Презентация на тему: Лекция 2. "Законы распределения случайных величин."

Слайд #1

Лекция 2. Законы распределения случайных величин.
к.п.н., преподаватель высшей категории
Никитин М.Е.

Раменское, 2015

Электронный курс лекций
«Комбинаторика»

Слайд #2

Законы распределения случайных величин
Законы распределения дискретных случайных величин (биномиальный, Пуассона).
Законы распределения непрерывных случайных величин (равномерный, нормальный, показательный.)

Слайд #3

Биномиальный закон
Дискретная случайная величина X имеет биномиальный закон распределения, если она принимает значения 0, 1, 2, ..., m, ..., n
с вероятностями
где p+q=1, p>0, q>0,

Слайд #4

20.09.2020
Никитин Михаил Евгеньевич
4
Биномиальный закон
Ряд распределения
pn
причем

Слайд #5

20.09.2020
Никитин Михаил Евгеньевич
5
Биномиальный закон
n, p

Слайд #6

многоугольники (полигоны) распределения случайной величины X, имеющей биномиальный закон распределения с параметрами
n=5 и p (для  p=0,2; 0,3; 0,5; 0,7; 0,8)

20.09.2020
6
Никитин Михаил Евгеньевич

Слайд #7

Пример
Примерно 20% судебных дел – это дела по обвинению в краже. В порядке прокурорского надзора проверено 4 наудачу отобранных дела.
Каково наивероятнейшее значение дел о краже среди отобранных и какова вероятность этого значения?
20.09.2020
7
Никитин Михаил Евгеньевич

Слайд #8

РЕШЕНИЕ
20.09.2020
8
Никитин Михаил Евгеньевич

Слайд #9

РЕШЕНИЕ
20.09.2020
9
Никитин Михаил Евгеньевич

Слайд #10

Закон Пуассона
Дискретная случайная величина X имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2, ..., m, ... (бесконечное, но счётное множество значений) с вероятностями
е = 2,71828...

Слайд #11

20.09.2020
Никитин Михаил Евгеньевич
11
Закон Пуассона
Ряд распределения
причем

Слайд #12

20.09.2020
Никитин Михаил Евгеньевич
12
Закон Пуассона
а

Слайд #13

Многоугольники распределения
случайной величины X, имеющей
закон распределения Пуассона с параметром  a
(для a=0,5; 1; 2; 3,5; 5).
20.09.2020
13
Никитин Михаил Евгеньевич

Слайд #14

При больших n, малых р
Формула
Бернулли
Формула
Пуассона

Применение закона Пуассона
20.09.2020
14
Никитин Михаил Евгеньевич

Слайд #15

Пример
Примерно 0,1% судебных дел – это дела по обвинению в убийстве. Проверено 200 наудачу взятых судебных дел.
Какова вероятность того, что среди них
дел о убийстве буде: 0, 1, 2, 3 ?
20.09.2020
15
Никитин Михаил Евгеньевич

Слайд #16

Решение
n = 200, p = 0,001, n·p = 0,2
0,9999
0,8187
0,8186
0,9999
0,1638
0,1639
0,0164
0,0163
0,0010
0,0011
20.09.2020
16
Никитин Михаил Евгеньевич

Слайд #17

Вероятности того, что за промежуток времени длиной t наступит m событий простейшего потока
 – это среднее число событий потока, происходящих в единицу времени (интенсивность).
Применение закона Пуассона
20.09.2020
17
Никитин Михаил Евгеньевич

Слайд #18

Пример
В дежурную часть органов внутренних дел за час в среднем поступает 30 сообщений различного характера.
Какова вероятность, что за минуту поступит 2 сообщения?
20.09.2020
18
Никитин Михаил Евгеньевич

Слайд #19

Решение
Количество сообщений, поступающих в час  = 30,
t = 1(мин) = 1/60 (час),
20.09.2020
19
Никитин Михаил Евгеньевич

Слайд #20

Равномерный закон
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], если на этом отрезке плотность распределения вероятности случайной величины постоянна, а вне его равна нулю, т.е. если
где

Слайд #21

20.09.2020
Никитин Михаил Евгеньевич
21
Равномерное распределение
Кривая распределения

Слайд #22

20.09.2020
Никитин Михаил Евгеньевич
22
Равномерный закон

Слайд #23

Пример
Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляют до ближайшего целого деления.
Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.
20.09.2020
23
Никитин Михаил Евгеньевич

Слайд #24

Решение
Ошибка превысит заданную точность, если
Х[0,02, 0,08]
20.09.2020
24
Никитин Михаил Евгеньевич

Слайд #25

Нормальный закон
Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение, если плотность вероятности f(x) имеет вид:

Слайд #26

20.09.2020
Никитин Михаил Евгеньевич
26
Нормальное распределение
Кривая распределения

Слайд #27

20.09.2020
Никитин Михаил Евгеньевич
27
Нормальный закон
а, 
Ф(х) – функция Лапласа

Слайд #28

20.09.2020
Никитин Михаил Евгеньевич
28
Функция Лапласа
Ф(–х) = – Ф(х)

Слайд #29

a = 1
При изменении параметра а форма графика функции не изменяется, а происходит лишь смещение вдоль оси абсцисс вправо, если он возрастает, и влево, если убывает.
a = 3
a = 6
20.09.2020
29
Никитин Михаил Евгеньевич

Слайд #30

a = 1,  = 1
a = 3,  = 1
a = 6,  = 1
20.09.2020
30
Никитин Михаил Евгеньевич

Слайд #31

 = 3
 = 1
 = 2
При изменении параметра s изменяется форма нормальной кривой. Если этот параметр убывает, то кривая становится более островершинной, если увеличивается, то кривая становится более пологой.
20.09.2020
31
Никитин Михаил Евгеньевич

Слайд #32

 = 3
 = 1
 = 2
20.09.2020
32
Никитин Михаил Евгеньевич

Слайд #33

Доска
Гальтона
20.09.2020
33
Никитин Михаил Евгеньевич

Слайд #34

Правило «трех сигм»
если случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами а и , то практически достоверно, что её значения заключены в интервале
(а–3, а+3).
20.09.2020
34
Никитин Михаил Евгеньевич

Слайд #35

20.09.2020
35
Никитин Михаил Евгеньевич

Слайд #36

Показательный (экспоненциальный) закон
Непрерывная случайная величина X имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения, если её плотность вероятности f(x) имеет вид:

Слайд #37

20.09.2020
Никитин Михаил Евгеньевич
37
Показательное распределение
Кривая распределения

Слайд #38

20.09.2020
Никитин Михаил Евгеньевич
38
Показательный закон


Слайд #39

Пример
На шоссе установлен контрольный пункт для проверки технического состояния автомобилей.
Найти среднее время ожидание очередной машины контролером Т, – если поток машин простейший и время (в часах) между прохождениями машин через контрольный пункт распределено по показательному закону
20.09.2020
39
Никитин Михаил Евгеньевич

Слайд #40

Решение
20.09.2020
40
Никитин Михаил Евгеньевич

Слайд #41

Спасибо за внимание!