Проект учеников 10 класса по теме "Производная и ее применение"

Слайд #1

Производная и её практическое применение
Проект на тему:
Выполнили:
ученики 10 "А" класса
Кузнецов Александр и Иващенко Илона

Слайд #2

Что такое производная?
Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Слайд #3

Таблица производных некоторых элементарных функций

Слайд #4

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных
3. Производная частного
2. Производная произведения
4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

Слайд #5

Физический смысл производной

Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется в зависимости от времени по закону x(t), то мгновенная скорость данной точки равна производной функции.

Слайд #6

Геометрический смысл производной


Производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Слайд #7

На рисунке касательная к функции f(x) возрастает


Коэффициент k>0


Так как k>0, то f′(x0)=tgα>0


Угол α между касательной и положительным направлением Ох острый

Слайд #8

На рисунке касательная к функции f(x) убывает


Коэффициент k<0


Следовательно, f′(x0)=tgα<0


Угол α между касательной и положительным направлением оси Ох тупой.

Слайд #9

На рисунке касательная к функции f(x) параллельна оси Ох


Коэффициент k=0


Следовательно, f′(x0)=tgα=0


Точка x0, в которой f′(x0)=0, называется экстремумом

Слайд #10

Практическое применение производной
«Дифференциальное исчисление даёт естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы…»

Экономист Фридрих Энгельс

Слайд #11

Использование производной в электромеханике
К примеру, с помощью дифференцирования можно определить ЭДС самоиндукции, составишь лишь её функцию с помощью измерений амперметра и вольтметра. Рассмотрим на конкретном примере

Слайд #12

Использование производной в биологии
Когда биологи рассматривают скорость роста популяции какого-либо вида, то есть высчитывают производную по времени от количества особей

Слайд #13

Использование производной в биологии
Пусть зависимость между числом особей популяции микроорганизмов у и временем t её размножения задана уравнением у = x(t). Пусть ∆t - промежуток времени от некоторого начального значения t до t+∆t. Тогда у + ∆у = x(t+∆t)- новое значение численности популяции, соответствующее моменту t+∆t, а ∆y + x(t + ∆t )- x(t) - изменение числа особей организмов. Отношение является средней скоростью размножения или, как принято говорить, средней производительностью жизнедеятельности популяции. Вычисляя, получаем y‘ = P(t) = x‘(t), или производительность жизнедеятельности популяции в момент времени t.

Слайд #14

Использование производной в химии
Производная крайне важна для вычисления скорости протекания химических процессов. Скорость воздействия лекарственных препаратов на человека, удобрений на почву и тд., всё это играет важную роль в решении медицинских и сельскохозяйственных задач.

Слайд #15

Использование производной в химии
пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задается зависимостью: р(t) = t2/2 + 3t –3 (моль). Найдём скорость химической реакции через 3 секунды.
Решение:
v (t) = p ‘(t);
v (t) = t + 3;
v (3) = 3+3 = 6.
Ответ: 6 моль\с.

Слайд #16

Использование производной в экономике
Экономика – основа жизни, а в ней важное место занимает дифференциальное исчисление – аппарат для экономического анализа. Базовая задача экономического анализа – изучение связей экономических величин в виде функций.

Слайд #17

Спасибо за внимание!