Презентация на тему: Лекция 1.2. "Классическое определение вероятности"

Слайд #1

к.п.н., преподаватель высшей категории
Никитин М.Е.

Раменское, 2015


Лекция 1.2. Основные понятия теории вероятностей. Определение вероятности случайного события. Элементы комбинаторики:
Электронный курс лекций
«Комбинаторика»
Перестановки;
Размещения;
Сочетания.

Слайд #2

Теория вероятностей изучает закономерности массовых случайных явлений (не единичных!).

Зародилась в связи с азартными играми в Швейцарии (XVI – XVII в.в н.э.)
Отцы-основатели: Паскаль, Ферма, Гюйгенс, Якоб Бернулли.
Русские: Чебышев П.Л., Буняковский, Хинчин, Колмогоров.

Слайд #3

Пространство элементарных событий
Будем полагать, что результатом реального опыта (эксперимента) может быть один или несколько взаимоисключающих исходов; эти исходы неразложимы и взаимно исключают друг друга. В этом случае говорят, что эксперимент заканчивается одним и только одним элементарным исходом.

Слайд #4

Множество всех элементарных событий, имеющих место в результате случайного эксперимента, будем называть пространством элементарных событий Ω
Случайными событиями будем называть подмножества пространства элементарных событий Ω .
Определение. Под случайным событием или просто событием будем понимать всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.
События будем обозначать большими латинскими буквами A, B, C, D, …

Слайд #5

Пример
Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий Ω = {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6}, где w i- выпадение i очков.
Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w 2,w 4,w 6}, A Ω .

Слайд #6

Достоверное событие
Событие Ω называется достоверным событием
Достоверное событие не может не произойти в результате эксперимента, оно происходит всегда.
Пример. Бросаем один раз игральную кость. Достоверное событие состоит в том, что выпало число очков, не меньше единицы и не больше шести, т.е. Ω = {w 1,  w  2,  w  3,  w  4,  w  5,   w  6}, где w i- выпадение i очков,Ω - достоверное событие.

Слайд #7

Невозможное событие
Невозможным событием называется пустое множество Ø .
Невозможное событие не может произойти в результате эксперимента, оно не происходит никогда.
Пример. Бросаем один раз игральную кость. Выпадение более шести очков - невозможное событие .

Слайд #8

Совместимость событий
Два события называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого в одном и том же испытании.
Совместными называются события, если они могут наступить одновременно в одном испытании

Слайд #9

Противоположное событие
Два несовместных события, составляющих полную группу, называются противоположными
Обозначается ,
Пример. Бросаем один раз игральную кость. Событие A - выпадение четного числа очков, тогда событие - выпадение нечетного числа очков. Здесь Ω = {w 1, w 2, w 3,w 4, w 5,w 6}, где w i- выпадение i очков, A = {w 2,w 4,w 6},
=

Слайд #10

Действия со случайными событиями
Суммой событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих одному из событий A или B. Обозначается A + B.
Пример. Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий
Ω = {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6}, Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w 2,w 4,w 6}, событие B - выпадение числа очков, большего четырех, B = {w 5, w 6}.
Событие A + B = {w 2,w 4, w 5, w 6}

Слайд #11

Произведением событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих одновременно событиям
A и B. Обозначается AB.

Пример. Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий
Ω = {w 1, w 2, w 3,w 4, w 5,w 6}. Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w 2,w 4,w 6}, событие
B - выпадение числа очков, большего четырех,
B = {w 5, w 6}.
Событие A B состоит в том, что выпало четное число очков, большее четырех, т.е. произошли оба события, и событие A, и событие B, A B = {w 6}
A B Ω .

Слайд #12

Классическое определение вероятности события.
Его свойства.

Рассмотрим следующую классическую схему:
Пространство элементарных исходов Ω - конечно; т.е. состоит из конечного числа элементарных исходов.
Элементарные исходы i равновозможные.

Слайд #13

Определение:
Вероятностью события А (обозначение Р(А)) называют отношение числа m благоприятствующих этому событию элементарных исходов к общему числу n всех несовместных, равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий.

Слайд #14

Свойства вероятности согласно классическому определению.

P(Ω)=1;
P(Ø)=0;
0≤P(A)≤1, A- случайное событие.

Слайд #15

Слабые стороны классического определения вероятности:
1) Не всегда интересующие нас событие можно представить в виде совокупности элементарных исходов.
2) Даже если удастся построить пр-во элементных исходов, зачастую нет никаких оснований считать эти исходы равновозможными.
3) Во многих случаях пр-во элементарных исходов бесконечно

Слайд #16

Статистическое определение вероятности. Относительная частота (частность) события.

В основе статистического определения вероятности лежит понятие частоты.
Def: О т н о с и т е л ь н о й ч а с т о т о й Ẃ(А) случайного события А - называется отношение числа m испытаний, в которых событие А наступило, к общему
числу n, фактически
проведённых испытаний.

Слайд #17

Пример:

# Монета подброшена 100 раз. Герб выпал 47раз. Если А- выпадение герба, то
Ẃ(А)= =0,47

! Относительная частота – величина случайная.

Слайд #18

Свойства относительной частоты:
Из определения следует, что:
Ẃ(Ω)=1
Ẃ(Ø)=0 - Ø-невозможное событие.
0≤Ẃ(А)≤1

Слайд #19

Свойство устойчивости:
Длительные наблюдения показали, что, если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что:
в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.
В качестве статистической вероятности случайного события выбирают относительную частоту этого события или число, близкое к относительной частоте.

Слайд #20

Для существования статической вероятности события А требуется:

а)Возможность, хотя бы принципиально,
производить неограниченное число испытаний, в
каждом из которых событие А наступает или не
наступает;

б)Устойчивость относительных частот
появления А в различных сериях достаточно большого
числа испытаний.
Недостатком статистического
определения является неоднозначность
статистической вероятности.

Слайд #21

Элементы комбинаторики:
перестановки; размещения; сочетания.

Комбинаторика – раздел алгебры, занимающийся подсчётом количества комбинаций элементов, которые можно составить по определённым правилам из элементов конечных множеств.

М – конечное множество, содержащее n различных элементов.

M={a1,a2,…,an}

Слайд #22

1) Перестановки без повторений:

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.

Слайд #23

Число всех возможных перестановок
Pn=n! ,

где n!=1•2•3•...•n (n-факториал)

По определению полагаем:
0!=1

Слайд #24

Задача. Сколькими способами можно расставить трехтомник на полке?

Каждое расположение трёх различных книг в
определенном порядке (на полке) представляет
собой перестановку из 3-х книг, и следовательно,
м. б. реализовано P3=3! =6 различными способами.

Слайд #25

2)Размещения без повторений.
Размещениями называют комбинации,
составленные из n различных элементов по
m элементов, которые отличаются либо
составом элементов, либо их порядком.

Слайд #26

Задача. Сколько можно составить сигналов из 7 флагов разного цвета, взятых по 3?

Слайд #27

3)Сочетания без повторений.
Сочетаниями называют комбинации,
составленные из n различных элементов по
m элементов, которые отличаются хотя бы
одним элементом.
Число сочетаний:

Слайд #28

Пример:
Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 различных деталей?

Слайд #29

Связь между размещениями, сочетаниями и перестановками:
Число размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством:

Слайд #30

Замечание:
Предполагалось, что все n элементы различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам.
Например, если среди n элементов есть n1 элементов одного вида, n2 элементов другого вида и т.д., то число перестановок с повторениями:


где