Презентация по алгебре и началам анализа "Элементы комбинаторики"

Слайд #1

Элементы комбинаторики
11 класс

Слайд #2

Правило суммы:

Если некоторый объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами, а объект В – к способами(не такими, как А), то объект А или В (либо А, либо В) можно выбрать (т + к) способами

Слайд #3

Ученик должен выполнить практическую работу по математике. Ему предложили на выбор 17 тем по алгебре и 13 тем по геометрии. Сколькими способами он может выбрать одну тему для практической работы?
Решение:
Тему по алгебре можно выбрать 17-ю способами, по геометрии 13-тью. Значит, всего 17 + 13 = 30 способов.
Ответ: 30 способов

Слайд #4

На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение:
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
р = 0,2 + 0,15 = 0,35.
Ответ: 0,35

Слайд #5

Правило произведения:

Если объект А можно выбрать из совокупности объектов т способами, а после каждого такого выбора другой объект В можно выбрать (независимо от выбора объекта А) к способами, то пары объектов А и В можно выбрать т * к способами.

Слайд #6

Имеется два ящика с шарами: в 1 ящике 5 зеленых шаров, а во 2 – 3 красных шара. Сколькими способами можно вытащить 1 зеленый и 1 красный шар?
Решение:
Зеленый можно выбрать пятью способами, а красный – тремя. Значит, 1 зеленый и 1 красный можно выбрать 3 * 5 = 15 способами.

Ответ: 15 способов

Слайд #7

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
Решение:
Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,94.
Вероятность произведения независимых событий (обе батарейки окажутся исправными) равна произведению вероятностей этих событий:
0,94 · 0,94 = 0,8836.
Ответ: 0,8836

Слайд #8

По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
Решение:
Вероятность того, что первый магазин не доставит товар равна:
Р1 = 1 − 0,9 = 0,1.
Вероятность того, что второй магазин не доставит товар равна:
Р2 = 1 − 0,8 = 0,2.
Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий:
Р1 · Р2 = 0,1 · 0,2 = 0,02.
Ответ: 0,02

Слайд #9

Перестановки
Перестановкой из n элементов называется последовательность, состоящая из всех элементов некоторого n – элементного множества, причем число элементов этой последовательности равно n.

Число перестановок для множеств из n элементов обозначается Р n

Слайд #10

Характерные особенности понятия «перестановка»:


1. Задано некоторое множество из n элементов.
2. Составляется последовательность из всех элементов
этого множества.
3. Эта последовательность содержит n элементов.

Слайд #11

В турнире участвуют 4 человека. Сколькими способами могут быть распределены места между ними?
Решение:

Используем правило умножения.
1 место может занять любой из четырех участников. При этом 2 место может занять любой из трех оставшихся, 3 место – любой из двух оставшихся, а на 4 месте остается последний участник.

Значит, места распределены Р n = 4 * 4 * 2 * 1 = 24 способами

Ответ 24 способа

Слайд #12

В расписании сессии 3 экзамена: история, алгебра и геометрия. Сколько может быть вариантов расписаний?
Решение:
Для истории может быть 3 варианта в расписании, для алгебры – 2 варианта, для геометрии – 1 оставшийся вариант.

Значит, Р n = 3 * 2 * 1 = 6

Ответ: 6 вариантов

Слайд #13

Число перестановок для множества из n элементов равно n! (факториал)


Р n =n!

Слайд #14

Сколькими способами 4 человека могут разместиться на четырехместной скамейке? (4!)
Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу а) 3 человека, б) 5 человек? (а) 3!, б) 5!)
У Олега на обед 4 блюда: первое, второе, третье и пирожное. Он обязательно начнет с пирожного, а остальное съест в произвольном порядке. Найдите число возможных вариантов обеда. (3!)
Курьер должен разнести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать? (7!)
Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0,2,4,6? (4! – 3!)

Слайд #15

Размещения
Размещением из n элементов по т называется последовательность, состоящая из т различных элементов некоторого n – элементного множества
Число размещений из n элементов по т элементов обозначается А 𝑛 𝑚 (читается «А из эн по эм»)

Слайд #16

Характерные особенности понятия «размещение»:


1. Задано некоторое множество из n элементов.
2. Выделена последовательность элементов этого множества.
3. Эта последовательность содержит n элементов.
4. Эти т элементов различны

Слайд #17

Различия и сходства в определениях перестановок и размещений:

Сходства: перестановки и размещения – это последовательности элементов n – элементного множества. В них имеет значение порядок следования элементов последовательности.

Различия: в размещении могут участвовать не все элементы исходного множества, в перестановке обязательно участвуют все элементы исходного множества.

Слайд #18

Число размещений из n элементов по т равно:

А 𝑛 𝑚 = n! 𝒏 −𝒎 !

Слайд #19

Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различны и нечётны?
Решение:

Основное множество: 1,3,5,7,9 −нечётные цифры , значит n = 5.
Соединение – двузначное число, значит, т = 2.

Проверим важен ли порядок: 13≠ 31 – разные двузначные числа значит порядок важен,
поэтому это последовательность, размещение «из пяти по два»






А 5 2 = 5! 𝟓 −𝟐 ! = 4 * 5 = 20
Ответ: 20 двузначных чисел

Слайд #20

Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если имеется материя шести различных цветов? (120)

2. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить
четырех из шести девушек на танец? (360)

В звене 12 человек. Требуется выбрать звеньевого, санитара
и командира. Сколькими способами это можно сделать?
(1320)

Слайд #21

Сочетания
Сочетанием из n элементов по m называется
m-элементное подмножество некоторого n-элементного множества

Слайд #22

Характерные особенности понятия «сочетание»:


1. Заданы два множества.
2. Одно из множеств является подмножеством другого.
3. Основное множество содержит n элементов.
4. Подмножество содержит т элементов.

Слайд #23

Различия в определениях сочетаний и размещений:
Сочетание – это подмножество, а размещение – это последовательность.

При формировании последовательности важен порядок следования элементов, а при формировании подмножества порядок не важен.

Слайд #24

Число сочетаний из n элементов по т равно:

С 𝑛 𝑚 = n! 𝒏 −𝒎 !∗𝒎!

Слайд #25

На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть образовано тренером разных стартовых пятерок?
Решение:
Основное множество – баскетболисты, n = 12.
Соединение – стартовая пятерка, m= 5.
Порядок неважен.

С 12 5 = 12! 𝟏𝟐 −𝟓 !∗𝟓! = 792
Ответ: 792

Слайд #26

Из класса, в котором учатся 30 человек, нужно выбрать двоих школьников для участия в математической олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать? (435)

Сколькими способами можно выбрать 4 краски из имеющихся 7 различных? (35)

Два курьера фирмы должны забрать почту из четырех филиалов, причем каждый успеет съездить только в два филиала из четырех. Сколькими способами они могут распределить между собой поездки? (6)