Презентация по математике на тему "Производная и ее приложение"

Слайд #1

Производная и ее приложение
Рассмотрим следующие вопросы:
1. Какие задачи решаются на приложение производной.
2. Физический смысл первой и второй производной. Примеры решения задач.
3. Геометрический смысл первой производной. Примеры решения задач.

Слайд #2

ЗАДАЧИ НА ПРИЛОЖЕНИЕ
ПРОИЗВОДНОЙ
ЗАДАЧИ НА
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
ФИЗИЧЕСКОГО
СМЫСЛА ПЕРВОЙ И
ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
ЗАДАЧИ НА ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ
ЗАДАЧИ НА ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО СМЫСЛА ПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
ЗАДАЧИ НА
ИССЛЕДОВАНИЕ
ФУНКЦИИ
ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НОРМАЛИ И КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ

Слайд #3

ЗАДАЧИ НА ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКОГО СМЫСЛА ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
Физический смысл производной.
Как известно, производная характеризует мгновенную скорость прямолинейного движения. Однако этим не исчерпывается использование производной. При изучении неравномерно меняющихся величин скорость их изменения всегда выражается с помощью производной.
Понятие скорости, заимствованное из физики, удобно при исследовании поведения любой функции. Какую бы зависимость не выражала функция 𝑦=𝑓 𝑥 , отношение ∆𝑦 ∆𝑥 есть средняя скорость изменения функции 𝑓 𝑥 относительно изменения аргумента 𝑥 , а 𝑓 ′ 𝑥 0 – мгновенная скорость изменения функции 𝑓 𝑥 при некотором значении 𝑥= 𝑥 0 . Физический смысл производной – это скорость изменения функции в конкретной точке.

Слайд #4

𝒗 ср. = ∆𝑺 ∆𝒕 𝒂 ср. = ∆𝒗 ∆𝒕
𝒗= 𝐥𝐢𝐦 ∆𝒕→𝟎 ∆𝑺 ∆𝒕 𝒂= 𝐥𝐢𝐦 ∆𝒕→𝟎 ∆𝒗 ∆𝒕
𝒗= 𝑺 ′ 𝒕 𝒂= 𝒗 ′ 𝒕

𝒂= 𝑺 " 𝒕

Слайд #5

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача №1. Точка движется прямолинейно по закону 𝑆=2 𝑡 3 + 𝑡 2 Найти значения скорости и ускорения в момент времени 𝑡=4.
Решение: Найдем скорость движения точки в любой момент времени 𝑡:
𝑣= 𝑆 ′ 𝑡 =6 𝑡 2 +2𝑡. Вычислим скорость движения точки в момент времени 𝑡=4.
𝑣 4 =6∙ 4 2 +2∙4=104 м/с .
Найдем ускорение движения точки в любой момент времени t: 𝑎= 𝑣 ′ 𝑡 =12t+2. Вычислим ускорение движения точки в момент времени 𝑡=4: 𝑎 4 =12∙4+2=50 м с 2
Задача №2. Точка движется прямолинейно по закону 𝑆=6𝑡− 𝑡 2 . В какой момент времени скорость точки окажется равной нулю?
Решение: Определим скорость движения точки в любой момент времени 𝑡:
𝑣= 𝑆 ′ 𝑡 =6−2𝑡. Полагая 𝑣=0, получим 6−2𝑡=0, откуда 𝑡=3. Таким образом, скорость точки равна нулю в конце 3-й секунды.
Задача №3. Тело массой 10 кг движется прямолинейно по закону 𝑠=3 𝑡 2 +𝑡+4. Найти кинетическую энергию тела через 4 секунды после начала движения. Решение: Кинетическая энергия тела равна 𝑚 𝑣 2 2 . Найдем скорость движения тела в момент времени t: 𝑣= 𝑆 ′ 𝑡 =6t + 1. Вычислим скорость тела в момент времени t = 4; 𝑣 4 =6∙4+1=25 м с . Определим кинетическую энергию тела в момент t = 4: 𝑚 𝑣 2 2 =10∙ 25 2 2 =3125 Дж .

Слайд #6

Задачи на использование геометрического смысла первой производной
Геометрический смысл производной.
Геометрическая интерпретация производной, впервые данная в конце XVII в. Лейбницем, состоит в следующем: значение производной функции 𝑦=𝑓 𝑥 в точке 𝑥 0 равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в той же точке 𝑥 0 ,
т.е. 𝒌= 𝒇 ′ 𝒙 𝟎 =𝒕𝒈𝜶.

Слайд #7

Таким образом, если функция 𝑦=𝑓 𝑥 в точке 𝑥 0 имеет производную, то график функции в точке с абсциссой 𝑥 имеет касательную, и, наоборот, если в некоторой точке с абсциссой 𝑥 0 существует касательная к графику, то при этом значении 𝑥 0 существует производная.
Задачи на использование геометрического смысла первой производной – это задачи на исследование функции и на нахождение уравнений касательной и нормали.

