Презентация на тему: "Лекция 2. Законы распределения дискретной случайной величины"

Слайд #1

к.п.н., преподаватель высшей категории
Никитин М.Е.

Раменское, 2015


Лекция 2.2. Закон распределения дискретной случайной величины.
Электронный курс лекций
«Комбинаторика»

Слайд #2

Основные вопросы:
Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины.
Числовые характеристики дискретных случайных величин.

Слайд #3

Определение
Случайной величиной называется переменная величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее известно какое именно.
Пример
Случайными величинами являются: температура больного в некоторое наугад выбранное время суток, масса наугад выбранной таблетки некоторого препарата, рост наугад выбранного студента.

Слайд #4

Определение
Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы).
Это множество может быть как конечным, так и бесконечным.
Например, число посетителей аптеки в течение дня, количество яблок на дереве.

Слайд #5

Определение
Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.
Например: температура больного в фиксированное время суток, масса наугад выбранной таблетки некоторого препарата, рост наугад выбранного студента

Слайд #6

6
ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины х1, х2, х3,… и соответствующими им вероятностями p1, р2, р3,… .
Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически.
Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения.

Слайд #7

7
Рассмотрим дискретную случайную величину X с возможными значениями x1, х2, …, хn. Каждое из этих значений возможно, но не достоверно, и величина X может принять каждое из них с некоторой вероятностью. В результате опыта величина X примет одно из этих значений, т. е. произойдет одно из полной группы несовместных событий.
Обозначим вероятности этих событий буквами р с соответствующими индексами:
Р(Х=х1)=р1; Р(Х=х2) = р2; ...; Р(Х = хn) = рn.
Так как несовместные события образуют полную группу, то сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице

Слайд #8

8
Ряд распределения случайной величины X имеет следующий вид
Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, часто прибегают к его графическому изображению: по оси абсцисс откла­дываются возможные значения случайной величины Х, а по оси ординат — вероятности этих значений Р. Такая фигура называется многоугольником распределения (полигон частот).

Слайд #9

Слайд #10

10
Многоугольник распределения, так же как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину; он является одной из форм закона распределения.

Слайд #11

Слайд #12

Слайд #13

При построении многоугольника распределения надо помнить, что соединение полученных точек носит условный характер. В промежутках между значениями случайной величины вероятность не принимает никакого значения. Точки соединены только для наглядности

Слайд #14

Биноминальное распределение
Если производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с одинаковой вероятностью р в каждом из испытаний, то вероятность того, что событие не появится, равна q = 1 – p.
Примем число появлений события в каждом из испытаний за некоторую случайную величину Х.
Чтобы найти закон распределения этой случайной величины, необходимо определить значения этой величины и их вероятности.
Значения найти достаточно просто. Очевидно, что в результате п испытаний событие может не появиться вовсе, появиться один раз, два раза, три и т.д. до п раз.
Вероятность каждого значения этой случайной величины можно найти по формуле Бернулли.

Эта формула аналитически выражает искомый закон распределения. Этот закон распределения называется биноминальным.

Слайд #15

Слайд #16

Слайд #17

Числовые характеристики дискретных случайных величин

Слайд #18

18






Математическое ожидание
Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.

, где
Х – прерывная случайная величина,
М[X] – среднее значение случайной величины,
– возможные значения величины Х,
p1, р2, р3,…,рn – вероятности значений.

Слайд #19

Слайд #20

Свойства математического ожидания:
Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной.

Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.

Слайд #21

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.


4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Свойства математического ожидания:

Слайд #22

Пусть производится п независимых испытаний, вероятность появления события А в которых равна р.
 Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появления события А в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании.

Слайд #23

Дисперсия
Дисперсией (рассеиванием) D(X) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Слайд #24

Слайд #25

Теорема
Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания.

Слайд #26

Свойства дисперсии:
Дисперсия постоянной величины равна нулю.

Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

Слайд #27

Свойства дисперсии:
Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Слайд #28

Теорема
Дисперсия числа появления события А в п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в каждом испытании.

Слайд #29

Среднее квадратическое отклонение
Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии.

Слайд #30

Теорема
Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин.

Слайд #31

Слайд #32

Домашнее задание:
1. конспект лекции
СВР: Составить опорный конспект по теории

Слайд #33

Задачи