Презентация "Способы нахождения площадей фигур"

Слайд #1

Способы нахождения площадей фигур
МАОУ «Хамнейская средняя общеобразовательная школа»

Исследовательская работа
Выполнила: Гуржапова Регина

Руководитель: Ринчинова В.Ч., учитель математики

Слайд #2

Цель исследования
1. Вывод формулы площади трапеции различными способами
2. Расширение знаний о многообразии задач на клетчатой бумаге, о приёмах и методах решения этих задач.
Для достижения поставленной цели предусматриваем решение следующих задач:
Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию
Проанализировать и систематизировать полученную информацию
Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге
Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам
Сделать выводы по результатам работы.
Подобрать наиболее интересные, наглядные примеры.
Методы исследования:
1. Моделирование
2.Построение
3.Анализ и классификация информации
4. Сравнение, обобщение
5.Изучение литературных и Интернет-ресурсов

Слайд #3

.
Гипотеза: если геометрическая фигура изображена на клетчатой бумаге, то её площадь можно вычислить различными способами и убедиться, что результаты вычислений будут одинаковыми.
При решении задач на клетчатой бумаге нам понадобится геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем.
Объект исследования: задачи на клетчатой бумаге

Слайд #4

от греч. trapeza — стол.
Трапеция буквально — «столик».
Геометрическая фигура была названа
так по внешнему сходству с маленьким столом.
Трапеция

Слайд #5

Мы выделили следующие способы нахождения площади трапеции :
Способ «Достроения или Разности»
Способ « Перекраивание»
Способ «Разрезания »
Способ «По формуле Пика»
Названия способов условные.
Сейчас каждый способ рассмотрим отдельно на примере трапеции.

Вывод формулы площади трапеции различными способами

Слайд #6

Способ «Достроения или Разности»
Способ « Перекраивание»
Способ «Разрезания »
Способ «По формуле Пика»
Задания из ЕГЭ
Это интересно
Выводы

Слайд #7

a
b
h
h
+
Способ «Разрезания»

Слайд #8

a
b
a
h
S = ah + h (b-a) = ah + hb - ha = ha + hb = h (b + a)
Способ «Разрезания»

Слайд #9

b
a
h
S =
Способ «Разрезания»

Слайд #10

a
b
h
S =
Способ «Разрезания»

Слайд #11

a
b
h
ah
= ah -
= ah -
S =
Способ «Достроения или Разности»

Слайд #12

a
b
h
b - a
S =
bh -
Способ «Достроения или Разности»

Слайд #13

a
b
Способ « Перекраивание»

Слайд #14

b
a
Способ « Перекраивание»

Слайд #15

a
b
h
Способ « Перекраивание»

Слайд #16

Формула Пика.
Узел – пересечение двух прямых.
– внутренние узлы.
– узлы на границе.

Слайд #17

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена трапеция Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.
Решение. Воспользуемся формулой Пика:
В = 12, Г = 17 S = 12 + 17/2 – 1 = 19,5 (см²)
Ответ: 19,5
По формуле геометрии
Задание из ЕГЭ

Слайд #18

Sпр=7*6=42

По формуле Пика
Г=14 В=14
S=14+14/2 – 1=20
Sтр=1/2*6*6=18
Sтр=1/2*2*2=2

Sтр=1/2*4*1=2

S=42-(18+2+2)=20

По формуле геометрии

Слайд #19

По формуле Пика
Г=4; В=32
По формуле геометрии
Sкв.= a²=7²=49
S = 49-(3,5+7+2+2,5+1) =33 см²

Слайд #20

Г=18, В=28
S=28 + 18/2 -1=36см²

По формуле геометрии
По формуле Пика

Слайд #21

Г=18;В=28.
S=28+18/2 -1=36см²
По формуле геометрии
см²
По формуле Пика

Слайд #22

Георг Алекса́ндр Пик  10 августа 1859 — 13 июля 1942) — австрийский математик Георга, который был одарённым ребёнком, обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг закончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. Шестнадцатого апреля 1880 года  Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов»  В Немецком университете в Праге в 1888 году Пик получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892-м стал ординарным профессором. В 1900—1901 годах занимал пост декана философского факультета.
В 1910 году Георг Пик был в комитете, созданном Немецким университетом Праги для рассмотрения вопроса о принятии Альберта Эйнштейна профессором в университет. Пик и физик Антон Лампа были главными инициаторами этого назначения, и благодаря их усилиям Эйнштейн, с которым Пик впоследствии сдружился, в 1911 году возглавил кафедру теоретической физики в Немецком университете в Праге.
Пик и Эйнштейн не только имели общие научные интересы, но и страстно увлекались музыкой. Пик, игравший в квартете, который состоял из университетских профессоров, ввёл Эйнштейна в научное и музыкальное общества Праги. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

Слайд #23

Вывод : в результате проделанной работы:
гипотеза подтвердилась: «если геометрическая фигура изображена на клетчатой бумаге, то её площадь можно вычислить различными способами и убедиться, что результаты вычислений будут одинаковыми».
Практическая значимость: результаты можно использовать на уроках геометрии, для подготовке к ОГЭ и ЕГЭ

Слайд #24

Заключение
В процессе исследования я изучила справочную, научно-популярную литературу. Узнала , что задача на нахождение площади многоугольника с вершинами в узлах сетки подвигла австрийского математика Пика в 1899 году доказать замечательную формулу Пика.
В результате данной работы я расширила свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определила для себя классификацию исследуемых задач, убедилась в их многообразии.
Я научилась вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке и пришла к выводу, что тема, которая меня заинтересовала, достаточно многогранна, задачи на клетчатой бумаге многообразны, методы и приёмы их решения также разнообразны.

Слайд #25

Литература


1.Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.
2.Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2010 – 2011
3.В.В.Вавилов, А.В.Устинов .Многоугольники на решетках.М.МЦНМО,2006.
4.Мтематические этюды. etudes.ru
5.Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.Геометрия .7-9 классы.М. Просвещение ,2010