Презентация по теории вероятности и статистике на тему "Испытания Бернулли"

Слайд #1

Испытания Бернулли.

Слайд #2

1. Повторные независимые испытания.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ:
Вероятностью случайного события А называется число Р(А), к которому приближается относительная частота этого события в длинной серии экспериментов.
Говоря о частоте и вероятности некоторого случайного события А, подразумевают наличие определенных условий, которые можно неоднократно воспроизводить. Этот комплекс условий мы называли случайным опытом или случайным экспериментом. Именно многократное повторение случайного опыта в неизменных условиях позволяло говорить о стабилизации частоты и приближении ее к некоторому числу Р(А), называемому вероятностью случайного события А. При этом естественно предполагать, что опыты проводятся человеком или природой так, что результат одного опыта никак не влияет на результаты последующих, т.е. все опыты независимы. Серию таких опытов будем называть повторными независимыми испытаниями.

Слайд #3

Если в каждом опыте нас интересует вероятность наступления определенного события А, условимся говорить, что испытание закончилось успехом, когда в результате опыта событие А наступило, и неудачей, когда событие А не наступило.
С этой точки зрения наш опыт имеет всего два возможных исхода: А и А успех и неудача. Вероятности этих исходов обозначим р и q .
p = P(A), q = 1− P(A) = 1− p . Серию повторных независимых испытаний с двумя исходами называют испытаниями Бернулли, а саму модель, построенную на таких испытаниях, схемой Бернулли.
Три условия, которым должна удовлетворять схема Бернулли:
1) у каждого испытания должно быть два исхода, называемых условно успех и неудача;
2) в каждом опыте вероятность события А должна оставаться неизменной;
3) результаты опытов должны быть независимыми.

Слайд #4

ПРИМЕРЫ:
Пример 1.
Подбрасывание монеты.
Событие А -выпал «орел». Серия из N таких испытаний представляет собой схему Бернулли. Успехом считается появление «орла», неудачей появление «решки». Вероятности успеха и неудачи равны: p = q =1/2 .
Пример 2.
Тестирование.
Ученик отвечает на вопрос, к которому дается L вариантов ответа. Ровно один из предлагаемых вариантов верный. Предположим, что ученик не знает предмета и выбирает правильный ответ наугад. Будем считать успехом событие А выбран правильный ответ. Его вероятность P(А) =1/ L . Экзамен, в котором ученик отвечает на L таких вопросов, можно считать схемой Бернулли, в которой p= 1/ L , q =1-1/ L .

Слайд #5

ПРИМЕРЫ:
Пример 3.
Выбор с возвращением.
В ящике находится L деталей, из которых l деталей не удовлетворяют стандарту качества. Из ящика достают деталь, проверяют и кладут обратно. Успехом будем считать событие А деталь бракованная. Вероятность успеха p(A) = l/ L .Серия из N таких испытаний будет схемой Бернулли с p(А) = l/ L , q = 1− l/ L .
Пример 4.
Выбор без возвращения.
Проводится тот же опыт, но проверенная деталь обратно в ящик не возвращается. Будет ли это схемой Бернулли? Очевидно, нет. Результаты опытов становятся зависимыми: если в первом опыте вынутая деталь оказалась бракованной, то шансы на успех во втором опыте уменьшаются. Соответствующая условная вероятность будет равна l-1 / L-1. Ее отличие от безусловной l / L будет незначительным только в том случае, если числа l и L достаточно велики.
Последний пример показывает, что не любая последовательность испытаний с двумя исходами может рассматриваться как схема Бернулли.

Слайд #6

2. Формула Бернулли
Задача, которая возникает в этой схеме, состоит в следующем. Пусть проводится серия из N испытаний. С какой вероятностью в этой серии произойдет ровно k успехов (т.е. событие А наступит ровно k раз)?
Пример 1.
Три раза подряд бросаем симметричную монету. С какой вероятностью ровно k раз она выпадет на «орла»? Здесь речь идет о том, что в серии из трех испытаний Бернулли с p = q =1/2 произойдет ровно k успехов.