Мы рассмотрим задачи на нахождение уравнений касательной и нормали.

Касательной называется предельное положение секущей LK (см рис.) при перемещении точки L к точке K по кривой, когда тока L совпадает с точкой K. К
Нормалью называется перпендикуляр, проведенный к касательной в точку касания.
Через точку с координатой 𝑥 0 ;𝑓 𝑥 0 можно провести бесконечное множество прямых. Бесконечное множество прямых, имеющих общую точку , называется пучком прямых. Уравнение пучка прямых имеет вид: 𝑦− 𝑦 0 =𝑘 𝑥− 𝑥 0 , где k – угловой коэффициент прямой. Чтобы записать уравнение касательной, нужно найти угловой коэффициент касательной. Значение производной функции 𝑦=𝑓 𝑥 в точке 𝑥 0 равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в той же точке 𝑥 0 , т.е. 𝑘= 𝑓 ′ 𝑥 0 . Уравнение касательной будет иметь вид: 𝑦− 𝑦 0 = 𝑓 ′ 𝑥 0 𝑥− 𝑥 0 .
Так как касательная и нормаль взаимно перпендикулярны, то их угловые коэффициенты взаимообратные и взяты с противоположными знаками, то уравнение нормали имеет вид:
𝑦− 𝑦 0 =− 1 𝑓 ′ 𝑥 0 ∙ 𝑥− 𝑥 0 .

Слайд #8

АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ УРАВНЕНИЙ КАСАТЕЛЬНОЙ И НОРМАЛИ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ
1. Находим значение функции в точке 𝑥 0 , то есть 𝑦 0 ;
2. Находим производную функции 𝑓 ′ 𝑥 ;
3. Найдем значение производной в точке 𝑥 0 , то есть 𝑓 ′ 𝑥 0 ;
4. Подставим значения 𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑓 ′ 𝑥 0 в уравнение касательной, получим уравнение касательной 𝑦− 𝑦 0 = 𝑓 ′ 𝑥 0 𝑥− 𝑥 0 .
5. Подставим значения 𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑓 ′ 𝑥 0 в уравнение нормали, получим уравнение нормали 𝑦− 𝑦 0 =− 1 𝑓 ′ 𝑥 0 ∙ 𝑥− 𝑥 0 .

Слайд #9

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1.Найдите угол наклона касательной к графику функции
𝑓 𝑥 = 𝑥 2 −2𝑥+5 в точках 𝑥 0 = 1 2 , 𝑥 0 =1, 𝑥 0 =1,5.
Решение: Тангенс угла наклона касательной равен угловому коэффициенту касательной, а
угловой коэффициент касательной равен производной функции в точке 𝑥 0 .
𝑡𝑔 ∝=𝑘= 𝑓 ′ 𝑥 0 . Найдем первую производную функции. 𝑓 ′ 𝑥 =2𝑥−2. Найдем значения функции в точках 𝑥 0 . 𝑓 ′ 1 2 =2∙ 1 2 −2=−1, отсюда 𝑡𝑔𝛼=−1, 𝛼= 135 0 .
𝑓 ′ 1 =2∙1−2=0, отсюда 𝑡𝑔𝛼=0, 𝛼=0.
𝑓 ′ 1,5 =2∙ 3 2 −2=1, отсюда 𝑡𝑔𝛼=1, 𝛼= 45 0 .
2. Составьте уравнения касательной и нормали к графику функции 𝑓 𝑥 =1−2 𝑥 2 в точке 𝑥 0 =0,5.
Решение: 1) 𝑦 0 =𝑦 0,5 =1−2∙ 0,5 2 =0,5;
2) 𝑓 ′ 𝑥 =−4𝑥;
3) 𝑓 ′ 0,5 =−4∙0,5=−2 Подставим полученные данные в уравнение касательной, имеем
4) 𝑦− 1 2 =−2 𝑥− 1 2 Запишем уравнение касательной в общем виде 4𝑥+2𝑦−3=0
5) Подставим полученные данные в уравнение нормали, имеем 𝑦− 1 2 =− 1 −2 𝑥− 1 2 .
Запишем уравнение нормали в общем виде 2𝑥−4𝑦+1=0

Слайд #10

ОБОБЩЕНИЕ И СИСТЕМАТИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ
Ответить на вопросы:
1. Что называется касательной к графику функции?
2. Всякая ли непрерывная кривая имеет касательную в любой точке? Приведите пример.
3. Каков геометрический смысл первой производной?
4. В чем сходство и различие первой и второй производной?
5. Сравнить вычисление скорости и ускорения движения. В чем сходство (различие).
6. Сравните уравнение касательной и нормали. В чем сходство (различие).