синусов: 𝐵𝐶 𝑠𝑖𝑛𝐴 =2R
𝐵𝐶 𝑠𝑖𝑛30⁰ =2∙8
𝐵𝐶 0,5 =16
ВС = 16∙0,5 = 8.
Ответ: ВС = 8
?

Слайд #5

2. Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 61° и 89°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 10.
61°
89°
Дано: ∆АВС, ∟В=61⁰, ∟С=89⁰,
окружность описана около ∆АВС, R=10
Найти: ВС
Решение:
По теореме о сумме углов треугольника:
∟А = 180⁰ - (∟В+∟С) =
= 180⁰ - (61⁰+89⁰) = 180⁰ - 150⁰ = 30⁰
2) По теореме синусов: 𝐵𝐶 𝑠𝑖𝑛𝐴 =2R
ВС = 2R 𝑠𝑖𝑛𝐴= 2∙10 𝑠𝑖𝑛30⁰ = 2 ∙10 ∙ 1 2 =10
Ответ: ВС = 10
?

Слайд #6

Если а‖b и c – секущая, то соответственные углы
равны: ∟1 = ∟5, ∟4 = ∟8, ∟2 = ∟6, ∟3 = ∟7
∆АВС ∆А₁В₁С₁,
если АВ А₁В₁ = АС А₁С₁ = ВС В₁С₁
и∟А = ∟А₁, ∟В = ∟В₁, ∟С = ∟С₁
S
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Теория к задаче:

Слайд #7

4. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=17, AC=51, NC=32.
M
N
Дано: ∆АВС, MN‖AC, MN=17, AC=51, NC=32.
Найти: BN
Решение:
Рассмотрим ∆АВС и ∆MBN:
∟В – общий
∟BMN = ∟BAC (по свойству
cоответственных углов при
прямых AC‖MN и секущей АВ)
2) 𝑨𝑪 𝑴𝑵 = 𝑩𝑪 𝑩𝑵
∆АВС ∆MBN
ПО 2 УГЛАМ
S
𝟓𝟏 𝟏𝟕 = х+𝟑𝟐 х
Пусть BN = x, BC = x+32
17(x+32) = 51x
17x + 544 = 51x
51x -17x = 544
34x = 544
x = 544: 34
x = 16
BN = 16
Ответ: ВN=16

Слайд #8

5. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=13, AC=65, NC=28.
M
N
Дано: ∆АВС, MN‖AC, MN=13, AC=65, NC=28.
Найти: BN
Решение:
Рассмотрим ∆АВС и ∆MBN:
∟В – общий
∟BMN = ∟BAC (по свойству
cоответственных углов при
прямых AC‖MN и секущей АВ)
2) 𝑨𝑪 𝑴𝑵 = 𝑩𝑪 𝑩𝑵
∆АВС ∆MBN
ПО 2 УГЛАМ
S
𝟔𝟓 𝟏𝟑 = х+𝟐𝟖 х
Пусть BN = x, BC = x+28
13(x+28) = 65x
13x + 364 = 65x
65x -13x = 364
52x = 364
x = 364 : 52
x = 7
BN = 7
Ответ: ВN=7

Слайд #9

7. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=7, AC=28.
B
B
B
B
B
B
Дано: ∆АВС, ∟B=90⁰ AH=7, AC=28
A
C
B
H
7
28
?
Найти: AB
Решение:
1) Рассмотрим ∆АВC и ∆AHB:
∟H = ∟B = 90 ⁰ по условию
∟A - общий угол
ПО 2 УГЛАМ
S
∆АВС ∆AHB:
2) 𝑨𝑪 𝑨𝑩 = 𝑨𝑩 𝑨𝑯
𝟐𝟖 𝑨𝑩 = 𝑨𝑩 𝟕
AB∙AB = 28∙7
AB² = 28∙7
AB = 28∙7 = 4∙7∙7 = 2²∙7² = 2∙7 = 14

Ответ: AВ = 14

Слайд #10

8. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=5, AC=45.
B
B
B
B
B
B
Дано: ∆АВС, ∟B=90⁰ AH=5, AC = 45
A
C
B
H
5
45
?
Найти: AB
Решение:
1) Рассмотрим ∆АВC и ∆AHB:
∟H = ∟B = 90 ⁰ по условию
∟A - общий угол
ПО 2 УГЛАМ
S
∆АВС ∆AHB:
2) 𝑨𝑪 𝑨𝑩 = 𝑨𝑩 𝑨𝑯
𝟒𝟓 𝑨𝑩 = 𝑨𝑩 𝟓
AB∙AB = 45∙5
AB² = 45∙5
AB = 45∙5 = 9∙5∙5 = 3²∙5² = 3∙5 = 15

Ответ: AВ = 15

Слайд #11

А
В
С
О
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.
О
А
В
M
Теория к задаче:

Слайд #12

10. Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH=14.
B
B
B
B
B
B
Дано: ∆АВС, ∟B=90⁰, ВH=14, ВН⊥АС, окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и СВ в точках Р и К
A
C
B
H
14
Найти: РК
Решение:
Ответ: РК = 14
Р
К
∟РВК вписанный, опирается на дугу РНК;
∟РВК = 90⁰, следовательно дуга РНК = 180⁰;
РК – диаметр окружности, РК = 14

Слайд #13

11. Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH=12.
B
B
B
B
B
B
Дано: ∆АВС, ∟B=90⁰, ВH=12, ВН⊥АС, окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и СВ в точках Р и К
A
C
B
H
12
Найти: РК
Решение:
Ответ: РК = 12
Р
К
∟РВК вписанный, опирается на дугу РНК;
∟РВК = 90⁰, следовательно дуга РНК = 180⁰;
РК – диаметр окружности, РК = 12