Слайд #7

Формула Бернулли: 𝑃 𝑁 𝑘 = 𝐶 𝑛 𝑘 𝑝 𝑘 𝑞 𝑁−𝑘
Hапомним,что через 𝐶 𝑁 𝐾 в комбинаторике обозначается число сочетаний, т.е. число способов, которым можно выбрать любые k из N предметов. Это число находится по формуле 𝐶 𝑁 𝑘 = 𝑁! 𝑘! 𝑁−𝑘 !
Доказательство:
Рассмотрим всю серию из N испытаний как один случайный опыт. Какие у него элементарные исходы и сколько их? Каждый исход такого «длинного» опыта закодируем последовательностью из букв У(успех) и Н(неудача), которые могут чередоваться в произвольном порядке.
Вот так, например, будут выглядеть все возможные исходы серии из трех испытаний: УУУ, УУН, УНУ, УНН, НУУ, НУН, ННУ, ННН. Как видим, таких исходов в этом случае восемь. Нетрудно сообразить, что в общем случае для N испытаний возможных исходов будет 2 𝑁 -это немедленно следует из правила умножения. Будут ли все такие исходы равновозможны? Разумеется, нет! Однако вероятность каждого исхода можно легко вычислить, пользуясь формулой произведения вероятностей для независимых событий. В самом деле, поскольку все отдельные опыты в любой серии независимы, то вероятность любой последовательности из k успехов и ( N-k ) неудач может быть найдена по формуле 𝑝 𝑘 𝑞 𝑁−𝑘

Слайд #8

У нас имеется N пустых мест, на которые нужно расставить k
букв У и (N-k) букв Н. Сколькими способами это можно сделать? Каждый способ состоит в выборе тех k из N мест, на которых будут стоять буквы У (или (N-k) из N мест, на которых будет стоять буква Н).
Это можно сделать способами 𝐶 𝑁 𝑘 = 𝑁! 𝑘! 𝑁−𝑘 ! . Значит, всего таких серий будет 𝐶 𝑁 𝑘 , и вероятность интересующего нас события может быть получена как сумма вероятностей входящих в него исходов (все слагаемые в сумме одинаковые): 𝑃 𝑁 𝑘 = 𝑝 𝑘 𝑞 𝑁−𝑘 + 𝑝 𝑘 𝑞 𝑁−𝑘 +…+ 𝑝 𝑘 𝑞 𝑁−𝑘 =𝐶 𝑛 𝑘 𝑝 𝑘 𝑞 𝑁−𝑘 . Формула Бернулли в самом общем случае доказана.

Слайд #9

Пример 2.
Тестирование.
Экзамен состоит из 16 вопросов. К каждому вопросу предлагается 4 варианта ответа, из которых ровно один верный. С какой вероятностью ученик, не знающий предмета, правильно ответит хотя бы на один вопрос? (именно так выглядела часть А единого государственного экзамена по математике).
Решение:
Чтобы найти интересующую нас вероятность, перейдем к противоположному событию: ученик не ответит правильно ни на один из 16 вопросов. Эту вероятность можно найти по формуле Бернулли: 𝑃 16 (0) = 𝐶 16 0 ( 1 4 ) 0 ( 3 4 ) 16 ≈0,01.Отсюда, вероятность ответить хотя бы на один вопрос будет 1− 𝑃 16 (0) =1− 0,01= 0,99 .

Слайд #10

Пример 3
Монета брошена 5 раз.
Какова вероятность того, что герб появится ровно 3 раза?
Решение: По формуле Бернулли, с учетом того, что n=5,k=3,p=q=1/2.
𝑃 5 3 = 𝐶 5 3 𝑝 3 𝑞 5−3 = 5! 3!2! 1 2 3 1 2 2 = 1∗2∗3∗4∗5 1∗2∗3∗1∗2 ( 1 2 ) 5 ≈0,31.

Ответ: 0,31.

Слайд #11

Задание на дом.
Решите задачи:
Будут ли испытаниями Бернулли следующие серии опытов (если да, то найдите р и q в тех случаях, когда это возможно):
а) десятикратное бросание кубика; успех выпадение шестерки;
б) ответы у доски на уроках математики в течение месяца; успех получение пятерки;
в) проверка лампочек при их продаже в магазине; успех лампочка бракованная;
г) вытаскивание 10 карт из колоды без возвращения; успех вытаскивание красной масти.